第2章 §1 椭圆 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §1 §1 椭圆 2 §1 §1 综合训练 刷能力 3 1.［陕西汉中2025高二期中］已知过椭圆中心的直线交椭圆于，两点， 是椭圆 的一个焦点，则 的周长的最小值为( ) D A.7 B.8 C.9 D.10 4 解析 由椭圆的对称性可知,两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为 ，连 接, ，如图， 则四边形 为平行四边形， 由椭圆的定义可知 . 又, ， 所以 . 又直线过原点，所以 ， 所以的周长的最小值为 .故选D. 5 2.［江西南昌一中2025高二期中］吹奏乐器“埙”（如图①）在古代通常是用陶土烧制的，一种 “埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（, 且为常 数）和半圆组成的曲线如图②所示，曲线交轴的负半轴于点，交 轴的 正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时， 的面积最大，则半椭 圆的方程是( ) 图① 图② A. B. C. D. D 6 解析 连接.由点在半圆上，得 . 由椭圆方程可知图中, ， 要使的面积最大，可平移直线，当直线与半圆相切于点 时， 点到直线的距离最大，此时，即 ， 又, , 则,得 ， 所以半椭圆的方程是 .故选D. 7 3.［广东湛江2024高二期末］已知为椭圆上的点，,分别为椭圆 的 左、右焦点，椭圆的离心率为，的平分线交线段于点，则 ( ) A A.2 B. C. D. 8 解析 因为的平分线交线段于点，所以 ， 由正弦定理得， ， 又因为， ， 所以，即 . 不妨设,，则，解得 ，所以 .故选A. 9 4.［河北石家庄2025高二段考］如图，在平面直角坐标系中，四边形满足 ， ，，若点，分别为焦点在轴上的椭圆 的上、下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，设椭圆的离心率为，则 __. 10 解析 依题意知,,设,,连接,取的中点为点 ， 由,,知,,,四点在以为直径的圆上,且. 又原点为圆的弦的中点,则圆心在的垂直平分线上,即在 轴上,则 .由 ,得 .又 , 则 , 当时,则 , 若,则四边形为矩形,则点也在椭圆上,与点不在椭圆 上矛盾,故 , 于是,则,圆的圆心坐标为 , 则圆的方程为,将的坐标代入圆的方程得 ,即 ,又,则,则 . 11 5.［安徽芜湖2024高二期末（改编）］已知椭圆的上、下顶点分别为，，点 为 椭圆上任意一点（不同于，），若点满足，，则点 的轨迹方程为 __________________. 解析 设，由已知得,， ，所以 ，所以 . 设，因为，，所以, ，所以 ，所以，即，所以点 的轨迹方程为 . 12 6.［武汉大学2022强基计划］已知为椭圆的左焦点，为椭圆 上的一点. （1）作正方形（，，，按逆时针方向排列），当点沿着椭圆运动一周，求动点 的 轨迹方程. 13 【解】如图所示,将椭圆绕其左焦点逆时针旋转 ,得到椭圆 . 注意到在正方形中,点也可以看成是由点绕点逆时针旋转 形成, 由于点在椭圆上运动,则点在椭圆 上运动. 因此求点的轨迹方程,也就是求椭圆 的方程. 注意到椭圆的中心坐标为 , 从而的方程为 . 14 （2）设为椭圆外一点，求 的取值范围. [答案] 如图所示, ， 当且仅当,,三点共线，且在线段上,即运动到 位置时,等号成立. 记椭圆的右焦点为,连接, , 注意到 ， 显然有 ， 从而 , 当且仅当,,三点共线，且在线段上,即运动到 位置时,等号成立. 于是可得.故 的取值范围 为 . 15 $$