第1章 §2 圆与圆的方程 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §2 §2 圆与圆的方程 2 §2 §2 综合训练 刷能力 3 建议用时：60分钟 1.［陕西西安2024高二段考］直线与轴、轴分别交于点,，以线段 为直径的圆的 方程为( ) B A. B. C. D. 4 解析 由题得,.根据圆的直径式方程可以得到,以线段 为直径的圆的方程为 ，即 .故选B. 5 多种解法 由题得,,线段的中点为，，故以线段 为直径的圆的 圆心为，半径为，所以所求圆的方程为 ，展开化简得 ，故选B. 6 2.［四川南充2025高二期中］圆，圆与圆关于直线 对称，则圆 的标准方程为( ) A A. B. C. D. 7 解析 设，由题知圆的圆心，半径 ， 由圆与圆关于直线对称，得解得 所以圆的标准方程为 ，故选A. 8 3.在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为 ；乙：该圆经过 点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点 .如果只有一位同学的结论是错误的，那 么这位同学是( ) D A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 9 解析 设,, . 假设甲错误，乙、丙、丁正确，,， ，矛 盾，所以甲正确. 假设乙错误，甲、丙、丁正确，由甲、丙正确可知圆的方程为， 不 满足上式，矛盾，所以乙正确. 假设丙错误，甲、乙、丁正确， 由乙、丁正确得，与半径为 矛盾，所以丙正确. 因此丁是错误的，甲、乙、丙都正确，则由甲、丙正确可知圆的方程为 ， 满足上式，符合题意. 综上所述，结论错误的同学是丁. 故选D. 10 4.若圆上至少有三个点到直线的距离为，则直线 的 斜率的取值范围是( ) A A. B. C. D. 11 解析 圆的方程可化为，则圆心为 ， 半径为.根据题意知，只有圆心到直线的距离 时圆上至少有三个点到直线 的距离为，即,所以有 . 当时有 ，此时斜率不存在,排除; 当时有，此时圆心到直线的距离为2，又 ，不成立; 当且时，直线，则直线斜率，将①式不等号两边同时除以 得 ， 即，解得 . 综上,直线的斜率的取值范围是 .故选A. 12 5.［江西师大附中2025高二期中］若实数,满足 ，则下列结论错误的是( ) D A. B. C. D. 13 解析 如图，是以 为圆心，1为半径的圆. 对于A，设，则直线与圆 有公共 点， 所以，解得，所以 ，故A正 确； 对于B，由知， ，当且仅当 ,或,时取“ ”，故B正确； 对于C，表示圆 上一点与坐标原点连线的斜率， 由图知圆上的点与坐标原点连线的倾斜角的取值范围是， ， 故，即 ，故C正确； 对于D，取,，满足，但 ，故D错误.故选D. 14 6.［浙江多校2025高二期中］圆与圆 的公共弦所在的直线 与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则 的值为( ) C A. B.3 C.7或 D. 或3 15 解析 圆的圆心为，半径 ， 圆可化为 ， 则，圆心为，半径，则 ， 由题意可知两圆相交，所以 ，① 两圆方程作差可得，即公共弦所在直线的方程为 ， 令，则，令，则 ， 所以该直线与两坐标轴围成的三角形面积为 ， 解得或7，经检验或满足①，即或 .故选C. 16 7.（多选）［福建福州十校2025高二期中］古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前 公元 前190）发现：平面内到两个定点,的距离之比为定值 的点的轨迹是圆.后来，人们将 这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 中，已知 ，，动点满足，直线 ，则( ) ABD A.直线过定点 B.动点的轨迹方程为 C.动点到直线的距离的最大值为 D.若点的坐标为，则的最小值为 17 解析 对于A,直线，即，所以直线过定点 ， A正确； 对于B，设，因为动点满足 ，所以 ， 整理可得，即，所以动点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆，B正确； 对于C，当直线与垂直时,动点到直线 的距离最大， 且最大值为 ，C错误； 对于D，由，得，所以 ， 又因为点在圆内，点在圆外，所以，当且仅当 为线段与圆的交点时取等号，D正确.故选 . 18 8.（多选）［重庆一中2024高二期中］已知圆 ，则下列说法正确的是( ) AB A.过点作直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B.过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为，，则直线必过定点 C.圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为 D.