精品解析：上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

上师大附中高一期末数学试卷 2025.06 一．填空题 1. 函数的最小正周期是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数周期计算公式得出结果. 【详解】函数的最小正周期是 故答案为： 2. 函数的单调增区间是______. 【答案】, . 【解析】 【分析】根据正弦函数性质求函数的单调增区间即可. 【详解】函数的单调增区间是, . 故答案为：, . 3. 如图，直线的斜率的大小关系是_____ 【答案】 【解析】 【分析】由图可得直线倾斜角大小关系，据此可得斜率关系. 【详解】设直线的倾斜角分别为，由图可得： ，则. 故答案为：. 4. 无论取何实数，直线都经过定点_____ 【答案】 【解析】 【分析】将已知直线化为，结合，可得方程组，即可求得答案. 【详解】由题意知直线，即直线， 由于，故， 即无论取何实数，直线都经过定点， 故答案为： 5. 若复数满足，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，结合复数运算可求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 6. 若，则在方向上的投影是_____ 【答案】2 【解析】 【分析】由投影公式计算即可. 【详解】由题意可知在方向上的投影为：. 故答案为： 7. 在中，，，点满足，，则_____ 【答案】2 【解析】 【分析】根据余弦定理进行求解即可. 【详解】设，则， 在中，由余弦定理可知：， 在中，由余弦定理可知：， 因为， 所以， 舍去， 故答案为：2 8. 在等比数列中，，，则_____ 【答案】8或 【解析】 【分析】先求等比数列的第三项和公比，再根据无穷等比数列的求和公式计算即得. 【详解】设等比数列公比为， 由题意，. 所以或. 又. 当时，； 当时，. 故答案为：8或 9. 若复数满足，则的最小值是_____ 【答案】5 【解析】 【分析】设，，由条件可得，设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上，结合条件可得等于到点和点的距离和，结合结论两点之间线段最短可求结论. 【详解】设，， 则，， 因为，所以， 所以，故， 设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上， 又， 所以， 所以等于到点和点的距离和， 因为，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 由已知线段的方程为，， 联立，可得， 所以当的坐标为，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值，最小值为， 故答案为：. 10. 若数列满足，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据并项求和,结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】由可得， ， ，解得， 故答案为： 11. 若点满足，则的最小值是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，由作图知或， 设，则， 而， ① 当时， ，当且仅当，即时取等号； ② 当时， ，当且仅当，即时取等号， 又，所以的最小值是. 故答案为： 12. 若数列满足，则最多有_____项 【答案】102 【解析】 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，结合求解即可. 【详解】，，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，又， 所以， 当时，，即， 所以最多有102项. 故答案为：102. 二．选择题 13. 直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的倾斜角与斜率关系可得，再根据倾斜角的范围，即可得出结果. 【详解】设直线的倾斜角为，由可得，， ，则. 故选：C. 14. 下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题. 【详解】对于①，由是实数，得，则，①正确； 对于②，由是虚数，得，则，②正确； 对于③，由是纯虚数，得，则，③正确， 所以真命题序号是①②③. 故选：D 15. 若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（ ） A B. C. D. 无法判定 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得， ，然后由基本不等式结合题意可判断选项正误. 【详解】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C 16. 若“向量列”满足，则（ ） A. 是等比数列，是等比数列 B. 是等比数列，不是等比数列 C. 不是等比数列，是等比数列 D. 不是等比数列，不是等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】先向量的求模公式得，利用等比数列的定义即可判断，利用等比数列的通项公式得，利用数量积的运算得，代入得，利用向量的性质得，代入即可求解. 【详解】由有：， 所以， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， ， ， 所以是以为公比的等比数列， 故选:A. 三．解答题 17. 已知平面上的两个向量． （1）若与平行，求的值； （2）若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据垂直，得数量积为0，即可结合辅助角以及三角函数的性质求解. 小问1详解】 与平行， 【小问2详解】 与垂直，， 即， 故， 即 由于，所以，则或， 故或 18. 已知关于的方程有两个复数根． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）或4 【解析】 【分析】（1）已知方程，结合讨论判别式的情况，得出关于的不等式组求解. （2）分和两种情况讨论，当，通过韦达定理得到，，结合得到关于的方程求解；当时，两虚数根与是共轭虚数，根据求解. 小问1详解】 已知，则. 若，根为实数，虚部为0，不满足. 若，根为虚数，由求根公式得：. 由可知，， 所以 【小问2详解】 i）当，即时，由韦达定理知：，. 若，两根异号，. 由或（，故舍去）. 若，两根同号为负，， 由，矛盾，舍去. ii）当，即时，与是共轭虚数，则，结合，得， 综上，或4. 19. 如图所示，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数，的图像，且图像的最高点为，赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定. （1）求，的值和，两点间的距离； （2）设，当为何值时，折线段赛道最长？ 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据前半段的图像求出的解析式，然后求出点坐标，结合，最后利用两点间的距离公式求出，两点间的距离； （2）先利用正弦定理求出，从而表示出折线段赛道的长，然后化简即可求得的最大值. 【小问1详解】 对于曲线段，，由图知，， 故，所以曲线段为函数，，故. 又，故，即，两点间的距离为. 【小问2详解】 ，，，，. 由正弦定理可得， ，， 故折线段赛道 ， 因为，所以 故当，即时，折线段赛道取得最大值为. 20. （1）已知等差数列满足：，求实数的值； （2）已知数列的前项和满足：，证明：是等比数列，并求； （3）已知数列、满足：，用数学归纳法证明：对任意，点都在直线上． 【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质即可求解； （2）利用第n项和前n项和的关系可得，继而变形为，结合等比数列定义即可证明结论，再利用等比数列的通项公式即可求得答案； （3）利用数学归纳法即可证明. 【详解】（1）由题意知等差数列满足：， 则， 则，即， 即. 经验证时满足题意，故. （2）由于， 故当时，，即， 则，即， 是以为首项，为公比的等比数列， 则，. （3）要证点在直线上，即证， 下面用数学归纳法证明． ①当时，，，等式成立， ②假设当（为正整数）时，等式成立，即，即， 那么当时，，等式也成立， 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任意都成立， 故原命题成立. 21. 给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”． （1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； （2）设数列的前三项为：，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； （3）设是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且在中至少有100个为正数，求的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）3个 （3） 【解析】 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断； （2）由新定义可得，求得的范围，即可得到所求个数； （3）运用等差数列的通项公式可得，讨论公差，，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围． 【小问1详解】 （1）是， 理由：是首项为1，公比为的等比数列， 可得，， 则， 可得数列与接近. 【小问2详解】 （2）与 “接近”，， ， 由于,其中, 互不相等，有3个元素. 【小问3详解】 与“接近”， ， 是公差为的等差数列，， ①当时，则，此时中无正数； ②当时，存在， 满足：，即与“接近”， 满足：， 即这100个都为正数； 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师大附中高一期末数学试卷 2025.06 一．填空题 1. 函数的最小正周期是________________． 2. 函数的单调增区间是______. 3. 如图，直线斜率的大小关系是_____ 4 无论取何实数，直线都经过定点_____ 5. 若复数满足，则_____ 6. 若，则在方向上的投影是_____ 7. 在中，，，点满足，，则_____ 8. 在等比数列中，，，则_____ 9. 若复数满足，则的最小值是_____ 10. 若数列满足，则_____ 11. 若点满足，则的最小值是_____ 12. 若数列满足，则最多有_____项 二．选择题 13. 直线的倾斜角等于（ ） A B. C. D. 14. 下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 15. 若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（ ） A. B. C D. 无法判定 16. 若“向量列”满足，则（ ） A. 是等比数列，是等比数列 B. 是等比数列，不是等比数列 C. 不是等比数列，是等比数列 D. 不是等比数列，不是等比数列 三．解答题 17. 已知平面上的两个向量． （1）若与平行，求的值； （2）若与垂直，求的值． 18. 已知关于的方程有两个复数根． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的值． 19. 如图所示，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数，的图像，且图像的最高点为，赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定. （1）求，的值和，两点间的距离； （2）设，当为何值时，折线段赛道最长？ 20. （1）已知等差数列满足：，求实数的值； （2）已知数列的前项和满足：，证明：是等比数列，并求； （3）已知数列、满足：，用数学归纳法证明：对任意，点都在直线上． 21. 给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”． （1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； （2）设数列前三项为：，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； （3）设是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且在中至少有100个为正数，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $