28.2 二次函数与一元二次方程 同步练习 2025-2026学年人教版（五四制）九年级数学上册

28.2 二次函数与一元二次方程 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.已知二次函数和一次函数的两个交点分别为，，当时，自变量的取值范围是(    ) A. 或 B. C. D. 2.已知二次函数其中是自变量的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.小颖用计算器探索一元二次方程的根，作出函数的图象如图所示，并求得方程的一个近似根，则另一个近似根精确到为(    ) A. B. C. D. 4.如图，抛物线与轴的两个交点为，，则由图象可知时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 6.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与小球运动的时间秒之间的关系式为若小球在第秒与第秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是(    ) A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒 7.我们定义：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标相等，我们称点为这个函数的“优级点”若关于的二次函数有两个“优级点”，则的取值范围为(    ) A. B. C. 或 D. 或 8.二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：；；；，其中错误结论的个数是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.抛物线与轴只有一个公共点，则的值为______． 10.若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为          ． 11.抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似根为             结果精确到 12.对抛物线，当时，抛物线与轴有          个交点当时，抛物线与轴有          个交点当时，抛物线与轴有          个交点． 13.已知二次函数的图象如图所示，则关于的方程的两个根是          ． 14.利用函数图象求方程的实数根精确到，要先作函数          的图象，如图所示，它与轴的交点的横坐标大约是，，所以方程的实数根约为          ，          ． 15.抛物线的形状如图所示，则一元二次方程的解为_________；当_________时，． 16.若抛物线的系数，，满足，则这条抛物线必经过点______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知抛物线． 求这条抛物线的顶点坐标和对称轴； 求该抛物线在轴上截得的线段长． 18.本小题分 如图，抛物线与直线相交于点，，与轴相交于点，其中点的横坐标为． 求出，的值． 求出抛物线与轴的交点坐标． 19.本小题分 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度可以用公式来表示，其中表示足球被踢出后经过的时间． 画出函数的图象； 当，时，足球距地面的高度分别是多少？ 方程，的根的实际意义分别是什么？你能在图象上表示出来吗？ 20.本小题分 已知抛物线与轴没有交点． 求的取值范围； 试确定直线经过的象限，并说明理由． 21.本小题分 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，即，求二次函数与轴的交点坐标； 若二次函数与轴有一个交点，求的值． 22.本小题分 如图，已知二次函数的图象经过点． 求的值和图象的顶点坐标； 点在该二次函数图象上． 当时，求的值； 若点到轴的距离小于，请根据图象直接写出的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数与一次函数取值大小的比较，借助图象法解题比较简单． 此题可借助出函数图象解答，若时，则二次函数图象在一次函数图象上方时的取值范围即为所求． 【解答】 解：如图所示． ， 二次函数和一次函数的两个交点分别为，， 则当时，即位于上方时，或． 故选A． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质． 先把抛物线解析式化为一般式，利用判别式的意义得到，解得，再求出抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得到，从而得到实数的取值范围是． 【解答】 解：， 抛物线与轴没有公共点， ，解得， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 而当时，随的增大而减小， ， 实数的取值范围是， 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是用图象法求一元二次方程的近似根，掌握二次函数的对称性和抛物线与轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根． 【解答】 解：抛物线与轴的一个交点为，又抛物线的对称轴为：， 另一个交点坐标为：， 则方程的另一个近似根为． 故选D． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图象知当时，图象在轴的下方，即，由此即可得解． 【解答】 解：抛物线与轴的两个交点为，，由图象知当时，图象在轴的下方，即． 故选A． 5.【答案】  【解析】【分析】 根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型． 【解答】 解：由图象开口可知：，由对称轴可知：，， 由抛物线与轴的交点可知：，，故A正确； B.由图象可知：，，，，故B正确； C.由图象可知：顶点的纵坐标大于，，，， ，故C正确； D.对称轴，，，故D错误； 故选D． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的值越大，即可解答本题． 