第2章 2.1 双曲线及其标准方程-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §2 §2 双曲线 2 §2 2.1 双曲线及其标准方程 刷基础 3 1.［重庆一中2025高二月考］已知点,，动点满足，则动点 的轨迹是( ) C A.射线 B.线段 C.双曲线的一支 D.双曲线 题型1 双曲线定义的理解 4 解析 根据题意，点,，则，若动点满足 ，且 ,，则的轨迹是以， 为焦点的双曲线的右支，故选C. 题型1 双曲线定义的理解 5 2.对于常数，，“”是“方程 对应的曲线是双曲线”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 双曲线定义的理解 6 解析 可整理成，当，即且或且 时，方程 即 表示的曲线为双曲线，则充分性成立； 若方程表示的曲线为双曲线，则,即 ，则必要性成立. 综上，“”是“方程 对应的曲线是双曲线”的充要条件.故选C. 题型1 双曲线定义的理解 7 3.（多选）［安徽阜阳2025高二期中］已知曲线 ，下列说法正确的有( ) ACD A.当时，曲线表示焦点在 轴上的椭圆 B.当时，曲线表示焦点在 轴上的双曲线 C.当 时，所给方程没有轨迹 D.当且时，曲线 的焦距为8 题型1 双曲线定义的理解 8 解析 对于A，当时，，曲线表示焦点在 轴上的椭圆，A正确； 对于B，由得，，曲线表示焦点在 轴上的双曲线，B错误； 对于C，当 时，等号左边为负数，方程不成立，所给方程没有轨迹，C正确； 对于D，当且 时， 若，则曲线表示焦点在轴上的双曲线，半焦距，曲线 的 焦距为8； 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，半焦距，曲线 的焦距为 8，D正确.故选 . 题型1 双曲线定义的理解 9 4.［四川绵阳南山中学2025高二期中］与椭圆共焦点且过点 的双曲线的方程为 ( ) C A. B. C. D. 题型2 双曲线方程的求解 10 解析 由椭圆方程可知，即焦点坐标为, ， 所以可设双曲线方程为 ， 则解得所以双曲线的方程为 .故选C. 题型2 双曲线方程的求解 11 5. ［河南郑州外国语2025高二期中］已知双曲线经过点, ，则其 标准方程为( ) A A. B. C. D.或 题型2 双曲线方程的求解 12 解析 设双曲线方程为 ， 则有 解得 所以双曲线的标准方程为 .故选A. 题型2 双曲线方程的求解 13 链接教材 本题是教材第63页练习第1题第（3）问的变式，考查求双曲线的标准方程，本题没有给出焦点 位置，有两种方法可以解题，一是设双曲线的一般方程，二是设双曲线的标准方程，但需要对焦 点位置分类讨论. 题型2 双曲线方程的求解 14 6.［河南平顶山2025高二月考］在平面直角坐标系中，已知的顶点, ，其内 切圆圆心在直线上，则顶点 的轨迹方程为( ) B A. B. C. D. 题型2 双曲线方程的求解 15 解析 如图，设与内切圆的切点分别为,,，则有, , ，所以 . 根据双曲线的定义，所求轨迹是以, 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外），即 ，，又，所以，所以轨迹方程为 .故选B. 题型2 双曲线方程的求解 16 7.［河南信阳高级中学2025月考］已知定点，,是圆 上任意一点， 点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点 的轨迹方程是 ( ) B A. B. C. D. 题型2 双曲线方程的求解 17 解析 如图,当点在轴左侧时,连接,,由点关于点的对称点为,得 是 线段 的中点, 而点是线段的中点,则 , 由为线段的垂直平分线,得 , 于是,当点在轴右侧时,同理 , 易知点不在轴上,则 , 所以点的轨迹是以,为焦点,实轴长为2的双曲线,对应的方程为 .故选B. 题型2 双曲线方程的求解 18 8.［江西师大附中2025高二期中］已知,分别是双曲线的左、右焦点，是 的 左支上一点，过作平分线的垂线，垂足为,为坐标原点，则 ( ) B A.4 B.2 C.3 D.1 题型3 双曲线定义及方程的应用 19 解析 双曲线的实半轴长，延长，交于点 ， 由题意可得， . 又是 的中点， 所以 ，故选B. 题型3 双曲线定义及方程的应用 20 9.若点在曲线上，点在曲线上，点 在曲线 上，则 的最大值是( ) B A.9 B.10 C.11 D.12 题型3 双曲线定义及方程的应用 21 解析 在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线 的两个焦点， 记点,，当取最大值时，在双曲线 的左支上，如图所示， 所以 .故选B. 题型3 双曲线定义及方程的应用 22 10.