4.5.2用二分法求方程的近似解教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课程基本信息 学科 数学 年级 高中 学期 秋季 主题 4.5.2用二分法求方程的近似解 教科书 书名：普通高中教科书必修第一册A版教材 出版社： 人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1. 通过实例，体会求方程近似解的二分法这种数学理论形成过程，感受方程与函数的内部联系和应用价值，从中体会函数零点与方程根之间的联系，深刻理解二分法本质。 2. 经历“实例→数学方法探究→步骤归纳→应用验证”的过程，体会“逼近思想与函数与方程的转化思想。同时通过自主操作和小组讨论，培养特殊到一般的归纳能力和逻辑推理能力。 3.在探究的过程中体验严谨性与逻辑性的重要性，培养科学的思维习惯。 教学内容 1，教学重点：用二分法原理及探究过程，用二分法求方程近似解。 2，教学难点：二分法原理的探究；理解精确度的概念；概括求方程近似解的一般步骤。 教学过程 第一部分：情境引入 在A，B两地的电话线路中发生了一处故障，急需维修，已知这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子，可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除。请问工人师傅是如何做到的？ 教师讲解：大家可以看一下这里的示意图：工人师傅应当首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段点D这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查，每查一次，可以把待查的线段缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，这样操作，只要7次左右就可以把故障范围缩小到一两根电杆附近了。 大家知道这个例子中运用了什么方法吗？没错就是二分法，这也是我们今天要学习的内容，它渗透了我们数学里的一个重要思想——逼近思想，即用区间两个端点的中点，将区间一分为二，再将确定的区间一分为二......以此类推，直到不断逼近故障的具体点位。这也是我们今天所要学习的内容——二分法。接下来，我们一起通过这个实例中学习到的“逼近思想”，解决具体的数学问题。 设计意图：结合现实生活中实例创设情境初步了解二分法思想。 第二部分：探索新知 问题：在前面的学习中我们已经知道函数在开区间内存在一个零点，你能求出这个函数零点的精确值吗？ 显然我们并不能求出函数零点的精确值，事实上在数学中很多函数都不能求出零点的精确值，在实际问题中只需求出满足一定精确度的近似解即可（）。 追问：如果不能求出准确值如何求出这个函数零点的近似值呢？ 一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定的精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值。借鉴“电话线路检修”的逼近思想，我们可以通过取区间中点的方法，将区间一分为二，逐步减半缩小零点所在的范围。（提示：区间中点为） 教师示范：借助计算器求函数零点近似值过程。 设函数的零点为,则(2,3). 第一次：计算得到, <0。 第二次：计算得到, <0 第三次：计算得到, <0 这个时候我们已经将零点所在区间进行有效的缩小，如果=0.125不符合精确度要求，例如当精确度为0.01时零点的近似值是多少呢？ 继续缩小零点所在区间，借助计算器可以得到下表： 零点所在区间 区间中点的值 中点函数近似值 （2,3） 2.5 -0.084 （2.5,3） 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.5625 0.066 (2.5,2.5625) 2.53125 -.009 (2.53125,2.5625) 2.546875 0.029 (2.53125,2.546875) 2.5390625 0.10 (2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001 我们根据|2.53125,2.5390625|0.00780.01，所以零点缩小到了符合要求的区间(2.53125,2.5390625)内，所以2.53125或2.5390625为函数零点的近似值。 设计意图：通过求具体方程的近似解过程，让学生经历二分法的实际操作过程过程。也让学生感受函数的观点解决问题的思想。 问题：在上诉问题中我们是怎样求函数零点近似值的？ 通过不断的把函数零点所在的区间一分为二减半缩小，然后计算区间中点函数值，结合零点存在定理缩小零点所在区间的范围逐步逼近零点。上面求函数零点近似解的方法，叫做二分法。 二分法的定义：对于在区间上图像连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。二分法是求一元方程近似解的常用方法。 问题：回顾求函数零点近似值的过程，我们给定精确度，你能总结用二分法求函数零点的一般步骤的吗？ 设计意图：从具体实例出发概括解二分法求近似解的一般步骤，让学生经历从特殊到一般的过程，培养学生归纳总结能力。 第三部分 例题巩固 例1 借助信息技术用二分法求方程lgx=3-x的近似解。（精确度0.1） 解析：转化为求函数f(x)=lgx+x-3零点近似值，作出y=lgx，y=3-x的图像，找到两图像交点，由图可知，方程有唯一解，且在区间（2,3）内。 所以函数f（x）=lgx+x-3，零点所在的初始区间为（2,3）并且f(2)<0。 第一步：可以确定零点x_0所在初始为区间(2,3)。 第二步：取区间(2,3)中点x_1=2.5 第三步：计算f(2.5)≈−0.102206，f(2.5)f(3)<0， 确定函数零点x_0∈ （2.5，3）。 第四步：判断精确度是否达到0.1，|2.5-3|=0.5>0.1，没有达到 重复2~4步骤 第五步：精确度达到要求，取区间端点作为近似值。 用二分法缩小零点所在区间，借助计算器列出下表： 由于|2.625−2.5625|=0.0625<0.1，所以方程的近似解为2.625。 迁移：若例2中“精确度0.1”改为“精确到0.1”求方程近似解？ 分析：精确度0.1指的是|精确值-近似值|<0.1，区间长度小于0.1即可，而精确到0.1指的是精确值保留1位小数，要求区间左右端点四舍五入保留一位小数后值相等，所以例2中由于2.625≈2.6，2.5625≈2.6，方程的近似解为2.6 设计意图：应用所学让学生再次经历从特殊到一般的过程，同时能够区分精确度与精确到的区别。 第四部分 课堂小结与作业 知识小结： 1.二分法的定义。 2.二分法求方程近似解的一般步骤。 3.二分法的应用。 思想方法小结： 1.二分法基本思想。 2.经历从特殊到一般的过程体会算法思想。 3.数形结合思想。 作业布置： 1. 课本146页练习题1、2。 2. 阅读教材147页材料，了解方程求解的发展史。 第五部分 板书设计 §4.5.2 用二分法求方程的近似解 1.二分法的定义。 2.用二分法求函数的零点近似值的步骤。 3.用二分法求方程的近似解应用。 第六部分 教学反思 二分法是求函数零点近似值的重要方法之一，学好二分法能够让学生进一步体会函数与方程的联系。二分法思想比较明确， 为了让学生更容易的接受与理解。在教学过程中，我从生活实例出发，以教师为主导，学生为主体，设置情境激发学生的学习欲望，以合作探究的形式让学生充分参与课堂，训练了他们用从特殊到一般,再由一般到特殊的思维方式和解决问题的能力。并且重视思维训练同时注意数学思想方法的溶入渗透。 学科网（北京）股份有限公司 $$