精品解析：吉林省白城市洮南市第四中学 2024-2025学年下学期八年级第一次月考数学试卷

洮南市四七中一体化学校2024—2025学年度下学期 八年级第一次阶段练习数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题2分；共12分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则斜边的长为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则其对角的度数为（ ） A. 135° B. 35° C. 55° D. 125° 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取，的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（ 　） A. B. C. D. 6. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 二、填空题（每小题3分；共24分） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 8. 若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x＝_____． 9. 若最简根式与是同类二次根式，则a的值是_____． 10. 已知的相邻两边长分别为4、6，则的周长为______． 11. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣2|+＝_____． 12. 当时，代数式的值是______． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点、点为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点，连接，已知，，则的长为______． 14. 如图，在四边形中，，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______． 三、解答题（每小题5分；共20分） 15. 计算：． 16. 设的整数部分为a，小数部分为b． （1） ， ； （2）求的值． 17. 如图，在中，，，，求的周长． 18. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 四、解答题（每小题7分；共28分） 19. 已知，，求的值． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． （1）在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 21. 已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，在中，，，平分． （1）求的长； （2）求的面积． 五、解答题（每小题8分；共16分） 23. 我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以﹣1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P'．现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A'，B'． （1）若点A对应的数是﹣2，则点A'对应的数x=　　　　 ；若点B'对应的数是2，则点B对应的数y=　　　　． （2）在（1）的条件下，求代数式的值． 24. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值. 小明发现，过点E作EF//DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）. （1）请回答：BC+DE的值为　　； （2）参考小明思考的问题的方法，解决问题：如图3，□ABCD中，E是BC的中点，AE=9，BD=12，AD=10，求证：AE⊥BD. 六、解答题（每小题10分；共20分） 25. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简． 方法一：． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 方法二：还可以用以下方法化简：． （1）请用不同的方法化简． ①参照方法一，化简； ②参照方法二，化简． （2）化简：；（保留过程） （3）猜想：的值．（直接写出结果） 26. 某校机器人兴趣小组在如图所示的直角三角形场地上开展训练．已知，米，米．机器人从点C出发，沿着的边按的方向匀速运动到点C停止；机器人运动的速度为2米/秒，运动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）． （1）的长是 米； （2）是否存在这样的时刻，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洮南市四七中一体化学校2024—2025学年度下学期 八年级第一次阶段练习数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题2分；共12分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝，不是最简最简二次根式，故A不符合题意； B、原式＝3，不是最简最简二次根式，故B不符合题意； C、原式＝，不是最简最简二次根式，故C不符合题意； D、是最简最简二次根式，符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则斜边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用勾股定理计算得出答案． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为3和5， ∴斜边的长为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 3. 在中，，则其对角的度数为（ ） A. 135° B. 35° C. 55° D. 125° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是记住平行四边形的性质．利用平行四边形的对角相等即可选择正确的选项． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法、乘法、除法以及二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； 根据二次根式的减法、乘法、除法以及二次根式的性质逐项进行计算即可． 【详解】A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取，的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（ 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，准确理解计算是解题的关键． 根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】∵，的中点，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用矩形和折叠的性质可得，即得，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠得，，， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（每小题3分；共24分） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 8. 若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x＝_____． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边5既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x， （1）若5是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得： 52+42＝x2， ∴x＝； （2）若5是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得： 32+x2＝52， ∴x＝3； ∴第三边的长为3或． 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的简单应用，需注意解答时有两种情况. 9. 若最简根式与是同类二次根式，则a的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义列出关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴a+3=11-3a， 解得 a=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 10. 已知的相邻两边长分别为4、6，则的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可知对边相等，由此即可求解． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：20． 11. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣2|+＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据数轴写出a的取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的非负性化简即可. 【详解】解：∵由图可知，2＜a＜4， ∴原式＝a﹣2+ ＝a﹣2+4﹣a ＝2． 故答案为2． 【点睛】此题考查的是实数的混合运算，掌握利用数轴比较大小、二次根式的性质和绝对值的非负性是解决此题的关键. 12. 当时，代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将代数式化为，进而代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点、点为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点，连接，已知，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据作图步骤得出直线是的垂直平分线，再利用平行四边形的性质和等边三角形的判定及性质求解的长．本题主要考查了平行四边形的性质、垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键． 【详解】解：由作图步骤可知，所作直线为的垂直平分线． ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______． 【答案】29 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的值，由此即可得出答案． 【详解】如图，连接AC， 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， 则正方形丁的面积为， 故答案为：29． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 三、解答题（每小题5分；共20分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．直接利用二次根式的混合运算法则化简得出答案． 【详解】解：原式 ＝ ＝； 16. 设的整数部分为a，小数部分为b． （1） ， ； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，先利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． （1）根据，得出，从而得出的整数部分为3，小数部分为，即可得出答案； （2）将，代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴，； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，，，，求的周长． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理求出的长，再根据周长公式进行计算即可． 【详解】解：在中， 由勾股定理得， ∴的周长为． 18. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠DCF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 四、解答题（每小题7分；共28分） 19. 已知，，求的值． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值、完全平方公式．根据，的值可求得，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． （1）在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 【答案】（1） 如图1所示：正方形即为所求； （2） 如图2所示：三角形即为所求． 【解析】 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案； （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵的对角线，相交于O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】略 22. 如图，在中，，，平分． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理： （1）根据等腰三角形的三线合一推出，再利用勾股定理求出的长； （2）根据三角形面积公式直接计算． 【小问1详解】 解：，平分， ，， ， 在中 由勾股定理得； 【小问2详解】 解：． 五、解答题（每小题8分；共16分） 23. 我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以﹣1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P'．现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A'，B'． （1）若点A对应的数是﹣2，则点A'对应的数x=　　　　 ；若点B'对应的数是2，则点B对应的数y=　　　　． （2）在（1）的条件下，求代数式的值． 【答案】（1）4，；（2）． 【解析】 【分析】（1）由已知可得：（-2）×（-1）+2=4，（+2）×（-1）+2，即可求x与y的值； （2）将x=4，y=−代入所求式子化简即可． 【详解】（1）由已知可得：(﹣2)×(﹣1)+2=4， ∴A'对应的数x=4； (2)×(﹣1)+2， ∴B对应的数y； 故答案为：4，-； （2）当x=4，y时，()． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值；掌握实数的运算法则和二次根式的化简方法是解题的关键． 24. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值. 小明发现，过点E作EF//DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）. （1）请回答：BC+DE的值为　　； （2）参考小明思考的问题的方法，解决问题：如图3，□ABCD中，E是BC的中点，AE=9，BD=12，AD=10，求证：AE⊥BD. 【答案】（1） （2） 过D点作，交BC的延长线于F点， 又∵在平行四边形ABCD中，有，， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AD=EF=10，AE=DF=9， 又∵AD=BC=10，E点是BC中点， ∴BC=EF， ∴CF=BE=EC， ∴ ∴在中，BD =12， 有， 则是直角三角形，且， ∴BD⊥DF， 即AE⊥BD． 【解析】 【分析】（1）由，，可得四边形DEFC是平行四边形，据此得DE=CF，DC=EF，继而得到，根据CD⊥BE得EF⊥BE，则有，得解； （2）过D点作，交BC的延长线于F点，在平行四边形ABCD中，有，，则有四边形AEFD是平行四边形，继而得到AD=EF=10，AE=DF=9，根据AD=BC=10，E点是BC中点，得BC=EF，，则在中，有，则是直角三角形，得到，即可得BD⊥DF，即推出AE⊥BD． 【小问1详解】 按小明作的辅助线进行解答， ∵，， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DE=CF，DC=EF， 又∵CD⊥BE， ∴EF⊥BE， ∴在中，有， 已知CD=3，BE=5， 则有， 又∵， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，按上一问的提示准确作出辅助线构建平行四边形是解答本题的关键． 六、解答题（每小题10分；共20分） 25. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简． 方法一：． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 方法二：还可以用以下方法化简：． （1）请用不同的方法化简． ①参照方法一，化简； ②参照方法二，化简． （2）化简：；（保留过程） （3）猜想：的值．（直接写出结果） 【答案】（1） ① ； ② ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化、平方差公式的应用、二次根式的加减以及裂项相消法求和．熟练掌握分母有理化的方法（利用平方差公式将分母中的根式转化为有理数），以及识别式子的规律用裂项相消简化计算是解题的关键． （1）①参照方法一利用平方差公式，给分子分母同乘，实现分母有理化即可．②参照方法二，将分子变形为，再利用平方差公式因式分解，然后约分化简． （2）先分别用分母有理化的方法化简每一项，再去括号进行加减运算． （3）先将每一项进行分母有理化，然后观察式子规律，通过裂项相消法计算． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 26. 某校机器人兴趣小组在如图所示的直角三角形场地上开展训练．已知，米，米．机器人从点C出发，沿着的边按的方向匀速运动到点C停止；机器人运动的速度为2米/秒，运动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）． （1）的长是 米； （2）是否存在这样的时刻，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10 （2）存在，t的值为7秒或秒或11秒 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，等腰三角形的性质， （1）使用勾股定理即可求解的长； （2）根据点P的位置，确定等腰三角形，结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵，米，米． ∴在中，米， 故答案为：10； 【小问2详解】 解：存在， ①点P在上，时，如图， ∴米， ∴米， 秒； ②点P在上，时， 过点C作交于点M，如图， ∵， 即，解得米， 在中，米， 米， ∴路程为米， 秒； ③点P在上，时，如图， ∴米， ∴路程为米， ∴，即秒； 综上所述，t的值为7秒或秒或11秒时，是以为腰的等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $