第1章 2.3 直线与圆的位置关系-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §2 §2 圆与圆的方程 2 §2 2.3 直线与圆的位置关系 刷基础 3 1.［江西宜春2025高二段考］直线与圆 的位置关系为 ( ) A A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 4 解析 圆，圆的圆心，半径，圆心到直线 的 距离 ， 圆与直线 相交.故选A. 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 5 2.已知直线，圆，则直线与圆 的位置关系是( ) A A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 6 解析 已知直线，变形整理得 ， 由得即直线恒过定点，把定点坐标代入圆 的方程的左端有 ，即该定点在圆内，所以直线与圆 相交.故选A. 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 7 3.［河南省实验中学2025高二期中］若直线与圆 相离，则点 ( ) B A.在圆外 B.在圆内 C.在圆 上 D.位置不确定 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 8 解析 若直线与圆相离，则点到直线的距离 ， 即.圆，圆心，半径 ，故 ，所以点在圆 内.故选B. 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 9 4.［吉林长春吉大附中2025高二期中］过点作圆 的切线，则切线方 程为( ) D A. B. C. D. 题型2 直线与圆相切的有关问题 10 解析 由圆的方程，可得圆心坐标 ， 将点的坐标代入圆的方程，得，则点在圆 上， 又，所以过点与圆 相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即 .故选D. 题型2 直线与圆相切的有关问题 11 二级结论 ①过圆上一点的切线方程为 ；②过圆 上一点的切线方程为 ;③ 过圆上一点 的切线方程为 . 题型2 直线与圆相切的有关问题 12 5.［湖南长沙2024高二期中］过点的直线与圆相切，则直线 的 方程为( ) B A.或 B.或 C.或 D.或 题型2 直线与圆相切的有关问题 13 解析 圆化为标准方程得，则圆心为 ， 半径为2. 当直线的斜率不存在时，直线 ， 此时直线与圆 相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 ， 圆心到直线的距离，由直线与圆相切得，所以 ，解得 ，因此直线的方程为.综上，直线的方程为或． 故选B. 题型2 直线与圆相切的有关问题 14 6.［北京通州区2024高二期中］过直线上一点作圆的两条切线 ， ，切点分别为，，当直线，关于直线对称时，线段 的长为( ) C A.4 B. C. D.2 题型2 直线与圆相切的有关问题 15 解析 如图所示，圆心,连接,，因为直线，关于直线对称，所以 垂直 于直线，故,而,则 .故选C. 题型2 直线与圆相切的有关问题 16 7.［山东临沂2025高二素养监测］已知圆，点在直线上，过点 作圆的切线，切点为，则切线长 的最小值为( ) B A.1 B.2 C. D.4 题型2 直线与圆相切的有关问题 17 思路导引 根据切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，得出当圆心到点 的 距离最小时，切线长最小，最后由圆心到直线上点 的最小距离就是圆心到直线的距离求解. 题型2 直线与圆相切的有关问题 18 解析 对于圆，其圆心坐标为，半径.根据点 到直线 的距离公式，可知圆的圆心到直线 的距离 .根据切线长、圆的半径和圆心到点 的距离构成直角三角形，设圆心到点 的距离为，由勾股定理可得，当取最小值时， 最小，此时 .故选B. 题型2 直线与圆相切的有关问题 19 8.（多选）已知圆，过直线上一点作圆 的两条切线，切点分别为 , ，则( ) ABC A.若点，则直线的方程为 B.四边形面积的最小值为 C.线段长度的最小值为 D.点始终在以线段 为直径的圆上 题型2 直线与圆相切的有关问题 20 解析 对于A，点，连接,，,则, ， 故,在以为直径的圆上，而,则以 为直径的圆的方程为 ，将方程和 相减得 ，即直线的方程为 ，A正确； 题型2 直线与圆相切的有关问题 21 多种解法设点，，则直线的方程为，直线 的方程为 .因为点既在直线上，又在直线上，所以所以点, 的坐标满 足方程,化简得，即直线的方程为 ，故A正确. 对于B，由题意知，则四边形的面积 ， 而的最小值即为原点到直线的距离，故四边形 的面积 的最小值为 ，B正确； 题型2 直线与圆相切的有关问题 22 对于C，设，则以为直径的圆的方程为，与 相减， 即得直线的方程为，又，故 ，即 ，令得，即直线过定点，设为 ，则 ，当时，最小，最小值为 ，C正确； 对于D，在四边形中，不一定是直角，故点不一定在以线段 为直径的圆上，D错 误.故选 . 题型2 直线与圆相切的有关问题 二级结论 ①设点为圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为,，则直线 的方程为;②若圆的方程为，则直线 的方程为 .线段 称为圆的切点弦. 题型2 直线与圆相切的有关问题 24 9.直线与直线是圆的两条切线，则圆 的面积是_ ____. 解析 易知直线与直线平行，若两条平行直线是圆 的两条切线， 则两直线之间的距离为圆的直径.直线，即，与直线 间的距离，则圆的半径，圆的面积 . 题型2 直线与圆相切的有关问题 25 10.［江西新余六中2024高二统考］过三点，，的圆交轴于， 两点，则 ( ) D A. B. C. D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 26 解析 由，，可知，直线与轴平行，直线与 轴平行，所以 ，即圆为直角三角形的外接圆，所以圆心坐标为的中点 ，即圆心为 ，故半径 ，由圆中弦长、弦心距、半径的关系可得 .故选D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 27 11.［江苏泰州2025高二期中］直线与圆交于， 两点， 则 的面积为( ) C A.2 B. C. D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 28 解析 圆的方程化为标准方程得，则圆的圆心，半径，点 到直 线的距离，则，所以 的面积 .故选C. 题型3 直线与圆相交的有关问题 29 12.［江西南昌2025高二期末］已知直线与圆 相交 于，两点，则 的最小值是( ) D A.1 B.2 C. D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 30 解析 由直线可得 ， 令解得所以直线恒过定点，且圆的圆心 ，半径 ，易知点在圆 内. 当直线与直线垂直时，最小，且 ， 所以 故选D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 31 13.不论为何实数，直线 与圆 恒有公共点，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 32 解析 由，得，则，得 . 由，得 ， 由解得所以直线恒过定点 . 因为直线与圆 恒有公共点， 所以点 在圆内或圆上， 所以，即，解得 . 综上， .故选C. 题型3 直线与圆相交的有关问题 33 14.［安徽淮南2025高二期中］若直线与曲线 恰有两个公共点，则实 数 的取值范围为_________. 解析 由题意知，曲线可化为，则曲线表示以 为圆心， 半径的半圆，且 . 当直线与半圆相切时，可得，解得或 （舍去）， 因为直线与曲线 恰有两个公共点，如图所示，当直线 经过时为临界情况，此时 ， 所以当时，直线与曲线 恰有两个公共点. 题型3 直线与圆相交的有关问题 34 15.［江西上饶2025高二月考］已知以点为圆心的圆与直线 相切. （1）求圆 的方程； 【解】由题意知点到直线的距离为圆的半径 ， 由点到直线的距离公式可得点到直线的距离 , 所以圆的方程为 . 题型3 直线与圆相交的有关问题 35 （2）过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线 的方程； [答案] 因为直线与圆相交于,两点，且 ，利用垂径定理和勾股定理， 可得圆心到直线的距离 ， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线 的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ， 由题意可得，解得 ， 所以直线的方程为，即 . 综上所述，直线的方程为或 . 题型3 直线与圆相交的有关问题 36 （3）已知实数，满足圆的方程，求 的取值范围. [答案] 表示点到 的距离的平方， 又圆心到的距离 ， 所以点到的距离的最小值为，最大值为 ， 所以的最小值为，最大值为 ， 即的取值范围为 . 题型3 直线与圆相交的有关问题 37 16.［重庆合川区2025高二期中］某手机信号检测设备的监测范围是半径为 的圆形区域，一 名人员持手机以的速度从设备正东的处沿西偏北 方向走向位于设备正北 方向的 处，则这名人员被持续监测的时长约为( ) C A. B. C. D. 题型4 直线与圆的方程的应用 38 思路导引 根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线 及圆的方程，利用点到直线的距离公式及圆的 弦长公式求解即可. 题型4 直线与圆的方程的应用 39 解析 如图，以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、 轴的正方向建立平面 直角坐标系， 则直线，即，圆 ， 记从处开始被监测，到处监测结束，过点作交直线于点，连接,,点 到 直线的距离为 ， 则，所以被监测的时长为 .故选C. 题型4 直线与圆的方程的应用 40 17.［河南郑州部分学校2025高二联考］一个小岛（点 ）的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛 为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方向的点处.以小岛中心为原点 ，正 东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取 为单位长度. （1）若轮船沿北偏西 的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由； 【解】由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘，所对应的圆的方程为 ， 轮船航线所在直线过点，且斜率为，所以航线所在直线的方程为 ， 故原点到直线的距离 ，所以轮船没有触礁风险. 题型4 直线与圆的方程的应用 41 （2）若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求 的一般式方程，并求暗礁边 界上动点到直线 的距离的最小值. [答案] 记直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为 ，由题意知， ，则 , ，因此直线的方程为，即 . 易知原点到直线的距离，故直线与圆 相离， 所以圆上动点到直线的距离的最小值为 . 题型4 直线与圆的方程的应用 42 18.已知圆的方程为 ． （1）求过点且与圆相切的直线 的方程； 【解】根据题意，得点在圆 外，分两种情况讨论： 当直线的斜率不存在时，过点的直线方程是，与圆 相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，因为直线 与 圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得 ， 此时直线的方程为 . 所以满足条件的直线的方程是或 . 易错点 求圆的切线方程考虑不全致误 43 （2）直线过点，且与圆交于,两点，若，求直线 的方程. [答案] 根据题意，若，则圆心到直线的距离 ，结合（1）知 直线 的斜率一定存在. 设直线的方程为，即，则，解得 或 . 所以满足条件的直线的方程是或 . 易错点 求圆的切线方程考虑不全致误 44 易错警示 求过某点的圆的切线问题时，应先确定该点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆内,则过该 点的切线不存在;若点在圆上，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条， 此时应考虑切线斜率不存在的情况. 易错点 求圆的切线方程考虑不全致误 45 $$