1.1.2空间向量的数量积运算-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教A版）

数学 选择性必修 第一册 RJA 1 1.1 1.1 空间向量及其运算 2 1.1 1.1.2空间向量的数量积运算 刷基础 3 1.（多选）[福建厦门双十中学2025高二月考] 设， 为空间中的任意两个非零向量，则下列各 式中正确的有( ) AD A. B. C. D. 题型1 数量积的概念及运算律 4 解析 由数量积的性质和运算律可知 是正确的. 对于B， ,向量无除法运算，故B错误；对于C， ,,，故C错误.故选 . 题型1 数量积的概念及运算律 5 名师点拨 数量积的运算律：； ； .不满足乘法消去律和乘法结合律. 题型1 数量积的概念及运算律 6 2.已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直.若，，则 的 值为( ) C A.7 B. C.28 D.11 题型1 数量积的概念及运算律 7 解析 向量，，是一组单位向量，且两两垂直，所以 且 .因为， ，所以 .故选C. 题型1 数量积的概念及运算律 8 3.（多选）[河南洛阳2025高二月考] 已知正方体 的棱长为1，则( ) AB A. B. C. D. 题型2 求向量的数量积 9 解析 对A，由图可知， ，A正确； 对B， ，B正确； 对C， ，C错误； 对D，因为 侧面， 平面，所以，即 ，D错误. 故选 . 题型2 求向量的数量积 10 4.[湖南长沙2025高二月考] 棱长为1的正四面体中，点是 的中点， 则 ( ) A A. B. C. D. 题型2 求向量的数量积 11 解析 因为，所以 ， 又，，所以 .故选A. 题型2 求向量的数量积 12 特别注意 在数量积问题中，求解的关键是正确确定向量的夹角，一定要把两个向量的起点平移 到同一位置上. 题型2 求向量的数量积 13 5.已知空间向量,,满足，,,，则 的值为 ______. 题型2 求向量的数量积 14 解析 因为，所以，则 ， 因此 . 题型2 求向量的数量积 15 6.如图所示，在空间四边形中，，且，则 ， 的值为( ) B A. B.0 C. D. 题型3 向量的夹角及其应用 16 解析 在空间四边形中，，，，，， .故选B. 题型3 向量的夹角及其应用 17 7.[山东泰安一中2025高二月考] 已知空间向量,,满足, ， 则与 的夹角为( ) C A. B. C. D. 题型3 向量的夹角及其应用 18 解析 设与的夹角为 .由，得 ，两边平方得 ，所以，解得.又 ，所以 .故选C. 题型3 向量的夹角及其应用 19 8.设,,,是空间中不共面的四点，且满足，，，则 一定是( ) B A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 题型3 向量的夹角及其应用 20 解析 因为，， ， 所以 ，所以 ，故是锐角.同理，，可得, 都是 锐角，故 是锐角三角形，故选B. 题型3 向量的夹角及其应用 21 9.[北京东直门中学2025高二段考] 如图，在平行六面体 中， 以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为 ，则与 夹角的 余弦值为( ) B A. B. C. D. 题型3 向量的夹角及其应用 22 解析 设向量,,，且,,,, ， 可得, ， 则，所以 ， ，所以 ， 且 ， 所以, .故选B. 题型3 向量的夹角及其应用 23 10.[广东五校2025高二联考] 已知长方体 ，下列向量的数量积一定不为0的是 ( ) C A. B. C. D. 题型4 向量垂直 24 解析 当长方体为正方体时，根据正方体的性质可知,, , ，所以，， . 根据长方体的性质可知，所以与不垂直，即 一定不为0.故选C. 题型4 向量垂直 25 11.[四川眉山2025高二联考] 在正四棱锥中，，为 的中 点，.若，则 ( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 题型4 向量垂直 26 解析 由于，且是正四棱锥，故，且侧面均为等边三角形，则，故，则 .故选C. 题型4 向量垂直 27 12.[山西太原2024高二期中学业诊断] 如图，四面体各棱的棱长都是1，是的中点， 是的中点，记,, ． （1）用向量,,表示向量 ； 题型4 向量垂直 28 【解】连接 ，如图所示,则 . 题型4 向量垂直 29 （2）利用向量法证明： ． 【证明】 ， 所以 ， 所以 . 题型4 向量垂直 30 13.已知空间向量,,两两夹角均为 ，其模均为1，则 ( ) B A. B. C.2 D. 题型5 利用数量积求向量的模 31 解析 ，所以 .故选B. 题型5 利用数量积求向量的模 32 14.[湖南株洲二中2025高二期末] 在正四棱台中，， ， ，则 ( ) A A. B.2 C. D. 题型5 利用数量积求向量的模 33 解析 如图，在正四棱台中，过点向作垂线，垂足为点 ， 则 ， 所以 ， 所以 ， 即 .故选A. 题型5 利用数量积求向量的模 34 15.[北京人大附中2025高二月考] 如图，二面角 的大小为，棱上有, 两点，线段 ，， ，.若，，，则线段 的长为( ) B A.5 B.6 C.7 D.8 题型5 利用数量积求向量的模 35 解析 二面角 的大小为，，，,，, . 由题意得 ，所以 ， ，，故线段 的长为6.故选B. 题型5 利用数量积求向量的模 36 16. [湖北部分省级示范学校2025高二期中] 如图，在平行六面体 中， 以顶点为端点的三条棱的长度都为2，且 . （1）求 的长度； 题型5 利用数量积求向量的模 37 【解】设 ，，，由题意可知，，,,, ，由空间向量 数量积的定义可得 ， ，则 ，故,故的长度为 . 