第2章 2.2 双曲线的简单几何性质-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §2 §2 双曲线 2 §2 2.2 双曲线的简单几何性质 刷基础 3 1.（多选）［陕西榆林2025高二月考］已知双曲线 的实轴长是虚轴长的3倍，则下 列关于双曲线 的说法正确的是( ) ABD A.实轴长为6 B.虚轴长为2 C.焦距为 D.离心率为 题型1 双曲线性质的应用 4 解析 由题意得，,,，实轴长为，虚轴长为 ， 由实轴长是虚轴长的3倍得 ，故A，B正确； 由得，，故，焦距为 ，故C错误； 离心率，故D正确.故选 . 题型1 双曲线性质的应用 5 2.［宁夏银川2024高二期中］中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线 上的 等轴双曲线的方程是( ) A A. B. C. D. 题型1 双曲线性质的应用 6 解析 在方程中,令,得 , 等轴双曲线的一个焦点坐标为 , , ,故选A. 题型1 双曲线性质的应用 7 3.［重庆南开中学2025高二期中］已知为双曲线上一动点，过原点的直线 交双曲线 于,两点，其中,则 的最小值为( ) B A. B. C. D. 题型1 双曲线性质的应用 8 解析 设，且，即.又直线 过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称，则，所以 ， ， 则.又，则的最小值为 .故选B. 题型1 双曲线性质的应用 9 4.［广西河池十校2025高二联考］已知双曲线的左、右焦点分别为，，， 是 双曲线上关于原点对称的两点，并且，则 的面积等于( ) B A.6 B.7 C.8 D.9 题型1 双曲线性质的应用 10 解析 由双曲线的对称性以及，是双曲线上关于原点对称的两点可知，点是线段 的中点. 连接，，又，所以四边形为矩形，所以 ， 由双曲线可得，，则 ， 所以，所以 ，又 ， 所以，解得，所以 . 故选B. 题型1 双曲线性质的应用 11 5.如果椭圆的离心率为，那么双曲线 的离心率为( ) A A. B. C. D.2 题型2 离心率的值 12 解析 由已知椭圆的离心率为,得, 双曲线的离心率 . 故选A. 题型2 离心率的值 13 6.［浙江台州六校2025高二联考］已知双曲线的左、右焦点分别为, ， 且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率 为( ) D A. B. C. D. 题型2 离心率的值 14 解析 由题设可得双曲线的渐近线方程为，且 ， 所以，解得 . 又，所以 ， 所以 .故选D. 题型2 离心率的值 15 7.设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点 使得 ， ，则双曲线的离心率为( ) B A. B. C. D.3 题型2 离心率的值 16 解析 根据双曲线的定义可得，,则 .由已 知可得.两式作差得 又 ,所以,即,得 ，两边平方得 ,即,即,则,所以双曲线的离心率 ,故选B. 题型2 离心率的值 17 8.［江西上饶2025高二月考］若是双曲线的右焦点，过 作双曲线 一条渐近线的垂线与两条渐近线交于,两点为垂足，在线段上，且满足 ， 则该双曲线的离心率 ( ) D A. B. C. D. 题型2 离心率的值 18 解析 由题意知双曲线的渐近线方程为 ， 由对称性不妨设过点与渐近线垂直的直线方程为 ， 由得 ， 由得 . 因为，所以，则 ， 整理得，又,则，即 ， 则 .故选D. 题型2 离心率的值 19 9.［北师大附属实验中学2024高二期中］已知双曲线的右焦点为 ，过 点作轴的垂线，在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于，两点．若点是线段 的中点， 则双曲线的离心率为____． 题型2 离心率的值 20 解析 双曲线的渐近线方程为 ， 由解得或又在第一象限,故 . 由解得 . ，点是线段 的中点， ， ， ， . 题型2 离心率的值 10.已知双曲线与直线 有交点，则双曲线离心率的取值范围为 ( ) C A. B. C. D. 题型3 离心率的取值范围 22 解析 双曲线的一条渐近线方程为,由题意得 ,所以双曲线的离心率 .故选C. 题型3 离心率的取值范围 23 11.