第5章 1.1 分类加法计数原理+1.2 分步乘法计数原理+1.3 基本计数原理的简单应用-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §1 §1 基本计数原理 2 §1 1.1 分类加法计数原理+1.2 分步乘法计数原理+ 1.3 基本计数原理的简单应用 刷基础 3 1.［江西多校2024高二期末］某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动 课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有( ) C A.90种 B.30种 C.14种 D.11种 题型1 分类加法计数原理的应用 4 解析 由题知某位学生任选1门课程学习，可分为三类情况：①任选1门球类运动课程，有5种选 法；②任选1门田径类运动课程，有6种选法；③任选1门水上运动课程，有3种选法，根据分类 加法计数原理，不同的选法共有 （种）.故选C. 题型1 分类加法计数原理的应用 5 2.集合，，，，5，6， ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则 在第二象限内的点的个数是( ) D A.2 B.4 C.5 D.6 题型1 分类加法计数原理的应用 6 解析 第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数. 若集合提供横坐标，集合提供纵坐标，则符合题意的点有， ，共2个； 若集合提供纵坐标，集合提供横坐标，则有，，，，3 ，共4个. 综上,符合题意的点的个数为 ，故选D. 题型1 分类加法计数原理的应用 7 3.［山东德州2024高二月考］为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、 乙、丙、丁4位同学每人从中任选1门课程参加，则不同的选法共有( ) C A.12种 B.64种 C.81种 D.96种 题型2 分步乘法计数原理的应用 8 解析 甲、乙、丙、丁4位同学每人都有3种不同的选法，根据分步乘法计数原理可知，不同的选 法共有 （种）.故选C. 题型2 分步乘法计数原理的应用 9 4.［江苏徐州2025开学考试］甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中分 别任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有( ) D A.18种 B.48种 C.108种 D.192种 题型2 分步乘法计数原理的应用 10 解析 因为甲不去北京，其他三人没有特殊安排，所以应该分步完成： 第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法； 第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有 种 选法.由分步乘法计数原理，可得不同选法有 种.故选D. 题型2 分步乘法计数原理的应用 11 5.（多选）已知数字0，1，2，3，4，由它们组成四位数，下列说法正确的有( ) AB A.组成可以有重复数字的四位数有500个 B.组成无重复数字的四位数有96个 C.组成无重复数字的四位偶数有66个 D.组成百位是奇数的四位偶数有28个 题型3 两个计数原理的综合应用 12 解析 对于A，组成可以有重复数字的四位数有 （个），故A正确；对于B， 组成无重复数字的四位数有 （个），故B正确；对于C，若个位数字为0时，则 偶数有（个），若个位数字不为0时，则偶数有 （个），所以组 成无重复数字的四位偶数有 （个），故C错误；对于D，组成百位是奇数的四位偶数 有（个），故D错误.故选 . 题型3 两个计数原理的综合应用 13 归纳总结 关于数字的排列问题，需要考虑两种情况，第一种情况，数字可以相同，直接运用分步乘法计数 原理求解即可；第二种情况，数字不能相同，需要考虑的是，这些数字组成的是几位数还是一个 数组，如果仅仅是数组，只需要考虑每个数字所在的位置即可，如果是一个几位数问题，那就需 要考虑提供排列的数字中是否含有0，如果含有0，需要先考虑0的位置，如果不含有0，可以直 接根据条件进行排列. 题型3 两个计数原理的综合应用 14 6.［福建宁德2025高二月考］如果一个三位正整数“”满足且 ，那么称这 样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，所有凸数的个数为( ) A A.18 B.15 C.16 D.21 题型3 两个计数原理的综合应用 15 解析 当中间数为3时，有（个）凸数；当中间数为4时，有 （个）凸数. 故共有 （个）凸数.故选A. 题型3 两个计数原理的综合应用 16 7.［河南省实验中学2024高二期中］如图所示，在图形内指定,,, 四个区域，现有4种不同的 颜色供选择，要求在每个区域里涂1种颜色，且相邻的两个区域涂不同的颜色，则不同涂法的种 数为( ) C A.48 B.72 C.84 D.108 题型3 两个计数原理的综合应用 17 解析 若,同色，则有（种）涂法；若,不同色，则有 （种） 涂法，所以不同涂法的种数为 .