2.2.3 立方根 课件2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2.2.3 立方根 [概括新知] (1)立方根的定义:一般地,如果一个数x的　　　　等于a,即 　　　=a,那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做三次方根. (2)立方根的表示方法:a的立方根记作　　　　,读作“三次 根号a”,其中a是　 　　　,3是　　　　.  立方 x3 被开方数 根指数 [探索归纳] 1.(1)2的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也是8? (2)-3的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也是-27? 解:(1)2的立方等于8.没有其他的数,它的立方也是8. (2)-3的立方等于-27.没有其他的数,它的立方也是-27. 2.正数有几个立方根?0有几个立方根?负数有几个立方根? 解:正数有一个立方根,0有一个立方根,负数有一个立方根. [概括新知] (1)立方根的性质:正数有　　　　个立方根,0有　　　　个 立方根,它的立方根是　　　　,负数有　　　　个立方根.  (2)开立方的概念:求一个数a的　　　　的运算叫做开立方, 其中a叫做　　 　　.求一个数的立方根就是求哪个数的 立方等于这个数,开立方与立方互为　　　　运算.  1 1 0 1 立方根 被开方数 逆 知识点1 立方根的概念 1． (1)因为23＝8， 所以数_____是_____的立方根，用数学式子表示为____________； (2)因为(－2)3＝－8， 所以数______是______的立方根，用数学式子表示为_____________； (3)因为03＝0， 所以数_____是______的立方根，用数学式子表示为_______________． 2 8 －2 －8 0 0 D 4．【易错】立方根等于它本身的数是________________． 0或1或－1 知识点2 开立方 　　　　　　　　　　　　　　　　 5．若x3＝－27，则x的值是( ) A．－3 B．3 C．±3 D．±9 A 解：6; 解：0.7; D 解：原式＝6; 解：原式＝－8； 解：原式＝15; 原式＝3.4. 知识点4 立方根的实际应用 10．若一个正方体储水容器的容积为64 m3，则该容器的棱长为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．8 m B．6 m C．4 m D．2 m C 11．(教材“随堂练习”变式)现有两个大小不等的正方体茶叶罐按如图所示的方式叠放在一起放在水平地面上，若小茶叶罐的体积为125 cm3，大茶叶罐的体积是小茶叶罐体积的8倍，求这两个茶叶罐的最高点A到地面的距离． B －1 0或1或2 17．根据图中的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长； (2)求长方体纸盒的长． 解：(1)设魔方的棱长为x cm. 由题意，得x3＝216，解得x＝6， 所以魔方的棱长为6 cm； 0 0 0 a＋b＝0 平方根与立方根的综合应用 已知某正数的两个平方根分别是2m-3和5-m,n-1的算术平方根为2,求3+m+n-7的立方根. 【延伸拓展】 解:因为某正数的两个平方根分别是2m-3和5-m,所以2m-3+5-m= 0,解得m=-2. 因为n-1的算术平方根为2, 所以n-1=4, 解得n=5, 所以3+m+n-7=3-2+5-7=-1, 故它的立方根为-1. [本课时认知逻辑] 数学问题 实际问题 立方根 概念与表示 性质与计算 应用解决实际问题 抽象 建模 解决 [检测]　 1.-64的立方根是 (　　) A.-4 B.8 C.-4和4 D.-8和8 2.立方根等于本身的数是　　　　.  A -1,0,1 3.求下列各数的立方根: (1)-125;　 (2);　 (3)-0.512;　 (4)113. 解:(1)因为(-5)3=-125,所以-125的立方根是-5. (2)因为()3=,所以的立方根是. (3)因为(-0.8)3=-0.512,所以-0.512的立方根是-0.8. (4)由立方根的概念可得113的立方根是11. 4.求下列各式的值: (1); (2); (3); (4)()3. 解:(1)=-. (2)=0.5. (3)=6. (4)()3=19. eq \r(3,8)＝2 eq \r(3,0)＝0 eq \r(3,－8)＝－2 　易错点　对立方根的概念理解不透而致错 3．下列说法正确的是( ) A．－4没有立方根　 B．1的立方根是±1 C．36的立方根是6 D．－5的立方根是 eq \r(3,－5) 7．(教材例题变式)求下列各数的立方根： (1)216；　　　　　 (2)－ eq \f(27,64)； (3)0.343; (4)－89. 解：－ eq \f(3,4)； 解： eq \r(3,－89). 知识点3 eq \r(3,a3)＝a与( eq \r(3,a))3＝a 8．下列各式计算错误的是( ) A． eq \r(3,33)＝3 B． eq \r(3,(－3)3)＝－3 C．( eq \r(3,3))3＝3 D．( eq \r(3,－3))3＝3 9．(教材例题变式)求下列各式的值： (1) eq \r(3,63)； (2) eq \r(3,(－8)3)； (3)( eq \r(3,15))3; (4)(－ eq \r(3,－3.4))3. 解：因为小茶叶罐的体积为125 cm3， 所以小茶叶罐的棱长为 eq \r(3,125)＝5(cm). 又因为大茶叶罐的体积是小茶叶罐体积的8倍， 所以大茶叶罐的棱长是小茶叶罐棱长的 eq \r(3,8)＝2(倍)， 所以大茶叶罐的棱长为5×2＝10(cm)， 所以这两个茶叶罐的最高点A到地面的距离为10＋5＝15(cm). 12．若 eq \r(3,5x＋13)＝－3，则x的立方根是( ) A．－4 B．－2 C．2 D．4 13．若 eq \r(2x＋7)＝3，(4x＋3y)3＝－8，则 eq \r(3,x＋y)的值为_______． 14．(本课时T4变式)若 eq \r(3,x－1)＋1＝x，则x的值为____________． (2)设该长方体纸盒的长、宽、高分别为3y cm，y cm，3y cm. 由题意，得9y3＝ eq \f(8,3)×216，解得y＝4， 所以长方体纸盒的长为3y＝12(cm). [核心素养：运算能力　推理能力] 18． 【观察与发现】(1)填空： 　 ① eq \r(3,1)＋ eq \r(3,－1)＝_____； 　 ② eq \r(3,8)＋ eq \r(3,－8)＝_____； 　 ③ eq \r(3,27)＋ eq \r(3,－27)＝______； 　 … 【分析与归纳】(2)(1)中的等式①～③所反映的规律可归纳为：对于任意两个实数a，b，若_______________，则 eq \r(3,a)＋ eq \r(3,b)＝0；反之也成立； 【拓展与应用】(3)若x＋14的算术平方根是3，且 eq \r(3,8－y)和 eq \r(3,x＋2y)互为相反数，求3x＋4y的立方根． 解：(3)根据题意，得x＋14＝32＝9，8－y＋x＋2y＝0，解得x＝－5，y＝－3， 所以 3x＋4y＝3×(－5)＋4×(－3)＝－27， 所以3x＋4y的立方根为 eq \r(3,－27)＝－3. $$