第2章 1.1 椭圆及其标准方程-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §1 §1 椭圆 2 §1 1.1 椭圆及其标准方程 刷基础 3 1.［陕西西安交大附中2025高二月考］“平面内存在两个定点，使得一动点 满足到这两定点的 距离之和为常数”是“点 的轨迹是椭圆”的( ) D A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充要条件 D.必要不充分条件 题型1 椭圆定义的理解 4 解析 “点的轨迹是以，为焦点的椭圆” “ 为常数”； 反之不成立，若常数小于或等于两个定点间的距离，其轨迹不是椭圆. 因此“平面内存在两个定点，使得一动点满足到这两定点的距离之和为常数”是“点 的轨迹 是椭圆”的必要不充分条件.故选D. 题型1 椭圆定义的理解 5 2.点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且 为坐标原 点，则线段 的长为( ) A A.2 B.3 C.4 D. 题型1 椭圆定义的理解 6 解析 如图，不妨设为左焦点，为右焦点，连接为的中点，且 ， .由椭圆方程可知，，根据椭圆定义有， .故选A. 题型1 椭圆定义的理解 7 3.［江西南昌2025高二期中］设,分别为椭圆的两个焦点，过 且不与坐标轴重 合的直线交椭圆于,两点，则 的周长为( ) B A.4 B.8 C.12 D.16 题型1 椭圆定义的理解 8 解析 如图，不妨令,分别为椭圆的左、右焦点， 的周长 ， 又由椭圆，得，所以 的周长为8，故选B. 题型1 椭圆定义的理解 9 4.［福建福州多校2025高二联考］平面内，动点的坐标 满足方程 ，则动点 的轨迹方程为( ) B A. B. C. D. 题型2 椭圆方程的求解 10 解析 由两点间的距离公式可得，条件 表示的几何意义 为点到与的距离之和，即 . 又 ，根据椭圆的定义， 点在以和 为焦点的椭圆上， 可设其标准方程为,由，，且,得 ,故动点 的轨迹方程为 .故选B. 题型2 椭圆方程的求解 11 5. 一个动圆与圆外切，与圆 内切，则这个动圆 圆心的轨迹方程为( ) A A. B. C. D. 题型2 椭圆方程的求解 12 解析 设动圆半径为，圆心为，根据题意可知，，,, , ，， ， ，故动圆圆心的轨迹为焦点在 轴上的椭圆，且焦点坐标 为和，其中,,, ，所以 ， 故动圆圆心的轨迹方程为 ，故选A. 题型2 椭圆方程的求解 13 链接教材 这道题目是由教材第49页练习第2题改编得到的，以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义和 轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键.基本的解题思路是利用动圆分别与两圆外切和内切的 位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义， 即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程． 题型2 椭圆方程的求解 14 6.［安徽多校2025高二联考］已知椭圆的左、右焦点分别为, ，过点 的直线与交于，两点，则,,三点能构成边长为4的正三角形时， 的方程为_ __________. 解析 设，由题意知当时， 是边长为4的正三角形，如图. 由椭圆和正三角形的对称性，可知，所以 . 又,则，解得 ， 由，得，故椭圆的方程为 . 题型2 椭圆方程的求解 15 7.设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且 ， .若 ，则椭圆的标准方程为___________. 解析 ,,.又 , .由椭圆定义可知 , ,,, 椭圆的标准方程为 . 题型2 椭圆方程的求解 16 归纳总结 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在的位置, 然后根据条件建立关于, 的方程（组）.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方 便,也可把椭圆方程设为 的形式. 题型2 椭圆方程的求解 17 8.［河北承德一中2025高二期中］若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数 的取 值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 椭圆定义及方程的应用 18 解析 因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以解得 ， 即 .故选C. 