题型5 利用数量积求向量的模 38 （2）求直线与直线 所成角的余弦值. [答案] 由题知 ，则 ， ，则，故直线 与直 线 所成角的余弦值为0. 题型5 利用数量积求向量的模 39 链接教材 本题是教材第7页例2的变式与延伸，求空间中的线段长度，可以用已知模和夹角的向量 来表示待求模的向量，再根据求向量的模的公式和数量积运算规律求模；求向量夹角，可以将向量 分解成已知模和夹角的向量，通过向量的数量积运算求得夹角，是空间向量数量积的常见应用. 题型5 利用数量积求向量的模 40 17.[河北保定2024高二开学考] 如图，， 分别是圆台上、下底面的两条 直径，且，，是弧上靠近点的三等分点，则 在 上的投影向量是( ) C A. B. C. D. 题型6 投影向量 41 解析 如图，取在下底面的射影点，作，垂足为 . 连接，，,则 ， 因为 平面, 平面,所以,又,,, 平面 ,所以 平面 . 又 平面,所以 ， 故在上的投影向量是 . 设上底面的半径为，则，.故在上的投影向量是 .故选C. 题型6 投影向量 42 18.[安徽阜阳2025高二期中] 已知向量,,满足，，且 ，则向 量在向量 上的投影向量为( ) C A. B. C. D. 题型6 投影向量 43 解析 ，， ， ， ，， ， .故选C. 题型6 投影向量 44 19.[吉林吉大附中2024高二月考] 如图，已知正方体的棱长为1，为棱 上 的动点，则向量在向量 上的投影向量的模的取值范围为________． 题型6 投影向量 45 解析 由为棱上的动点，设 ，因为 ，所以 ， 所以向量在向量上的投影向量的模为，又，所以 ，所以 ， 所以向量在向量上的投影向量的模的取值范围为 . 题型6 投影向量 46 规律方法 对于空间几何体某一棱上的动点问题，可以引入参数来表示动点，用含参式表示所求 量，再根据参数的取值范围得到所求式的取值范围. 题型6 投影向量 47 1.1 1.1.2空间向量的数量积运算 刷提升 48 1.在正方体 中，有下列说法： ；；与的夹角为 . 其中说法正确的有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 49 解析 由题意知，，则 ,又知 ，，则，故①②正确.③不正确,与 的 夹角即为与的夹角，为 . 50 2.已知空间向量，，，，且与垂直，则与 的夹角为( ) D A. B. C. D. 51 解析 与垂直,, , ,,,., ,, . 52 3.[四川南充高中2025高二月考] 在三棱锥中， ，则 是( ) C A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 53 解析 , ， ， ，即 ， 是等腰三角形.故选C. 54 4.[广西多校2025高二联考] 如图，边长为4的正方形是圆柱 的轴截面， 为上底面圆内一点，则 的最小值为( ) D A.6 B.8 C.10 D.12 55 解析 ， 当且仅当与重合时，等号成立，故 的最小值为12.故选D. 56 5.（多选）[重庆2025高二月考] 在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与 的外积， 它是一个向量，满足下列两个条件： ，，且，和 构成右手系，即三个向量的方向依 次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示； 的模 ,.在正方体 中，有以下四个结论，其中 正确的有( ) ABD A. B.与 共线 C. D. 与正方体表面积的数值相等 57 解析 对于A，设正方体的棱长为1，在正方体中，, ， 则, . 因为，且 ，所以, ， 所以, ， 58 所以，所以A正确；对于B，如图，连接 , ，，，, 平面 ，所 以 平面，因为 平面，所以 ，同理可 证 ， 再由右手系知，与同向，所以B正确； 对于C，由，和 构成右手系知，与方向相反， 又由模的定义知， ,,，所 以，则 ，所以C错误； 对于D，设正方体的棱长为 ， ，正方体表面积为， 所以D正确.故选 . 59 6.[浙江部分学校2025高二期中联考] 已知正四面体的棱长为2，点，分别为棱， 的中点，点，分别为线段，上的动点，且满足，则线段 长度的最小值为_ ___. 60 解析 因为在正四面体中，点，分别为棱， 的中点， 所以.因为点，分别为线段，上的动点，且满足 ， 令,，则 , 所以 . 又, , ， ， 61 ， 当时， . 7.[湖北十堰2024高二期中] 如图，已知正方体的棱长为4，，， 分别是棱 ，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若（, ）． （1）求点 的轨迹围成图形的面积； 63 【解】因为，所以点在平面 上，如图，分 别取，，的中点,,，连接,,,,,,, . 因为,分别为，的中点，所以 . 又，，， ， 所以，且，故四边形为平行四边形，故 . 故，故,,,四点共面，同理可证,,,四点共面，同理可证, ,, 四点共面， 故,,,,,六点共面，由正方体的对称性可得六边形 为正六边形， 故点的轨迹是正六边形 . 因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为 ， 所以点的轨迹围成图形的面积 ． 64 （2）求 的最大值． [答案] 如图，根据向量数量积的几何意义可得, 当点位于点时， 最大，故 ， 所以 的最大值为12． 65 8.（多选）［清华大学2024强基计划］正四面体中，棱长为，点满足 ， 则 的( ) BC A.最小值为 B.最大值为 C.最小值为 D.最大值为 66 解析 如图，设的中点为，连接,则 ，即 . 又，所以 ， 因为，所以 . 由正四面体的棱长为，得 ， 所以 . 设, ，则 . 又，所以，即的最大值为 ，最 小值为.故选 . 即点在以 为球心，以1为半径的球面上. 67 $$