故选C. 题型3 两个计数原理的综合应用 18 规律方法 涂色问题的解题规律 ①对于区域涂色问题，可根据分步乘法计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理涂色问题的基 本方法，注意不相邻区域颜色是否相同，会影响与它们相邻区域的颜色选择，需要分类讨论.②可 根据共用了多少种颜色进行分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类加法计数原理求出 不同的涂色种数.③对几何体顶点涂色问题的解决方法有：（ⅰ）可根据共用了多少种颜色分类讨 论；（ⅱ）根据相对顶点是否同色分类讨论；（ⅲ）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题进 行讨论.④对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，可以从共用了多少种颜色进行分类讨论 或相对线段是否同色进行分类讨论. 题型3 两个计数原理的综合应用 19 8.［江西上饶2025高二月考］汽车制造的专业化流程是：设计效果图→制作油泥模型 生产样车 对样车检验 投入生产.已知市、市、 市分别有3个、10个、7个能设计效果图的设计院， 市有2个能制作油泥模型的制作中心，市有6个能生产样车的生产车间， 市有1处能对样车检 验的检验中心，市、市、市、市、 市分别有8，8，6，3，2家能实际投入生产的生产厂家， 从设计到实际生产，有________种选择方法. 6 480 题型3 两个计数原理的综合应用 20 解析 从设计到实际生产共分五步：第一步，设计效果图，共有 （种）选择； 第二步，制作油泥模型，有2种选择； 第三步，生产样车，有6种选择； 第四步，对样车检验，有1种选择； 第五步，投入生产，共有 （种）选择.所以根据分步乘法计数原理，从设计 到实际生产有 （种）选择方法. 题型3 两个计数原理的综合应用 21 规律方法 利用两个计数原理解题的策略 用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的 关键是看这种方法能否完成这件事情.其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类” 时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连 续性.有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”. 题型3 两个计数原理的综合应用 22 9.甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名 冠军产生，则不同的冠军获得情况共有____种. 64 解析 由题知，研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事， 而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步. 第一步，产生第1门学科冠军，它一定被其中1名同学获得，故有4种不同的获得情况； 第二步，产生第2门学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军， 所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况； 第三步，产生第3门学科冠军，同理，也有4种不同的获得情况. 由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有 （种）. 易错点1 分步标准不清致错 23 易错警示 用分步乘法计数原理求解对象可重复选取的问题时，哪类对象必须“用完”就以哪类对象作为分 步的依据.本题中要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠 军产生”，而如果错解成 （种）情况，可能出现某一学科冠军被2人，3人甚至4人获得的 情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况. 易错点1 分步标准不清致错 24 10.某外语小组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语.从中选出 会英语和日语的各一人组成一个二人活动小组，有____种选法. 20 解析 因为 ，所以外语小组9人中有1人既会英语又会日语.分三类：①当既会英语又 会日语的人当选为会英语的人时，选出只会日语的一人即可，有2种选法；②当既会英语又会日 语的人当选为会日语的人时，选出只会英语的一人即可，有6种选法；③当既会英语又会日语的 人没被选出时，则需从只会日语和只会英语的人中各选出一人，有 （种）选法.故共有 （种）选法. 易错点2 计数时出现“重复”或“遗漏” 25 易错警示 本题需要注意隐含条件：有一人同时会英语和日语，如果简单用 得到21种情况，可能会出 现在选会英语和会日语的人时选中同一人的情况. 易错点2 计数时出现“重复”或“遗漏” 26 $$