题型3 椭圆定义及方程的应用 19 9.［河南多校2025高二联考］设为椭圆上一动点，, 分别为椭圆的左、右焦点， ，则 的最小值为( ) B A.8 B.7 C.6 D.4 题型3 椭圆定义及方程的应用 20 解析 如图，连接,由椭圆的定义知 ，则 ， 由图知，当,,三点共线，且点在线段上时， 的值最小，最小值为 ,此时，的最小值为 .故选B. 题型3 椭圆定义及方程的应用 21 §1 1.1 椭圆及其标准方程 刷提升 22 1.已知椭圆，，，,， 四点中恰有三个 点在椭圆 上，则这三个点是( ) D A.，， B.，， C.，， D.，， 23 解析 因为,两点关于轴对称，所以椭圆经过,两点，又因为 ，所以椭圆 不经过点，故椭圆经过，， 点，故选D. 24 2.已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则 的最大值是( ) D A. B.9 C.16 D.25 25 解析 由题得,所以，所以 ， 当且仅当 时， 取得最大值25. 故选D. 26 3.［河南南阳一中2025高二月考］已知椭圆的左、右焦点分别为，，点 在椭圆 上.若 ，则 的面积为( ) D A.4 B.6 C.8 D. 27 解析 由椭圆定义可得, . 又因为 ，所以由余弦定理可得 ， 即 ， 解得 ， 则的面积为 .故选D. 28 多种解法 由椭圆焦点三角形面积公式得的面积为 . 29 二级结论 已知椭圆上一点， ，则 . 证明：由椭圆定义得 ， 左、右两边平方得 , ① 由余弦定理得 , ② 得 ， 故 . 另外 . 30 4.［江苏扬州2025高二期中］已知椭圆的左、右焦点分别为，，为 上任意 一点，为圆上任意一点，则 的最小值为( ) B A. B. C. D. 31 解析 如图，连接,,, ,为椭圆 上任意一点，则 ， 又因为为圆 上任意一点， 当且仅当，，，共线且点，在线段 上时等号成立. 由题意知，，，则 ， 所以的最小值为 .故选B. 所以 ， 32 名师点拨 求的最值时，可以利用定点和，当，，，共线且点，在线段 上时 最小，等于 . 33 5.（多选）［湖南永州2025高二期中］已知点是椭圆上一点，，是椭圆 的 左、右焦点，且 的面积为4，则下列说法正确的是( ) BC A.点的纵坐标为2 B. C.的周长为 D.的内切圆半径为 34 思路导引 此题先算出椭圆的基本量，再运用三角形面积公式求出点的位置；再利用点 的坐标易于求得 的内角，运用勾股定理逆定理即得；根据椭圆的定义可得 的周长；最后利用面积 相等即得内切圆半径. 35 解析 依题意，不妨设点，由可得,,故 ， 则的面积为,解得 . 对于A选项，由上述分析知点的纵坐标为 ，故A错误； 对于B选项，由知，此时点为椭圆短轴顶点，故 ， 又,则由知 ，故B正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 , 于是的周长为 ,故C正确； 对于D选项，设的内切圆半径为 ，则由三角形面积相等可得 ，解得.故D错误.故选 . 36 6.如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 ，， ，七个点，是椭圆的左焦点，则 ____. 35 解析 设椭圆的右焦点为,则由椭圆的对称性知,,, , 则原式 . 37 7.［天津经开区2025高二月考］已知椭圆的左、右焦点分别为，， 是椭圆上一 点，且满足，则___， 的面积为_____. 4 解析 取线段的中点，连接 ，如图所示， 在椭圆中，，， ， 则，由椭圆的定义可得 . 因为为的中点，所以 ， 所以 ， 故 . 38 8.［江西赣州2025高二月考］已知椭圆的上、下焦点分别为，， 为坐标原点，是上一动点，，的周长为 . （1）求椭圆 的标准方程； 【解】由已知，则，即，又 的周长为 ， 得，则，则，故椭圆的标准方程为 . 39 （2）证明：无论动点在上如何运动， 恒为一个常数. 【证明】由（1）可知，，设 ， 则 ， ， ， ， 又 ，即 ， 即，所以无论动点在上如何运动， 恒为一个常数. 40 9.［陕西西安2025高二月考］与椭圆有相等的焦距，且过圆 的 圆心的椭圆的标准方程为_ ______________________. 或 易错点 忽视焦点位置的分类讨论而致错 41 解析 设所求椭圆的长轴长为,短轴长为 . 由题意可知，即其圆心为 . 因为椭圆的焦距为，所以与该椭圆等焦距的椭圆的焦点为 或 . 若焦点为,，则圆心 到两焦点的距离之和为 ，则, ,所以对应椭圆方 程为 ； 若焦点为,，则圆心 到两焦点的距离之和为 ，则, ,所以对应椭圆方程 为 . 易错点 忽视焦点位置的分类讨论而致错 易错警示 在解决与椭圆方程有关的问题时,要注意椭圆焦点的位置,即焦点在轴上还是在 轴上,一般需要进 行分类讨论. 易错点 忽视焦点位置的分类讨论而致错 43 $$