圆上有2个点到直线 的距离等于1 19 解析 因为圆的圆心为，半径 . 对于选项A,因为，可知点在圆内，可得圆心到过点 的直线的距离 ，所以 ，故A正确； 对于选项B,设，则 ，可得 ， 以为圆心，为半径的圆的方程为 ，整理得 ，由题意可知，直线为圆与圆 的公共弦所在的直线， 两圆的方程相减可得，整理得 ，令 解得所以直线必过定点 ，故B正确； 20 对于选项C,圆的圆心为，半径为，则 ，若 圆与圆有且仅有两条公切线，则，即 ，解得 ，所以实数的取值范围为 ，故C错误； 对于选项D,因为圆心到直线的距离为，所以圆 上有4个点 到直线的距离等于1，故D错误.故选 . 21 9.已知直线与曲线交于点，.若，则实数 的取值范围是 ___________. ， 解析 设线段的中点为，圆心为，由 , 解得.由点到直线的距离公式可得，解得 . 22 10.如图，已知圆，，是圆上的两个动点，点，则矩形的顶点 的轨迹方程是_____________. 23 解析 如图，设点，则矩形的中心为，，由,为 的中点，得 ， ，即 ，即 . 24 11.［河南商丘十校2025高二期中］过圆上的一个动点 作圆 的两条切线，切点分别为，，则 的取值范围为_ _________. 25 思路导引 作图，根据圆的切线的性质，设 ，则 ，根据点在圆上求出 的范围， 进而得到 的范围，最终得到 的取值范围. 26 解析 圆的圆心为 ，半径为1， 将圆整理为 ， 因此点，半径为2， ， 由于在圆上，因此 ， 设与交于点， ，如图， 则，所以 ， 在中， ， 所以 . 27 12.［湖北黄冈2024高二期中］古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念.一直到两千多年 前我国的墨子（约公元前 公元前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说： 圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在从以点 为圆心，2为半径的圆上取任意一点 ，若的值与,无关，则实数 的取值范围是___________. 28 解析 由已知可得点所在圆的方程为 ， 设 ， 故可看作点到直线与直线 距离之和的5倍， 因为的值与,无关，所以这个距离之和与点 在圆上的位置无关. 圆心到直线的距离为，所以圆与直线 相离，如图所示， 可知直线平移时，点与直线,的距离之和均为直线, 之间的距离， 此时可得圆在两直线之间，当直线与圆 相切时，有 ，解得（舍去）或，所以，即实数 的 取值范围为 . 29 名师点拨 本题解题的关键是将所求代数式转化为点到直线与直线 距 离之和的5倍. 30 13.［江西临川一中2025高二期中］已知圆，点，点 . （1）过点作圆的切线，求出 的方程； 【解】圆的圆心，半径 ， 又，,则点在圆外部，则过点作圆的切线 有两条. ①当切线的斜率不存在时，直线的方程为 ，符合题意； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即 ， 圆心到直线的距离，解得 ， 切线的方程为 ， 综上可得切线的方程为或 . 31 （2）设为圆上的动点，为的重心，求动点 的轨迹方程. [答案] 设，，，，为 的重心， 即由为圆上的动点，得 ， ，整理得，即动点 的轨迹方程为 . 32 14.［河南南阳2024高二期中］已知圆 . （1）证明：圆 过定点. 【证明】将圆的方程整理得 ， 令解得 所以圆过定点 . 33 （2）当时，是否存在斜率为1的直线交圆于，两点，使得以 为直径的圆恰好经过原 点？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由. 【解】当时，圆的方程为 . 假设存在直线 符合题意，设直线的方程为 . 联立消去整理得 . 则 . 设，，由根与系数的关系得， . 若以为直径的圆经过原点，则，从而有 ， 即，解得 ， 代入 ，均符合题意， 所以直线的方程为或 . 34 15.［2024THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试］已知中，，角 的平分线交 于点，若，则 面积的最大值为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 35 解析 在中,，在中,，故 ， ， 因为，所以，又角 的平分线交 于点，则，因此,故 . 以为坐标原点，所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因 为，，所以，，设，则 ， 即 ， 化简可得，即，故点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆（除去点, ）. 故当点的纵坐标的绝对值最大，即时, 的面积取得最大值，最大值为 .故选C. 36 16.［中国科学技术大学2023强基计划］二元函数 的值 域为_____________. 解析 由题意可知二元函数的几何意义为单位圆上一点 到直线 上一点距离的平方,易知,则, . 37 $$