【解答】 解：由题意可得， 当秒时，取得最大值， 二次函数具有对称性，抛物线开口向下，离秒越近，值越大， 在各个选项中，当第秒时，取得最大值， 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 主要考查了一元二次方程和二次函数之间的关系，本题属于新定义题型，抓住“优级点”的定义，是解决问题的关键． 关于的二次函数对于任意的常数有两个“优级点”，则关于的方程即恒有两个不相等的实数根，进而用根的判别式判别求解即可． 【解答】 解：关于的二次函数对于任意的常数恒有两个“优级点”， 关于的方程即恒有两个不相等的实数根， 恒成立， 或， 解得或． 故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键． 对称轴为，得；函数图象与轴有两个不同的交点，得；当时，，当时，，得；由对称性可知时对应的值与时对应的值相等，当时，，． 【解答】 解：由图象可知，，对称轴为， ， ，正确； 函数图象与轴有两个不同的交点， ，正确； 当时，， 当时，， ， ，正确； 由对称性可知时对应的值与时对应的值相等， 当时，， ， ， ，错误； 故选：． 9.【答案】  【解析】解：抛物线与轴只有一个公共点， ， ； ． 故答案为：． 由抛物线与轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程，根的判别式，由此即可得到关于的方程，解方程即可求得的值． 此题主要考查了二次函数根的判别式和抛物线与轴的交点个数的关系． 10.【答案】，  【解析】【分析】根据对称轴方程求得，再代入解一元二次方程即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ，即， ． 解得：，． 故答案为，． 11.【答案】，  【解析】【分析】 本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题． 抛物线与轴的两个交点的横坐标，就是方程的两个根，由图象即可解答． 【解答】 解：抛物线与轴的两个交点近似是、， 又抛物线与轴的两个交点的横坐标，就是方程的两个根， 方程的两个近似根是，． 故答案为，． 12.【答案】两 一 零   【解析】【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程以及根的判别式． 根据时，抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴有一个交点， ，抛物线与轴有零个交点即可解答本题． 【解答】 解：抛物线，当时， 时，抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴有一个交点， ，抛物线与轴有零个交点． 13.【答案】，  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系，解答此题先由与轴的一个交点和对称轴求出与轴的另一个交点，从而可得方程的两个根． 【解答】 解：由函数图象可得二次函数与轴的一个交点为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点为， 方程的两个根是，． 故答案为，． 14.【答案】   【解析】【分析】 本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，函数图象与轴交点的横坐标是相应方程的解． 根据函数图象与轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案． 【解答】 解：如图， 由函数图象求方程的实数根精确到，要先作函数的图象，如图所示，它与轴的交点的横坐标大约是、，所以方程的实数根约为，， 故答案为；；． 15.【答案】，．  【解析】略 16.【答案】  【解析】解：当时，，因此抛物线必过点 故答案为： 把代入抛物线的关系式得，而，因此抛物线必过点 考查二次函数的图象和性质，考虑抛物线过特殊点时，相应的、、满足的关系是关键． 17.【答案】解： 这条抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； 令，解得，， 则 该抛物线在轴上截得的线段长为．  【解析】将一般式配方成顶点式可得答案； 令求得的值即可． 本题主要考查抛物线与轴交点问题，求二次函数是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标． 18.【答案】解：把和代入， 得 解得 由知，抛物线的解析式为． 当时， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，．  【解析】见答案 19.【答案】解：画出函数的图象如图所示； 把，分别代入得， ，， 故当，时，足球距地面的高度分别是和； 解，得，， 其中表示足球离开地面的时间，表示足球落地的时间； 解得，，， 其中表示足球离开地面的高度是时的时间，离开地面的高度是时的时间， 如图所示．  【解析】根据题意画出函数图象即可； 把，代入即可得到结论； 解方程由此时，即足球的高度为和可知方程的根表示的实际意义； 本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握自变量与因变量的实际意义和二次函数的顶点式是解题的关键． 20.【答案】解：抛物线与轴没有交点． ， 解得； ， 直线过一、三象限， ， 直线与轴的交点在轴的正半轴， 直线经过第一、二、三象限．  【解析】本题考查了抛物线和轴的交点问题以及一次函数的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据题意的判别式小于，从而得出的取值范围即可； 根据的值，判断直线所经过的象限即可． 21.【答案】略  【解析】略 22.【答案】解：由题意，把代入中， 得，解得． 所以． 所以图像的顶点坐标为． 因为点在二次函数的图像上， 所以把代入中，解得， 所以当时，的值为． 的取值范围是．   【解析】此题主要考查二次函数的图像与性质 把代入二次函数求得，利用配方法把解析式写成顶点式，写出顶点坐标 把代入解析式求得， 由题意，得，解得或． 当时，当时，． 又函数图像的顶点坐标为． 所以的取值范围是． 第6页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$