第1章 1.3 直线的方程-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 1.3 1.3 直线的方程 2 1.3 课时1 直线方程的点斜式 刷基础 3 1.［天津五区县重点校2025高二联考］已知直线的倾斜角为 ，且经过点，则直线 的方 程为( ) C A. B. C. D. 题型1 直线的点斜式方程 4 解析 由题意知直线的斜率为，则直线的方程为，即 .故选C. 题型1 直线的点斜式方程 5 2.方程 表示( ) C A.过点的所有直线 B.过点且不垂直于 轴的所有直线 C.过点且不垂直于轴的所有直线 D.过点且除去 轴的所有直线 题型1 直线的点斜式方程 6 解析 为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点 .故选C. 题型1 直线的点斜式方程 7 3.（多选）［河南南阳2025高二月考］在平面直角坐标系中，下列四个结论正确的是( ) BD A.每一条直线都有点斜式和斜截式方程 B.倾斜角是钝角的直线，斜率为负数 C.方程与方程 表示同一条直线 D.直线过点，倾斜角为 ，则其方程为 题型1 直线的点斜式方程 8 解析 对于A，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故A选项错误； 对于B，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，即直线斜率为负数，故B选项正确； 对于C，方程表示直线去掉点，与方程 不表 示同一条直线，故C选项错误； 对于D，直线过点，倾斜角为 ，则其方程为，故D选项正确.故选 . 题型1 直线的点斜式方程 9 4.［湖北武汉部分重点中学2024高二期中联考］一束光线从点射出，沿倾斜角为 的直线射到轴上，经 轴反射后，反射光线所在的直线方程为( ) D A. B. C. D. 题型1 直线的点斜式方程 10 解析 倾斜角为 的直线，斜率为 ，所以入射光线所在直线的方程为 ,即 . 令，解得，所以入射光线与轴的交点为 . 又由题意知反射光线所在直线的斜率为，故反射光线所在直线的方程为 , 即 .故选D. 题型1 直线的点斜式方程 11 5.［江西上饶2025高二开学考］过点与 的直线的斜截式方程是( ) A A. B. C. D. 题型2 直线的斜截式方程 12 解析 由题意可知直线的斜率为 ，且纵截距为7，所以直线的斜截式方程是 .故选A. 题型2 直线的斜截式方程 13 6.［广东江门2024高二期中］直线的倾斜角及在 轴上的截距分别是( ) B A.，6 B.， C.，6 D.， 题型2 直线的斜截式方程 14 解析 由直线可得其斜率，设直线的倾斜角为 ，则 . 因为，所以，即倾斜角为.当时，，得 ， 所以直线在轴上的截距为 ，故选B. 题型2 直线的斜截式方程 15 7.（多选）［吉林长春外国语学校2025高二期中］对于直线 ，下列说法正确的是 ( ) AB A.直线恒过定点 B.直线 的斜率可以不存在 C.当时，直线的倾斜角为 D.当时，直线在轴上的截距为 题型2 直线的斜截式方程 16 解析 对于A，在直线中，令，则，所以直线过定点 ，故A正确； 对于B，当时，直线，此时直线 的斜率不存在，故B正确； 对于C，当时，直线，所以直线的斜率为，倾斜角为 ，故C错误； 对于D，当时，直线，令，得，即直线在 轴上的截距为 -，故D错误.故选 . 题型2 直线的斜截式方程 17 8.［江西抚州2025高二月考］已知直线 ，为使这条直线不经过第二象限， 则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型2 直线的斜截式方程 18 解析 若，即，则直线方程可化为 ，此时直线不经过第二象限，满足条件； 若，则直线方程可化为，此时若直线不经过第二象限，则 且 ，解得.综上，满足条件的实数的取值范围是 .故选D. 题型2 直线的斜截式方程 19 9.已知等腰直角三角形的直角边所在直线方程为，则斜边 所在直线的斜率为 ( ) C A.或2 B.或3 C.或4 D. 或5 易错点 求直线方程时位置考虑不全致误 20 解析 因为等腰直角三角形的直角边所在直线方程为，所以 所在直线的斜率 为，设直线的倾斜角为 ，则 . 因为等腰直角三角形的底角是 ，所以斜边的倾斜角为 或 ，所以 ， ，所以斜 边所在直线的斜率为 或4.故选C. 易错点 求直线方程时位置考虑不全致误 21 易错警示 本题只给了一条直角边所在的直线方程，注意考虑斜边在这条直角边两侧的两种情况对应的斜率不同. 易错点 求直线方程时位置考虑不全致误 22 10.已知点是直线与轴的交点，将直线绕点旋转 ，所得直线 的方程为 _ __________________________. 或 解析 在中，令，得，即 . 因为直线的斜率为，所以其倾斜角为 . 若直线绕点逆时针旋转 ，则得到的直线的倾斜角为 ，此时直线 的斜率不存在，故 其方程为；若直线绕点顺时针旋转 ，则得到的直线的倾斜角为 ，此时直 线的斜率为，故其方程为.综上所述，所求直线 的方程为 或 . 易错点 求直线方程时位置考虑不全致误 23 易错警示 解答本题时易忽略对直线旋转分顺时针和逆时针进行讨论而出现漏解. 易错点 求直线方程时位置考虑不全致误 24 1.3 课时2 直线方程的两点式和一般式 刷基础 25 1.［陕西西安2025高二期中］下列说法正确的是( ) B A.经过定点的直线的方程都可以表示为 B.方程能表示平行 轴的直线 C.不经过原点的直线的方程都可以表示为 D.经过任意两个不同的点，的直线方程都可表示为 题型1 直线方程的两点式及其应用 26 解析 对于A选项，经过定点且倾斜角为 的直线的斜率不存在，不能用方程 来表示，A错误； 对于B选项，当时，直线方程为，该直线平行于 轴，B正确； 对于C选项，不经过原点的直线的方程不一定可以表示为，比如 或 ，C错误； 对于D选项，当直线与轴或者 轴垂直时，不能用分式形式的两点式方程来表示，D错误.故选B. 题型1 直线方程的两点式及其应用 27 2.［江苏南京师大附中2025高二期中］已知点，，则直线在 轴上的截距为 ( ) B A. B. C. D. 题型1 直线方程的两点式及其应用 28 解析 因为直线经过两点和，所以直线的方程为 ，化简得 ，令，则,所以直线在轴上的截距为 .故选B. 题型1 直线方程的两点式及其应用 29 3.［北京丰台区2025高二期中］设，是轴上的两点，点的横坐标为2，且 ，若直线 的方程为，则直线 的方程为( ) C A. B. C. D. 题型1 直线方程的两点式及其应用 30 解析 如图，因为点在直线上，且横坐标为2，所以点的坐标为 . 点为直线与轴的交点，所以 . 又点在轴上，且，则点是线段的中点，所以 ， 所以直线的方程为，即 .故选C. 题型1 直线方程的两点式及其应用 31 4.［四川绵阳南山中学2025高二月考］两条直线和 在同一平面直角坐标系 中可以是( ) A A. B. C. D. 题型2 直线方程的截距式及其应用 32 解析 由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为， . 对于A，由题图中的位置可得，，则直线 的截距均为正数，故A符合题意； 对于B，由题图中的位置可得，，则直线 的截距均为正数，故B不符合题意； 对于C，由题图中的位置可得，，则直线 的横截距为负数，纵截距为正数，故C不 符合题意； 对于D，由题图中的位置可得,，则直线 的横截距为正数，纵截距为负数，故D不符 合题意.故选A. 题型2 直线方程的截距式及其应用 33 名师点拨 直线方程的截距式为,项对应的分母是直线在轴上的截距， 项对应的分 母是直线在轴上的截距，中间以“ ”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两 坐标轴上的截距. 题型2 直线方程的截距式及其应用 34 5.直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且,满足，则直线 的斜率为( ) C A.2 B. C. D.或 题型2 直线方程的截距式及其应用 35 解析 由题意知,可设直线的方程为，则，又， . 由①②解得，或，.又由知,,，则， ， 则直线的斜率为 ．故选C． 题型2 直线方程的截距式及其应用 36 特别注意 求出参数值后，注意验证每种结果是否符合题意，避免多解. 题型2 直线方程的截距式及其应用 37 6.［广东江门一中2025高二月考］已知直线，若直线 与两坐标轴的正半轴围成的 三角形的面积最大，则 的值为___. 2 解析 由题意知，，，所以直线 与两坐标轴的正半轴围成的三角形 的面积，当且仅当，即时取等号，故 . 题型2 直线方程的截距式及其应用 38 7.（多选）已知直线，其中, 不全为0，则下列说法正确的是( ) AD A.当时， 过坐标原点 B.当时， 的倾斜角为锐角 C.当,时，和 轴平行 D.若直线过点，则直线的方程可化为 题型3 直线方程的一般式及其应用 39 解析 选项A，当时，是方程的一个解，即直线 过坐标原点，故A正确； 选项B，当时，直线的方程可化为，则直线 的斜率 ，倾斜角为钝角，故B错误； 选项C，当,时，由,不全为0，得，则直线 的方程可化为 ，故直线和 轴垂直，不平行，故C错误； 选项D，直线过点，则，可得 ，代入直线方程 ，得，即 ，故D正确.故选 . 题型3 直线方程的一般式及其应用 40 8. ［湖北武汉2024高二月考］求分别满足下列条件的直线 的一般式方程. （1）经过点，且与 轴垂直； 【解】因为直线经过点，且与轴垂直，所以直线的方程为 ，化成一般式为 . （2）斜率为，在 轴上的截距为7； [答案] 由直线的斜率为，在轴上的截距为7，得直线的斜截式方程为 ，化成一 般式为 . （3）经过， 两点. [答案] 由直线经过，两点，得直线的两点式方程为 ，整理得 . 题型3 直线方程的一般式及其应用 41 链接教材 此题由教材第26页A组第4题改编，根据已知条件，明确表示直线方程的相关元素，再确定要采 用的直线方程类型，最后再统一化为一般式方程. 已知过一点和斜率 ； 已知斜率与轴上的截距 ； 已知过不同的两点与 ； 已知轴与轴上的截距分别为, . 题型3 直线方程的一般式及其应用 42 9.经过点且与直线 垂直的直线方程的点法式为______________________. 解析 由于直线的一个法向量为，故它的一个方向向量为 ， 则经过点且与直线垂直的直线的一个法向量为 ， 故所求直线的点法式方程为 . 题型4 直线方程的点法式 43 10.过点，且与直线 垂直的直线方程的点法式为_______________________. 解析 与直线垂直的直线的法向量为 ，则所求直线的点法式方程为 . 题型4 直线方程的点法式 44 11.直线过点，分别与两坐标轴交于，两点，为坐标原点， 的面积为12，符合 条件的直线 的条数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 易错点 对截距理解不准确致误 45 解析 显然，直线的斜率存在且斜率不为0，设直线的方程为 . 令得，令得，则，即 . 当时，，即，解得 ，符合要求； 当时，，即，解得 ，符合要求. 综上，符合条件的直线 的条数为3. 故选C. 易错点 对截距理解不准确致误 46 易错警示 截距不是距离，可正、可负、可为0，在计算直线与坐标轴围成的三角形的面积时，注意对截距 取绝对值，并分情况讨论. 易错点 对截距理解不准确致误 47 12.［江苏连云港2025高二联考］已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方 程为______________. 解析 当直线在坐标轴上的截距为0时，直线的方程为 ， 当直线在坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为，把点 的坐标代入可得 ，即直线的方程为 . 易错点 对截距理解不准确致误 48 易错警示 直线的截距是直线与坐标轴的交点的横坐标或纵坐标，在轴上的截距就是直线与 轴交点的横坐 标，在轴上的截距就是直线与轴交点的纵坐标.当直线过原点时，直线在轴、 轴上的截距都 是0，所以当已知直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数或成倍数关系时，应注意截距都为0 的情形.在轴上和轴上的截距均非零的情况下，可设方程为 . 易错点 对截距理解不准确致误 49 $$