第1章 §1 直线与直线的方程 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §1 §1 直线与直线的方程 2 §1 §1 综合训练 刷能力 3 建议用时：40分钟 1.［山东泰安2025高二期中］已知直线与直线关于点对称，则 恒过的 定点为( ) C A. B. C. D. 4 解析 直线的方程可化为，由得所以直线 过定点 ，点关于点的对称点为，因此直线恒过的定点为 .故选C. 5 2.［江苏盐城七校2025高二联考］直线的方程为，若直线 不经过第一 象限，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 6 解析 当时，直线的方程为，此时直线 不经过第一象限，符合题意； 当时，直线的方程为，令，可得，即直线过点 ，当 ，即时，此时，要使直线不经过第一象限，则，解得或 ， 则 ； 当，即时，，此时不论直线的斜率为何值，直线 都经过第一象限，不符合 题意.综上所述，的取值范围为 .故选C. 7 3.［河南濮阳一高2024高二月考］瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角 形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为欧拉线．已知的顶点 ， ，，若直线与的欧拉线平行，则实数 的值为( ) C A. B. C. D.3 8 解析 如图所示.由的顶点,,知, 的重心为 ,，即.因为,所以三角形 为直角三角形,所以 外心为斜边的中点,即,所以可得 的欧拉线方程为 ,即 . 因为直线与平行,所以,解得 .故选C. 9 归纳总结 三角形的“四心” （1）外心：垂直平分线的交点，到各顶点的距离相等. （2）内心：角平分线的交点，到各边的距离相等. （3）重心：中线的交点，重心将中线分成长度之比为 的两条线段. （4）垂心：高的交点. 10 4.（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐 标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点, 的曼哈顿距 离 ，则下列结论正确的是( ) ACD A.若点,，则 B.若点,，则在轴上存在点，使得 C.若点，点在直线上，则 的最小值是3 D.若点在上，点在直线上，则 的值可能是4 11 解析 对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知 ，则A正确. 对于B选项，设 ，则 从而 ，故B错误. 12 对于C选项，作直线轴，交直线于，过 作 ，垂足为 ，如图所示. 由曼哈顿距离的定义可知 . 当不与重合时，因为直线的斜率为 ，所以 ，所以 ； 当与重合时， . 综上， ，则 .故C正确. 对于D选项，若,，则，故D正确.故选 . 13 5. 已知直线,,点,则过点的直线与, 所围三角 形（点 在其一条边上）面积的最小值为___. 解析 由解得所以直线与交于点 ,且两 直线关于直线对称，点在直线上，设直线与,的交点分别为 , .当点为的中点时,最小.由对称性，可知当直线垂直于直线 时， 点为的中点，此时直线，故,,， , , . 14 链接教材 本题是教材第26页B组第6题的延伸，综合考查直线中的对称、垂直问题，以及分析面积取得最 值时的情况. 此题用到一个结论： 已知点在直线与的对称直线上（非三线交点），则过点有一条直线,当它夹在相交直线 与 之间的线段恰好被点平分时，三条直线,, 所围成的三角形面积最小. 15 证明：假设直线垂直于直线,的对称直线,与直线, 的交点分 别为,.直线不垂直于直线，与,的交点分别为, .作 于点，作于点 ，如图所示. . 由,知 , 易知,所以 . , , 因为,,所以 ,所以 . 所以当点为直线被直线,所截线段的中点时， 最小. 16 6.［江西赣州二十四校2025高二期中］过点的直线分别与轴、轴交于，两点， 为 坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则 的取值范围是___________. 解析 因为过点的直线分别与轴、轴交于，两点，所以直线 的斜率存在且不为 0，可设直线的方程为 ， 令得，令得，则 . 因为存在4条直线使得的面积均为，所以关于的方程 有四个不同的实 数解，即，即 有两个不等实根且 有两个不等实根， 则有解得或.又，所以 ， 故的取值范围是 . 17 7.［河南省实验中学2025高二期中］已知直线 . （1）若直线与平行，且,之间的距离为，求 的方程； 【解】由直线与平行可设直线的方程为 ， 由，之间的距离为，得，解得或 ， 所以直线的方程为或 . 18 （2）为上一点，点，，求取得最大值时点 的坐标. [答案] 设点关于直线的对称点为 ， 则解得即 . 而，当且仅当,, 三点共线时取等号， 直线的方程为，即 ， 由解得 所以取得最大值时点的坐标为 . 19 8.（多选）［清华大学2024强基计划］已知直线，， ， ，则下列选项中正确的有( ) AB A.若，则与射线相交 B.若，则与射线 平行 C.若，则与射线垂直 D.若存在，则在 上 20 解析 若，则或 ， 即点,在直线的同侧，且直线与射线 不平行，故A正确. 若，则，即 ， 若，则，过,两点的直线与直线 的斜率都不存在，故平行； 若，则，所以，即过,两点的直线与直线平行，综上，直线 与射线 平行，故B正确. 因为，所以为,两点到直线 的距离之比， 若，则，即,两点到直线的距离相等，且在直线的两侧，但与射线 不一定垂 直，故C不正确. 若点在直线上，则有 ， 结合题设及分母不为0可知，不存在实数，使点在直线上，故D不正确.故选 . 21 $$