第1章 2.4 圆与圆的位置关系-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §2 §2 圆与圆的方程 2 §2 2.4 圆与圆的位置关系 刷基础 3 1.［山东济宁一中2025高二期中］圆与圆 的位置关系 为( ) B A.外离 B.内切 C.相交 D.内含 题型1 圆与圆位置关系的判断 4 解析 因为圆的圆心，半径，圆 的圆 心，半径，又，所以，所以圆与圆 内切， 故选B. 题型1 圆与圆位置关系的判断 5 2.（多选）已知，圆，圆 ，则( ) ABC A.两圆可能外离 B.两圆可能相交 C.两圆可能内切 D.两圆可能内含 题型1 圆与圆位置关系的判断 6 解析 圆的圆心，半径；圆 的圆心 ，半径,则，, . 当时， ，两圆外离； 当时， ，两圆相交； 当时，，两圆内切；当时， ，两圆外切. 综上所述，两圆可能外离，可能相交，可能内切，可能外切，不可能内含.故选 . 题型1 圆与圆位置关系的判断 7 3.［陕西西安2024高二联考］已知是圆上一点，是圆 上一点，则 的最小值为( ) B A.1 B. C.2 D. 题型1 圆与圆位置关系的判断 8 解析 因为，，所以，且圆,的半径分别为, , ，即两圆外离，所以的最小值为 .故选B. 题型1 圆与圆位置关系的判断 9 4.［安徽合肥2025高二期中］圆与圆 的公切线条数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 圆与圆位置关系的判断 10 解析 圆的标准方程为，圆心，半径，圆 的圆心 ，半径.因为 ，所以两圆外切，所以圆 与圆 的公切线有3条.故选C. 题型1 圆与圆位置关系的判断 11 5.［河南南阳2024高二月考］以点为圆心，且与圆 相外切的圆的方程为 ( ) B A. B. C. D. 题型2 与两圆相切有关的问题 12 解析 由题意可知，两圆的圆心距为，设圆的半径为 ，因为两圆相 外切，所以，得，所以圆的方程为 .故选B. 题型2 与两圆相切有关的问题 13 6.［湖北武汉华中师大一附中2025高二期中］已知圆 与圆 ，若圆与圆恰有三条公切线，则实数 的值为( ) B A. B. C. D.0 题型2 与两圆相切有关的问题 14 解析 把圆的方程化为标准方程得，则圆心，半径；把圆 的方 程化为标准方程得，则圆心，半径 . 由圆与圆恰有三条公切线，可知圆与圆 相外切， 则，即，解得 .故选B. 题型2 与两圆相切有关的问题 15 7.（多选）［安徽蚌埠2025高二月考］若两圆和 相切，则实 数 的值可以为( ) ACD A. B. C. D. 题型2 与两圆相切有关的问题 16 解析 根据题意，圆的圆心坐标为，半径长为2，圆 的 圆心坐标为 ，半径长为5. 若两圆相切，分两种情况讨论： 当两圆外切时，有，解得 ； 当两圆内切时，有，解得 . 综上所述，实数的值可以为或.故选 . 题型2 与两圆相切有关的问题 17 8.已知两圆和相交，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 题型3 与两圆相交有关的问题 18 解析 由圆，知圆心为,半径 ， 由圆，知圆心为,半径 ， 所以根据两圆相交得，，则 .故选C. 题型3 与两圆相交有关的问题 19 9.［河北张家口2025高二期中］已知圆，圆 ， 若圆平分圆的周长，则 ( ) B A.2 B. C.1 D. 题型3 与两圆相交有关的问题 20 解析 已知圆，即,则圆心,半径 ；圆 ，即，则 ,圆心 ,,半径 .由题意可知两圆相交，所以 . 两圆方程作差可得，即公共弦所在直线的方程为 .因 为圆平分圆的周长，所以公共弦所在直线过点,故，即 ，经 检验，满足①②.故选B. 题型3 与两圆相交有关的问题 21 10.在坐标平面内，与点的距离为1，且与点 的距离为2的直线共有( ) B A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 题型3 与两圆相交有关的问题 22 解析 满足要求的直线应为圆心为，半径为1和圆心为 ，半径为2的两圆的公切线，又 ，，所以圆与圆 相交，所以公切线有2条． 题型3 与两圆相交有关的问题 23 11.［江苏苏州2025高二期中］已知圆的圆心在直线上，并且圆 经过圆 与圆的交点，则圆 的圆心是( ) D A. B. C. D. 题型3 与两圆相交有关的问题 24 解析 设圆与圆的交点为, , 联立两圆方程，得 解得或 不妨记， ， 则线段的中点为， ， 从而可得线段的垂直平分线方程为，即 ， 联立与 ， 得解得 即圆的圆心坐标为 .故选D. 题型3 与两圆相交有关的问题 25 12.（多选）［山东东营多校2025高二联考］点在圆上，点 在圆 上，则( ) ACD A.圆与圆 相交 B. 的最大值为10 C.两圆的公共弦长为 D.当直线与圆相切时，的最大值为 题型3 与两圆相交有关的问题 26 解析 对于A，由圆的方程知，圆心，半径 ； 圆的方程化成标准方程为，所以圆心，半径 . 因为两圆圆心距，且 ， 所以圆与圆 相交，故A正确. 题型3 与两圆相交有关的问题 27 对于B，如图①所示， 图① 当线段同时经过两圆圆心且点,分别在两圆圆心两侧时， 取得最大值， ，故B错误. 对于C，两圆方程作差，得两圆公共弦所在直线方程为 ， 又圆心到直线的距离 ， 所以两圆的公共弦长为 ，故C正确. 题型3 与两圆相交有关的问题 28 对于D，如图②所示， 图② 当直线与圆相切时，点在圆 外， 因为，所以当取得最大值时， 取得最大值. 因为，所以点在圆上，所以的最大值为 ， 所以的最大值为，故D正确.故选 . 题型3 与两圆相交有关的问题 29 13.［浙江金华2024高二月考］已知圆 . （1）过点作圆的切线，求直线 的方程； 【解】圆的方程可化为 ， 则圆心 ，半径为2， 由，可知点在圆的外部， 作出圆及过点 的切线如图所示， 由图可知，过点的切线的斜率存在，设的方程为，即 ， 则圆心到直线的距离为，解得或，所以直线 的方程为 或 . 题型3 与两圆相交有关的问题 30 （2）若圆与圆相交于,两点，求 . [答案] 由 两式相减得直线的方程为 ， 则圆心到直线的距离，所以 . 题型3 与两圆相交有关的问题 31 14.［河南郑州多校2025高二联考］在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点 ，点 满足.过点总可以向以点为圆心、为半径的圆作两条切线，则半径 的取值 范围为( ) B A. B. C. D. 题型4 与两圆位置关系有关的综合问题 32 解析 设，由，得，故 ， 即，故点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆. 又点与圆心的距离为，由于过点 总可以向以点 为圆心的圆作两条切线，故两圆外离，所以，故 的取值范围为 .故选B. 题型4 与两圆位置关系有关的综合问题 33 15.［福建泉州2024高二期中］已知圆，点， ，在圆 上存在点，使得，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 题型4 与两圆位置关系有关的综合问题 34 解析 如图，构造圆，当圆与圆有公共点时，，即圆与圆 的关 系可以为相切或相交，所以解得 .故选C. 题型4 与两圆位置关系有关的综合问题 35 16.［安徽马鞍山二中2025期末］点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点 为圆上一动点，则 的最小值为_________. 解析 设，由得，整理得 ， 设该圆的圆心为，则 ，半径为2. 易知，圆的半径为1， ， 故圆与圆相离，故的最小值为，当且仅当,,, 共线且,在线段 上时取最小值，此时也取得最小值， 最小值为 ， 故的最小值为 . 题型4 与两圆位置关系有关的综合问题 36 17.在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线 上至少存在 一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则 的最大值是__． 解析 圆的标准方程为，圆心，则题中条件可转化为圆 的圆心到直线 的距离不大于2，则，整理得,解得.故的最大值是 . 题型4 与两圆位置关系有关的综合问题 37 18.若圆与圆相切，则实数 的值为( ) C A. B. C.或 D.或 易错点 两圆相切问题中考虑不全面漏解致误 38 解析 圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为 . ①当两圆外切时，有，此时 . ②当两圆内切时，有，此时 . 综上，当时，两圆外切；当 时，两圆内切.故选C. 易错点 两圆相切问题中考虑不全面漏解致误 39 19.已知圆,圆 ，求两圆的公切线方程. 【解】由题知,圆的圆心，半径;圆的圆心,半径 ,则 , 所以两圆外离，所以两圆有四条公切线. 当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为,即 ， 则 解得或或 当公切线的斜率不存在时，直线 也和两圆相切. 所以所求切线方程为,,, 易错点 两圆相切问题中考虑不全面漏解致误 40 易错警示 易忽略斜率不存在时公切线的方程，可先判断出两圆的位置关系，确定公切线的条数.若求得的切 线条数少于确定的条数，则一定有斜率不存在的切线. 易错点 两圆相切问题中考虑不全面漏解致误 41 $$