已知，分别是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点 ，使得 点到直线的距离为，则双曲线的离心率 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型3 离心率的取值范围 24 解析 由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设，，其中 ， 设直线的方程为，则 . 因为点到直线的距离为，所以，则有，即 ， 解得 , 则 ，即 ，整理得 ， 则 .故选D. 题型3 离心率的取值范围 25 12.［陕西师大附中2025高二期中］已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，若在上存在点（不是顶点），使得，则 的离心率的取值范围为 ( ) A A. B. C. D. 题型3 离心率的取值范围 26 解析 设与轴交于点，连接，则 ，得到 ， 因为，故 点在双曲线右支上，且 ，故 . 而 ， 所以 ， 在中，，即，故 . 由，且三角形内角和为 ， 故 ， 则 ， 即，即，所以的离心率的取值范围为 ，故选A. 题型3 离心率的取值范围 27 归纳总结 求双曲线离心率的值或取值范围的常用方法有两种：一种是直接建立关于的关系式求 的值或范围； 另一种是建立,,的齐次关系式,将用,表示,两边同时除以或化为关于 的关系式,进而求解. 题型3 离心率的取值范围 28 13.已知双曲线方程为 ，则双曲线的渐近线方程为( ) A A. B. C.当时，；当时， D.当时，；当时， 题型4 渐近线的方程及应用 29 解析 方程表示双曲线， . 若，方程化为，此时，，渐近线方程为 ； 若，方程化为，此时， ，渐近线方程为 综上所述，双曲线的渐近线方程为 故选A. 题型4 渐近线的方程及应用 30 多种解法 将等式右边的常数换为0，即，化简得 ，故选A. 题型4 渐近线的方程及应用 31 名师点拨 求双曲线的渐近线方程只需将等式右边的常数换为0即可. 题型4 渐近线的方程及应用 32 14.［江苏无锡2025高二段考］已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ，点是的右支上一点，，与轴交于点.若 为坐标原点，则 双曲线 的渐近线方程为( ) A A. B. C. D. 题型4 渐近线的方程及应用 33 解析 如图， 因为，所以，又，所以，且 ， 所以， . 又，所以 ， 所以双曲线的渐近线方程为 故选A. 题型4 渐近线的方程及应用 34 15.［吉林长春2025高二期中］已知圆 关于双曲线 的一条渐近线对称，则 ( ) B A. B. C. D. 题型4 渐近线的方程及应用 35 解析 由得，可得圆心为 . 双曲线的渐近线方程为 ， 若圆关于双曲线 的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上. 当时， ，无解； 当时，由，解得.综上， .故选B. 题型4 渐近线的方程及应用 36 16.设点,分别是双曲线的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线 与双 曲线交于，两点.若的面积为 ，则该双曲线的渐近线方程为( ) D A. B. C. D. 题型4 渐近线的方程及应用 37 解析 设,,则, , , . 又,,, . 该双曲线的渐近线方程为 .故选D. 题型4 渐近线的方程及应用 38 规律方法 双曲线的渐近线的斜率与离心率 的关系： . 题型4 渐近线的方程及应用 39 17.［河北石家庄2024高二期中］已知双曲线 的两条渐近线均与圆 相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的离心率为_ ___. 解析 由题意，双曲线的渐近线方程为，即 . 由圆，可得圆心，半径 . 因为右焦点与圆心重合，所以双曲线的右焦点的坐标为，即 ，又因为双曲线 的两条渐近线均与圆相切，可得，即，解得 ，所以 ， 所以双曲线的离心率 . 题型4 渐近线的方程及应用 40 18.若双曲线的一条渐近线经过点 ,则其离心率等于_ ____. 或 解析 设一条渐近线方程为,由题意知,得,所以渐近线方程为 .若焦 点在轴上,则,于是离心率;若焦点在轴上,则 , 于是离心率 . 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 41 19.［山东泰安一中2024高二月考］已知双曲线的渐近线方程为 ，两顶点间的距离为6， 则双曲线 的方程是_______________________． 或 解析 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为 ， 则解得则双曲线的方程为 ； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为 ， 则解得双曲线的方程为 . 综上，双曲线的方程是或 . 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 42 易错警示 渐近线不能确定双曲线的焦点位置,故需分类讨论. 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 43 §2 2.2 双曲线的简单几何性质 刷提升 44 1.［河南鹤壁2024高二月考］已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且与椭圆有公共焦点，则 的方程为( ) C A. B. C. D. 45 解析 椭圆的焦点为，又双曲线 的一条渐近线 的方程为 ， 所以解得 所以双曲线的方程为 .故选C. 46 2.［广东多校2025高二联考］已知，分别为双曲线 的左、右焦点， 若关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线 的离心率为 ( ) A A.2 B. C.3 D. 47 解析 如图所示，设关于渐近线的对称点为，易知 ，所以 为直角三角形，， 是等边三角形， 又，则，所以 ， 所以双曲线一条渐近线的倾斜角为，即，所以离心率 ，故选A. 48 3.［贵州黔西南2025高二期中］已知为双曲线的右焦点，为 的 左顶点，点在上，且垂直于轴，若的斜率为1，则 的实轴长与虚轴长的比值为( ) A A. B. C. D. 49 解析 由题意可得，，由双曲线的对称性，不妨设点在第一象限，则 ，代 入双曲线方程，可得 . 又因为的斜率为1，所以，即，得 ， ， 所以的实轴长与虚轴长的比值为 .故选A. 50 4.已知点是双曲线上的动点，，分别是双曲线的左、右焦点， 为坐标原点， 则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 51 思路导引 由双曲线的对称性，不妨设是双曲线右支上的一点，将， 代入所求式中，用含的式子表示，再根据的取值范围求得 的取值范围. 52 解析 如图所示,由双曲线的对称性，不妨设是双曲线 右支上的一 又因为, ， 所以 . 又因为，所以,所以, ，所以 .故选B. 点，，所以 ， 同理可得，所以 . 53 二级结论 设焦点在轴上的双曲线方程为,其左、右焦点分别为，, 为 双曲线上任一点,则, ； 设焦点在轴上的双曲线方程为,其上、下焦点分别为， , 为 双曲线上任一点,则, . 54 5.（多选）［陕西汉中2024高二期末联考］已知双曲线的左、右焦点分别为, , 是双曲线 上的一个动点，则下列结论正确的有( ) BC A.若的面积为20，则 B.双曲线的离心率为 C.的最小值为1 D.若为直角三角形，则 55 解析 由题意可知,，即，若 的面积为20，则 ，故A错误； 根据双曲线方程可知的离心率 ，故B正确； 由，则 ， 又或，所以当时，有，当时， ，故 ， 时取得等号，故C正确； 若为直角三角形，则当 时满足题意，此时 ，则 ，故D错误.故选 . 56 6.［江西2024高二期中联考］已知,分别是双曲线 的上、下焦点， 经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且点 在第四象限，四边形 为平行四边形，若双曲线的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角 的取 值范围是________. 57 解析 由双曲线的对称性可知点也在双曲线的渐近线上，且点在第二象限，由 轴，可 知轴，所以可设，又点在渐近线上，所以 ，所以 .因为的离心率的取值范围是，所以 ,所以 ，又，所以 . 58 7.［辽宁辽南协作体2025高二期中联考］已知双曲线 的左、右焦点分 别为，，过的直线与左支相交于， 两点. （1）若，，求双曲线 的方程； 【解】由双曲线的定义可得, ,所以 , 因为,所以 , 由可知,,则 , 所以双曲线的方程为 . 59 （2）若直线的斜率为，且，求双曲线 的离心率. [答案] 因为直线的斜率为,所以 , , 设,由可得 , 在中,由余弦定理可得 ,① 在中,由余弦定理可得 ,② 由①②整理可得 , 代入②式可得,所以 . 因此双曲线的离心率为 . 60 $$