［广东汕头2024高二期中］已知是双曲线的右焦点，是 的左支上一点， ，则 的最小值为( ) B A.5 B.6 C.7 D.8 题型3 双曲线定义及方程的应用 23 解析 由双曲线方程可知，，，故右焦点，设左焦点为 ,则 . 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知 ， 所以 ， 从而 ， 又 ， 所以，因此的最小值为6，此时点在线段 与双曲线左支的交点处. 故选B. 题型3 双曲线定义及方程的应用 24 §2 2.1 双曲线及其标准方程 刷提升 25 1.［福建莆田一中2025高二期中］已知圆和圆，动圆 同时与圆及圆相外切，则动圆圆心 的轨迹方程是( ) D A. B. C. D. 26 解析 设动圆的半径为,因为动圆同时与圆及圆 相外切, 则,, , 则 , 故动圆圆心的轨迹是以, 为焦点的双曲线的左支. 又因为,,所以,故动圆圆心的轨迹方程为 .故选D. 27 2.［江苏泰州2025高二期中］已知双曲线的左、右焦点分别为,，过的直线 与双曲线的右支交于,两点.若，则 的周长为( ) A A.12 B.14 C.10 D.8 28 解析 由题意可得，的周长为 ， 由双曲线的定义可得，又 ， 所以 ， 所以 的周长为12，故选A. 29 3.［河北衡水二中2024高二四调］已知，分别是双曲线的左、右焦点，点 在 双曲线的右支上，且，则 ( ) A A. B. C. D. 30 解析 由题意可得，由双曲线的定义得 ，而 ,解得， ，由余弦定理得 ，所以 .故选A. 31 4.［山东多校2025高二期中］已知,分别是双曲线 的左、右焦点， 为上一点，，且的面积等于4，则 ( ) B A. B.2 C. D.4 32 解析 由题得，所以 ， 因为，所以 ， 则，所以,即 ， 又，所以，即 .故选B. 33 5.已知点,分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线 在第一象限交 于点.若的内切圆的半径为1，则直线 的斜率为( ) B A. B. C.1 D. 34 解析 如图，设的内切圆的圆心为，内切圆与三边分别相切于点,, ， 可得 ， 所以，即的内切圆与轴相切于双曲线的右顶点，即双曲线的右顶点为 . 设直线的倾斜角为 ，则 ， 则由内切圆的性质可知 轴， 所以在中， ， 所以 ，故选B. 35 6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与 在第一象限交于点，的平分线与轴交于点，则 ( ) C A.1 B. C.2 D. 36 思路导引 37 解析 由双曲线得，故 ， ，即，，，，设 的平 分线与轴交于点 ，如图. 因为轴，所以可设，代入双曲线方程得 ，故 ，则，即，即 . 因为，，所以 ， 又因为平分，所以 . 又，所以 ，则 ，即 . 因为,,三点共线，所以，即，解得 .故选C. 38 7.［辽宁多校2025高二联考］已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，为坐标原点，为右支上的一点，点是线段上靠近点 的三等分点， 线段交轴于点，且，，三点共线，的周长为15，则 的值为___. 39 解析 由题意可知，点为的重心，又因为，，三点共线，所以为线段 的中点， 所以，即，且 . 由双曲线的定义可得，所以，所以 . 将代入双曲线的方程可得，可得 ， 由题意知，点在第一象限，则，结合①②可得， ， ，在中， . 40 8.在平面直角坐标系中，，分别是双曲线的左、右焦点，设点是 的右 支上的一点，则 的最大值为_____. 解析 双曲线中,，，则 ， 设， ， 由双曲线的定义可得，则 ， 当且仅当，即， 时取等号，所以的最大值为 . 41 9.［江西师大附中2024高二期中］已知动圆与圆 外切，与圆 内切，则动圆圆心 的轨迹为( ) D A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一支 易错点1 忽视双曲线方程中的限制条件而致错 42 解析 设动圆的圆心，半径为，圆的圆心为 ，半径为2,圆 的圆心为，半径为2，由题意可得 所以 ,根据双曲线的定义知，点的轨迹为以, 为焦点的双曲线的左 支.故选D. 易错点1 忽视双曲线方程中的限制条件而致错 43 易错警示 由,得点的轨迹是以, 为焦点的双曲线的左支.本题易忽略 只表示双曲线的一支而导致求解错误. 易错点1 忽视双曲线方程中的限制条件而致错 44 10.曲线的方程为，讨论 取不同值时，方程表示的是什么曲线？ 【解】当时， ,表示两条直线; 当时，,表示焦点在 轴上的双曲线； 当时， ,表示单位圆； 当且时， ,表示椭圆. 易错点2 考虑不全面而致错 45 易错警示 本题容易忽略和这两种特殊的情形.其次，当 时注意判断双曲线焦点的位置. 易错点2 考虑不全面而致错 46 $$