精品解析：广东省 深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题

2024-2025学年海韵学校九年级（下）3月学情调研（数学） 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列数：，2，0，，中是无理数的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是理解无理数是无限不循环小数，能区分有理数（整数和分数）与无理数． 根据无理数的定义（无限不循环小数），判断各数类型；、2、0、是有理数；是无理数，进而确定无理数的个数． 【详解】根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数． 是分数，属于有理数； 2是整数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 中，是无理数，故是无理数； 是有限小数，属于有理数． 因此，无理数有1个． 故选：A． 2. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 5. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了本题考查用列表法或画树状图法求概率，解决本题的关键是画树状图把所有可能出现的结果表示出来，可知共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有种，即可求解． 【详解】解：画树状图，如下图所示， 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有种， 两人恰好选中同一根绳子的概率是．   故选： ． 6. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈 (1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文， ■ ．”设绫布有x尺，则可得方程为 根据此情境，题中“ ■ ”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 每尺绫布比每尺罗布贵120文 B. 每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D. 每尺罗布比每尺绫布便宜120文 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解方程的意义是解题的关键． 设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺， ∵绫布和罗布分别出售均能收入896文， ∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元， ∵， ∴， ∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文． 故选：C． 7. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ．   故选： D． 8. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 9. 是关于的完全平方式，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，能根据题意得出是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：和． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴， 故答案为：. 10. 如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是________．（写出一个答案即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，无理数的大小比较，根据正方形的面积公式得到正方形的边长为，正方形的边长为1，得到的边长，于是得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：，， 正方形的边长为，正方形的边长为1， 的边长， 正方形的边长可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 11. 鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆O的直径，C，D是弧上两点，．张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，扇形的面积，利用圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理可得，利用扇形面积公式计算即可求解，掌握圆内接四边形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 由圆内接四边形的性质可得，， ∴， ∴， ∴这块扇形玉石的面积， 故答案为：． 12. 把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，解，求出，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为，点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，∠， ∴∠， ∴， ∴， ∵∠ ∴ 在中，∠， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵A，C均在反比例函数图象上， ∴ 解得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确表示出点A和点C的坐标是解答本题的关键． 13. 如图，在中，，将沿对角线翻折至与相交于点，连接，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全等三角形三角形，得到对应边相等，得出等腰三角形，再利用三角形相似，对出对应边成比例，建立等式，再通过等量代换进行求解． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， ， 设， 过点作于点，如图 ， ， ， 设， 在中，， ， ， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了图形的折叠，全等三角形的判断及性质，相似三角形的判断及性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是：掌握相关概念，找出边与边之间的等量关系，通过等量代换进行求解． 三、解答题（共61分） 14. （1）计算：． （2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解：，，（第①步） （第②步） 原方程无实数根（第③步） 小明的解答过程从第______步开始出错的，其错误的原因是_________． 【答案】（1）；（2）一；原方程没有化成一般形式． 【解析】 【分析】（1）先计算立方根、绝对值、0指数幂、和特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可； （2）先将原方程化成一元二次方程的一般形式，再根据公式法解方程的基本步骤解答即可． 本题考查了实数的混合运算和利用公式法求解一元二次方程．熟练掌握实数的运算法则，和利用公式法求解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2）由 得， ，，（第一步）， （第二步）， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故答案为：一；原方程没有化成一般形式． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的运算等知识点，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 16. 青少年是祖国的未来，民族的希望，有效保护、积极促进青少年身心健康成长十分重要．某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图： 组别 体重（kg） 频数（人） A 39.5～46.5 2 B 46.5～53.5 a C 53.5～60.5 8 D 60.5～67.5 5 E 67.5～74.5 4 已知C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，所抽取学生体重的中位数是______kg； （2）所抽取学生平均体重为58.8kg，小敏的体重是57kg小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由． （3）如果该校九年级有600名学生，请估算九年级体重高于60.5kg的学生大约有多少人？ 【答案】（1）6；56 （2） 解：不正确． 因为小敏的体重57kg是高于中位数56kg， 所以小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平， 故小敏的推测不正确； （3）216人 【解析】 【分析】（1）利用A组的人数除以对应的百分数，求出总人数，然后用总人数减去其余各组人数即可求出a的值，根据中位数的定义求解即可； （2）根据中位数判断即可； （3）用总人数乘以高于60.5kg所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：调查的总人数为（人） ∴， ∵一共调查了25人， ∴中位数是第13人的体重， 又A组2人，B组6人，C组8人， ∴中位数在C组， ∵C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60， ∴中位数为56kg； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 答：估计九年级体重高于60.5kg的学生大约有216人 【点睛】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布表能清楚地表示出每组的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 17. 如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点，点为上一点，连接． （1）在不添加点和线的情况下，请添加一个条件，使为的切线并证明； （2）若为的切线，直径，，求的长． 【答案】（1） 添加，可使为的切线，理由如下： 连接， ∵中，，为斜边中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）添加，可使为的切线．连接，根据直角三角形性质及可得出，则，再根据得，然后根据切线的判定可得出结论； （2）根据直角三角形的性质可得，，再证，进而可得，则可得，再证，则，求得，进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵中，，为斜边中线，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键．遇切线，连半径是常用的作辅助线方法． 