1.4充分条件和必要条件学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件 【课前预习】 1. 充分条件与必要条件的概念 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p   q p       q 条件关系 p是q的          条件 q是p的          条件 p不是q的          条件 q不是p的          条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件． 解读：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式． (2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”． 二．充分条件、必要条件与集合的关系 设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} A⊆B p是q的充分条件；q是p的必要条件 B⊆A q是p的充分条件；p是q的必要条件 【自主学习】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　 　) (2)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．(　　) (3)若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．(　 　) (4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．(　　) (5)若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件．(　　) 2．“a＝b”是“ac＝bc”的________条件．(充分，必要) 【经典例题】 题型一 充分条件、必要条件的判定 点拨：充分、必要条件的判断方法 1.定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论． 2.命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 例1 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ 1. 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。 （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。 （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。 1. 1. 若a=b，则ac=bc。 （6）若x，y为无理数，则xy为无理数。 【变式训练】1 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。 （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。 （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。 （5）若ac=bc，则a=b （6）若xy为无理数，则x，y为无理数 题型二　利用充分条件、必要条件求参数的范围 点拨： 1.利用充分、必要条件求参数的思路 根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 2.从集合角度看充分、必要条件：设命题p、q分别对应集合A、B，若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件． 例2 已知集合，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【变式训练】2已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值． 【当堂检测】 1.(多选)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是(　　) A．x＞3.5 B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4 2.设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分又不必要条件 3.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断 4.俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分又不必要条件 D．无法判断 5.设x，y∈R，那么“x>y>0”是“>1”的________条件(填“充分”或“必要”)． 6.已知p：关于x的不等式<x<，q：0<x<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 1.4.2 充要条件 【课前预习】 一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件. 1. 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为 条件. 思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 解读：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． ②若p⇔q，则p是q的充要条件． ③若p⇒q，且qp，则称p是q的充分不必要条件． ④若pq，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． ⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 三．“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有 ，即p是s的充要条件． 【自主学习】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　) (2)符号“⇔”具有传递性．(　　) (3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　) (4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．(　　) 2．“ab＝0”是“a＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【经典例题】 题型一 充要条件的判断 点拨：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 1.定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. 2.集合法：情形如下：记命题p：集合A，命题q：集合B. ①若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件． ②若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件． ③若A＝B，则p，q互为充要条件． 3.传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 例1 下列各组命题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：xy>0，q：x>0，y>0； （4）p：，q：． 【变式探究】1已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问： (1)p是r的什么条件？ (2)s是q的什么条件？ (3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？ 题型二 充要条件的证明 点拨：充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件. 例2 已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件. (提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)) 【变式探究】2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 题型三 充要条件的应用 点拨：应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 例3　设A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________． 【变式探究】3 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 【当堂检测】 1．设，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：AB，则p是q的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 4.函数y＝x2－2x－a的图象与x轴无交点的充要条件是________． 5.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 6.求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$