第二章 2.6 正多边形与圆（同步练习）2025-2026学年苏科版 数学九年级上册

2025-2026学年数学九年级上册苏科版 第二章 对称图形——圆 2.6 正多边形与圆（同步练习） 一、选择题 1．正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 2．如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则正方形的半径是（　　） A．4 B．2 C． D． 3．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（　　） A．3． B．4． C．5． D．6． 4．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是 ，则该正多边形边数是（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 6．如图，若千个相同的正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，要完成这一圆环还需要正五边形(　　) A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 7．公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H是上的八等分点，任意取其中的三个点组成一个三角形，则组成钝角三角形的个数是（　　） A．12个 B．18个 C．24个 D．32个 8．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（　　） A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形 C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是钝角三角形 9．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则　 　． 11．若正六边形外接圆的半径为4，则它的边长为　 　. 12．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是36°，则该正多边形的边数是　 　 13．如图，在半径为 3 的 上，以 3 为半径依次截取点六个点，并连结得六边形 ．连结 ，则四边形 的面积是　 　． 14．如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则　 　． 15．阅读图中的材料，解答问题：已知⊙O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约为　 　 我国魏晋时期著名数学家刘徽在“割圆术”中提出：当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用该正多边形的面积来近似估计这个圆的面积． 16．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝　 　°． 17．如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为　 　． 18．如图，正方形 和正 都内接于半径为1的 ， 与 、 分别相交于点 、 ，则 的长为　 　. 19．如图，在边长为的正六边形中，连接，，其中点，分别为和上的动点，若以，，为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为　 　． 三、解答题 20．如图，A，B，C，D，E是⊙O上的5等分点，连结AC，CE，EB，BD，DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH． （1）求∠CAD的度数． （2）连结AE，求证：AE=ME． 21．如图，正八边形内接于，M是弧DE上的一点，连接AM，BM，求的度数． 22．如图，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接正三角形、内接正四边形、内接正五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动． （1）在图1中，求∠APB的度数． （2）在图2中，求∠APB的度数；在图3中，求∠APB的度数． （3）根据前面的探索，若多边形ABCDE……是⊙O的正n边形，则∠APB的度数是(用含n的代数式表示)． 23．如图1．正方形ABCD内接于，连接AC．P是上的动点（不与点A重合），连接AP． （1）如图2，当P是的中点时，过点D作的切线，与AP的延长线交于点Q． ①AC与DQ之间的位置关系是 ▲ 。并说明理由； ②求的度数； （2）连接DP，请直接写出的度数。 24．某数学学习小组的成员在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行了如下探讨： 甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形.如圆内接矩形不一定是正方形. 乙同学：但是边数为3时，它是正三角形，而且我猜想，边数为5时，它应该是正五边形…… 丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形.如图甲所示，是正三角形，均相等，很显然由此构造的六边形ADBECF并不是正六边形. （1）如图乙所示，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC= .请简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由. （2）请证明丙同学构造的六边形各内角相等. （3）根据以上的探索过程，就“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n(n≥3，n为整数)”的关系，请提出你的猜想.(不需证明) 25．如图正方形内接于，为任意一点，连接、． （1）求的度数． （2）如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度． 参考答案 1．A 2．C 3．C 4．B 5．B 6．B 7．C 8．C 9．D 10．10 11．4 12．10 13． 14．2 15．3 16．18 17．或或 18．1 19．9或10或18 20．（1）解：∵A，B，C，D，E是⊙O上的5等分点， ∴∠COD==72°， ∴∠CAD=∠COD=36°． （2）解：如图， 同(1)可得∠EBD=∠BDA=36°． ∵∠AEB=∠BDA， ∴∠DAE=∠EBD， ∠CAD=36°， ∴∠MAE=72°，∠AEB=36°， ∴∠AME=180°-72°-36°=72°， ∴∠MAE=∠AME，∴AE=ME． 21．解：如图，连接OA，OB． ∵正八边形是的内接正八边形， ∴， ∴． 22．（1）解：∵点M和点N的速度相同， ∴，∴∠BAM=∠CBN， ∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°， ∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=120°． （2）解：在题图2中，∵∠BAM=∠CBN， ∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=90°， ∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=90°． 在题图3中，∵∠BAM=∠CBN， ∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=108， ∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=72°． （3）解：如图， ∵∠BAM=∠CBN， ∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=180°-， ∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)= 故答案为 23．（1）解：①； 理由：连接OD．∵正方形ABCD内接于，∴∵DQ是的切线，∴，∴，∴； ②由①可知，，∴． ∵P是的中点，∴． ∵，∴； （2）解：的度数为45°或135°． 24．（1）解：∠ABC= 理由：∵圆内接五边形ABCDE的各内角均相等， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=108°， ∵∠A=∠B， ∴， ∴， ∴， ∴BC=AE， 同理可得： BC=DE，DE=AB， AB=CD，CD=AE， ∴BC=DE=AB=CD=AE， ∴五边形ABCDE是正五边形； （2）证明：如图2， ∵△ABC是正三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ∵四边形ABCF是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠AFC=180° ， ∴∠AFC=120° ， 同理可得：∠ADB=120°， ∠BEC=120°， ∵∠ADB= 120° ， ∴∠DAB+∠ABD=60°， ∴， ∴∠ABD=∠CAF， ∴∠DAB+∠CAF=60° ， ∴∠DAF=∠DAB+∠CAF+∠BAC=120°， 同理可得：∠DBE=120°， ∠ECF=120°， ∴∠AFC=∠ADB=∠BEC=∠DAF=∠DBE=∠ECF=120° ， 故图2中六边形各角相等； （3）解：当为奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形；当为偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定是正多边形 25．（1） （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$