2.5二次函数与一元二次方程 第1课时课件-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

5二次函数与一元二次方程 第1课时 学习目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 二次函数与一元二次方程 1.历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标. 重点 难点 一级标题：黑体， 2 复习回顾 2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=_________。 当Δ>0时，方程有_________________； 当Δ=0时，方程有_________________； 当Δ<0时，方程___________________。 b2-4ac 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 1、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条 。 抛物线 3、如图，一次函数y=kx+1的图象与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为（2，0），则方程kx+1=0的解是 。 x=2 数形结合 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 情境引入 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么 （1）h与t的关系式是什么？ （2）物体上升的最大高度是多少？ （3）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？ h/m t/s 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么 （1）h与t的关系式是什么？ 解：（1）由题意得：h0=0，v0=40 ∴h=-5t2+40t h/m t/s 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么 （2）物体上升的最大高度是多少？ h/m t/s 解： （2）求得抛物线的顶点为（4,80）， 所以物体上升的最大高度为80m h=-5t2+40t 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么 （3）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？ 即h=0 h/m t/s h=-5t2+40t 法二：从图像上看， h=0 即为横轴。 抛物线与横轴的交点为（0,0）（8,0） 小球经过8s落地. 法一： 当h=0时 -5t2+40t=0 解得t1=0(舍）t2=8 答：小球经过8s后落地. 数形结合 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 t h h=−5t2+40t 探究抛物线h=-5t2+40t在上下平移过程中，与横轴的交点情况。 抛物线h=-5t2+40t 与横轴有两个交点 b24ac>0 方程5t2+40t=0 有两个不相等的实数根 h=−5t2+40t−80 h=−5t2+40t−100 抛物线h=-5t2+40t −80与横轴有一个交点 方程−5t2+40t−80 =0 有两个相等的实数根 b24ac=0 抛物线h=-5t2+40t −80与横轴没有交点 方程−5t2+40t−100 =0 没有实数根 b24ac<0 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 二次函数 y = x2 + 2x，y = x2 - 2x + 1，y = x2 - 2x + 2的图象如图所示. 与同伴交流并回答问题. (1) (2) (3) (1) 观察每个图象与x 轴有几个交点？交点坐标是什么？ (2) 一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个实数根? 一元二次方程 x2-2x+2=0 有实数根吗?请分别求出它们的根； 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 二次函数 y = x2 + 2x 的图象与x轴有几个交点？ 两个交点 一元二次方程 x2 + 2x = 0 有几个根？ 两个根 解：x2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 ∴ x(x + 2) = 0. ∴ x1 = 0，x2 = -2. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 二次函数 y = x2 - 2x + 1 的图象与 x 轴有几个交点？ 一个交点 一元二次方程 x2 - 2x + 1 = 0 有几个根？ 两个相同的根 解：x2 - 2x + 1 = 0 (x - 1)2 = 0 ∴ x - 1 = 0. ∴ x1 = x2 = 1. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 二次函数 y = x2 - 2x + 2的图象与 x 轴有几个交点？ 没有交点 一元二次方程 x2 - 2x + 2 = 0 有几个根？ 没有根 解：∵ Δ = b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×2 = - 4＜0 ∴ 原方程无实数根. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 二次函数y=ax2+bx+c的图像 二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式∆=b2-4ac 有2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有1个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根. 思考：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标和一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根有什么关系? 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。 与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c =0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c =0的根. 二次函数与一元二次方程的关系，体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 练一练 若二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为________________. a≥-1 且 a≠0 分析：二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点， Δ = 4 + 4a≥0 a≠0 a≥-1且 a≠0 总结 若抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴有交点，则 b2 - 4ac≥0. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 想一想 本节开始时小球上抛问题中， （1）经过多少秒小球离地面的高度是60m呢？ （2）经过多少秒小球离地面的高度是80m呢？ （3）经过多少秒小球离地面的高度是90m呢？ 你是如何知道的？ h/m t/s h=−5t2+40t 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 想一想 本节开始时小球上抛问题中， （1）经过多少秒小球离地面的高度是60m呢？ h/m t/s 解： 法1.由题意将h=60代入h=-5t2+40t，得： -5t2+40t=60 解得t1=2， t2=6 法2.由图像可知： 2s和6s时小球离地面的高度是60m. h=−5t2+40t Δ=b2-4ac =402-4×(-5)×(-60)=400>0 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 想一想 本节开始时小球上抛问题中， （2）经过多少秒小球离地面的高度是80m呢？ h/m t/s h=−5t2+40t 解： 法1.由题意将h=80代入h=-5t2+40t ，得： -5t2+40t=80 解得t1= t2=4 法2.由图像可知： 4s时小球离地面的高度是80m. Δ=b2-4ac =402-4×(-5)×(-80)=0 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 想一想 本节开始时小球上抛问题中， （3）经过多少秒小球离地面的高度是90m呢？ 你是如何知道的？ h/m t/s h=−5t2+40t 解： 法1.由题意将h=90代入h=-5t2+40t ，得： -5t2+40t=90 ∴原方程无实数根 法2.由图像可知： Δ=b2-4ac =402-4×(-5)×(-90)=-200<0 小球离地面的高度不可能达到90m. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 想一想 请你尝试总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象和直线y=h交点与一元二次方程ax2+bx+c =h的根的关系？ 二次函数y=ax2+bx+c的图象和直线y=h交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c =h的根。 y=h 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 想一想 二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 练一练 1. 抛物线y=x2+2x+m－1 与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是( ) A. m<2 B. m>2 C. 0<m ≤ 2 D. m<－2 2.[中考· 成都] 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y=x2+2x+k与x 轴只有一个交点，则k= _____． A 1 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练一练 3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x ＝1，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 ⁠. x＝－2 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练一练 4. 二次函数y＝x2＋bx-1（b为常数）的图象与x轴相交吗？，如果相交，有几个交点？ 5、二次函数y＝-x2-3x+4的图象与一次函数y＝2x-1的图象相交吗？如果相交，求出他们的交点坐标。 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。 与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c =0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c =0的根. 二次函数与一元二次方程的关系，体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法. 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 课堂小结 Δ = b2 - 4ac 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 x1，x2 x2 x1 x y O x1= x2 x y O x y O 没有实数根 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 课堂小结 一元二次方程 二次函数 一元二次方程的根 与x轴交点情况 y=0 解方程 图象 由“数” 到“形” 由“形” 到“数” 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 再见 $$