5.1.2基本计数原理的简单应用（1）课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第五章 计数原理 5.1.3 基本计数原理的简单应用（1） 1.理解基本计数原理，能正确区分“类”和“步”； 2.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别和联系． 正确选择加法原理或乘法原理解决问题． 理解两个计数原理的区别和联系． 完成一件事，可以有类办法，在第1类办法中有种方法，在第2类办法中有种方法……在第类办法中有种方法，那么，完成这件事共有种方法． 完成一件事情需要经过个步骤，缺一不可，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么，完成这件事共有种方法． 分步乘法计数原理（乘法原理） 分类加法计数原理（加法原理） 类与类不相交 每一类方法中的每一种方法都可以完成指定事情 步与步有关联 只有所有的步骤都完成才能完成指定事情 分清“要完成的一件事”； 根据事情确定分类还是分步． 用这两个原理解决问题 ①能够被5整除的数的特征是什么？ ②该问题中需要完成的“一件事”是什么？ ③如何完成“这件事”？ 末位数字是0或5 确定自然数1~200中末位是0或5的数的个数 分末位是0和末位是5两类进行计数 解：能够被5整除的数，末位数字是0或5，因此，我们把1，2，3.…，200中能够被5整除的数分成2类来计数： 第1类，末位数字是0的数，共有20个； 第2类，末位数字是5的数，共有20个. 根据分类加法计数原理，在1，2，3.…，200中，能够被5整除的数共有N=20+20=40个． 本题能够顺利求解的关键是什么？ 准确指出问题中的“一件事”； 按照明确的标准给问题分类． 在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有多少个？ 有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加. （1）若只需1名参加，共有多少种选法？ （2）若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？ 两个小题中各自的要完成的“一件事”是什么？分别如何完成？ (1)“总共选出1人” (2)“各自选出1人” 3名教师 8名男学生 5名女学生 分三类 分三步 第一类，选教师，3种选法； 第二类，选男生，8种选法； 第三类，选女生，5种选法 第一步，选教师，3种选法； 第二步，选男生，8种选法； 第三步，选女生，5种选法 N=3×8×5=120 据分步乘法计数原理 N=3+8+5=16 据分类加法计数原理 针对“分类”问题； 各种方法相互独立； 用其中任何一种方法都可以完成“这件事” 两个原理在解决问题时的有何不同？ 针对 “分步”问题； 各步骤中的方法互相依存； 只有每一个步骤都依次完成才算做完成“这件事” 如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条．李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条线路可以选择？ ①本题目要完成的“一件事”是什么？ ②如何完成？ 第一步，从A村到达B村， 第二步，从B村到达C村， 第三步，从C村到达D村， 分步完成 有3条路可选择； 有2条路可选择； 有3条路可选择． N=3×2×3=18 据分步乘法计数原理 ①能否使用加法原理来解决这个问题？②对比两种解法，思考两个原理有何联系？ 从A村经过B村到达C村 2+2+2=2×3=6 从C村到达D村 6+6+6=6×3=18 两个计数原理本质一致 乘法原理是加法原理的简化 数的乘法与加法的关系 要给如图所示的五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不相同，则不同的涂色方案一共有多少种？ D A B C E ①本题目要完成的“一件事”是什么？ ②如何完成？ “用四种颜色给如图所示的五个区域涂色，且相邻区域不同色” 理清关系，按区域分步 第一类，A、C同色： 第一步，给区域A涂色，有4种选择； 第二步，给区域C涂色，有1中选择； 第三步，给区域B涂色，有3种选择； 第四步，给区域E涂色，有2种选择； 第五步，给区域D涂色，有2种选择． 则根据分步乘法计数原理， 一共有为4×1×3×2×2=48种不同的选择； 第二类，A、C异色： 第一步，给区域A涂色，有4种选择； 第二步，给区域C涂色，有3种选择； 第三步，给区域B涂色，有2种选择； 第四步，给区域E涂色，只有1种选择； 第五步，给区域D涂色，只有1种选择． 则根据分步乘法计数原理， 一共有为4×3×2×1×1=24种不同选择； 综上，根据分类加法计数原理，该图形的不同涂色方案共有48+24=72种． 解：按A与C颜色的相同和相异分类求解． 要给如图所示的五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不相同，则不同的涂色方案一共有多少种？ D A B C E 你还有其他解决这个问题的方法吗？ 提示：看位置关系——A、C对角，B、D对角 此时先确定A、C的颜色，有