18. 【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元． 素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 （1）某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】（1）某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单价为8元 （2），，当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际问题，列代数式表示实际问题等知识点，理解题意并列出方程、代数式、不等式并求解是解题的关键． （1）设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）分别求出在线下商店购买和在线上淘宝店购买的所需费用，再根据线下购买方式更合算，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得： ， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． 【小问2详解】 解：依题意得： 在线下商店购买，共需要（元）， 在线上淘宝店购买，共需要（元）， ∵线下购买方式更合算， ∴， 解得， ∵， ∴， 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 19. 【概念学习】 在平面直角坐标系中，点的坐标为，若图形上存在一点，且满足当时，，则称点为图形的一个“垂近点”． 【初步理解】 （1）如图1，图形为线段，点，． ①试判断点______（填“是”或“不是”）线段的“垂近点”． ②请在图中画出点M所有可能的位置．（用阴影部分表示） 【知识应用】 （2）若图形为直线，二次函数图象上仅有一个“垂近点”，求的值． （3）如图2，若图形为抛物线，正方形的边长为2，中心（对角线的交点）为，如果正方形上存在“垂近点”，求出的取值范围． 【答案】（1）①是；②M所有可能的位置，如图所示， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“垂近点”的定义，即可进行判断， （2）将化成顶点式，分，，两种情况进行讨论，根据“垂近点”的定义，即可求解， （3）由题意得，，，，设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，，分，，两种情况，点分别与点、、、重合时，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了，新定义“垂近点”，函数图像上点的特征，解题的关键是：充分理解新定义，结合函数图像上的点的性质与特点． 【详解】解：（1）①当时，， ∴点是线段的“垂近点”， ②略 （2）将化成顶点式，， 当时，， 当时，， ∴或， （3）∵点是正方形的中心，正方形的边长为2， ∴，，，， 设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，， 当点在轴右侧时，， 如图1，当点与点重合时，， ∴，解得：或（舍）， 如图2，当点与点重合时，， ∴，解得：或（舍）， 当点在轴左侧时，， 如图3，当点与点重合时，， ∴，解得：或（舍）， 如图4，当点与点重合时，， ∴，解得：或（舍）， ∴当或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”， 故答案为：（1）①是；②图见解析（2）或（3）或． 20. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 【定义】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号） （2）【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图2中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含，，的式子表示）． （3）【拓展应用】如图3，在中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． ①请利用尺规，作出符合要求的邻等对补四边形； ②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】（1）②④ （2）①，理由如下： 如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ② （3）①符合要求的邻等对补四边形共有三种情况： ②或 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，， 根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）①分三种情况如图1，，，；如图2，, ；如图2，，，分别作图即可； ②分三种情况： 情况1：如图4，当，时，，不符合题意． 情况2：如图5，当，时，连接，过N作于H．先证，根据相似三角形对应边成比例可求得，．再证，可求得，，进而可得．再根据勾股定理可求得．情况3：当，时，连接，过N作于H．先证，根据相似三角形对应边成比例可求得，．再证，可求得，，进而可得．再根据勾股定理可求得． 【小问1详解】 解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形． 故答案为：②④； 【小问2详解】 ①略 ②如图，过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：①如图1，，，； 如图2，， ； 如图3，，． ②分三种情况： 情况1：如图4，当，时， ， 则，不符合题意． 情况2：如图5，当，时，连接，过N作于H． ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴． 情况3：如图6,当，时，连接，过N作于H． ∵，， ∴， ∴， 设， 则， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴． 综上，的长为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年海韵学校九年级（下）3月学情调研（数学） 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列数：，2，0，，中是无理数的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈 (1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文， ■ ．”设绫布有x尺，则可得方程为 根据此情境，题中“ ■ ”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 每尺绫布比每尺罗布贵120文 B. 每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D. 每尺罗布比每尺绫布便宜120文 7. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 9. 是关于的完全平方式，则__． 10. 如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是________．（写出一个答案即可） 11. 鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆O的直径，C，D是弧上两点，．张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是___． 12. 把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为______． 13. 如图，在中，，将沿对角线翻折至与相交于点，连接，则的值为_____________． 三、解答题（共61分） 14. （1）计算：． （2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解：，，（第①步） （第②步） 原方程无实数根（第③步） 小明的解答过程从第______步开始出错的，其错误的原因是_________． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 青少年是祖国的未来，民族的希望，有效保护、积极促进青少年身心健康成长十分重要．某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图： 组别 体重（kg） 频数（人） A 39.5～46.5 2 B 46.5～53.5 a C 53.5～60.5 8 D 60.5～67.5 5 E 67.5～74.5 4 已知C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，所抽取学生体重的中位数是______kg； （2）所抽取学生平均体重为58.8kg，小敏的体重是57kg小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由． （3）如果该校九年级有600名学生，请估算九年级体重高于60.5kg的学生大约有多少人？ 17. 如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点，点为上一点，连接． （1）在不添加点和线的情况下，请添加一个条件，使为的切线并证明； （2）若为的切线，直径，，求的长． 18. 【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元． 素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 （1）某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 19. 【概念学习】 在平面直角坐标系中，点的坐标为，若图形上存在一点，且满足当时，，则称点为图形的一个“垂近点”． 【初步理解】 （1）如图1，图形为线段，点，． ①试判断点______（填“是”或“不是”）线段的“垂近点”． ②请在图中画出点M所有可能的位置．（用阴影部分表示） 【知识应用】 （2）若图形为直线，二次函数图象上仅有一个“垂近点”，求的值． （3）如图2，若图形为抛物线，正方形的边长为2，中心（对角线的交点）为，如果正方形上存在“垂近点”，求出的取值范围． 20. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 【定义】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号） （2）【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图2中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含，，的式子表示）． （3）【拓展应用】如图3，在中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． ①请利用尺规，作出符合要求的邻等对补四边形； ②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $