2.4二次函数的应用第2课时课件2025-2026学年北师大版数学九年级下册

4 三角函数的应用 第2课时 学习目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 二次函数的应用 1.经历计算最大利润问题的探索过程，将一些较简单的实际问题转化为数学问题，建立二次函数模型，确定二次函数的最值，从而解决实际问题. 2.进一步理解二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标与函数最值的关系，并明确二次函数取最值的不同情况. 重点 难点 一级标题：黑体， 2 复习回顾 利用二次函数解决以最大面积为代表的实际问题. 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 复习回顾 最值问题 几何面积最大问题 面积 S = ax2 + bx + c 利润最大问题 利润 y = ax2 + bx + c 利润 = 收入 - 成本 总收入 = 销售单价×销量 总成本 = 进货单价×销量 总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量 求最大值 类比几何问题求最值，想一想如何求利润问题的最大值？ 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 1．成本10元，批发单价13元，则一件T恤衫可以获得多少利润？ 2．“经销商愿意经销5000件”？这时厂家获得多少利润？ 3．为什么降价后经销商可以多经销一些T恤衫? 4．降低0.1元后，批发单价为多少？销售量为多少？利润增加了吗？降低0.2元呢？降低x个0.1元呢？ 5．厂家能无限降价吗？x的取值有什么限制？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销5 1．成本10元，批发单价13元，则一件T恤衫可以获得多少利润？ 2．“经销商愿意经销5000件”？这时厂家获得多少利润？ 单件利润=批发单价-成本; 总利润=单件利润×销售量; 13-10=3元 3×5000=15000元 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件. 3．为什么降价后经销商可以多经销一些T恤衫? 薄利多销； 降低0.1元后，批发价为12.9元，销售量5000+500=5500件 2.9×（5000+500）=15950 4．降低0.1元后，批发单价为多少？销售量为多少？利润增加了吗？降低0.2元呢？降低x个0.1元呢？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件. 4．降低0.1元后，批发单价为多少？销售量为多少？利润增加了吗？降低0.2元呢？降低x个0.1元呢？ 降低0.1元时，利润为2.9×（5000+500）=15950元 降低0.2元时，利润为2.8×（5000+500×2）= 16800元 降低0.1x元时，利润为(13-0.1x-10)(5000+500x) 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件. 5．厂家能无限降价吗？x的取值有什么限制？ 不能赔钱做生意； ∵x≥0，13-0.1x＞10， ∴0≤x＜30 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？ 设批发单价降低0.1x元，所获利润为y元，则批发单价为(13-0.1x)元；销售量为(5000+500x)件； ∴y=(5000+500x)(13-0.1x-10) =-50(x-10)2+20000 因为x≥0，13-0.1x＞10，∴0≤x＜30 当x=10时，即批发单价为12元时，可以获得最大利润。 答：批发单价为12元时，可以获得最大利润。 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？ =－5000(x－12)2 + 20000 解：设厂家批发单价是为 x 元，获利 y 元. ∵ 13 − x≥0，且 x＞10，∴ 10＜x≤13. 故厂家批发单价为 12 元时，获利最多，为20000元. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？ 解：设每件降价 a 元，获利 y 元. ∵ a＜13 − 10，且 a≥0，∴ 0≤a＜3. =－5000(a－1)2 + 20000 故厂家批发单价为 12 元时，获利最多，为 20000 元. ∴批发单价为 13－1 = 12(元). 解决了上述关于服装销售的问题，请你谈一谈怎样设因变量更好？ ∴当 a = 1 时， y最大=20000. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件. y=(70000-5000x)(x-10)=-5000x2+120000x-70000 答：当批发单价为11元时，可以获得最大利润. ∵10＜x≤13 解：设批发单价为x元，所获利润为y元， 如果对称轴不在范围内？ 问题6. 如果批发量不能少于15000件，批发价为多少时，可以获得最大利润？ ∵x=-=12，当x＜12时，y随x的增大而增大 ∴当x=11时，可以获得最大利润. 且70000-5000x≥15000 ∴ 10＜x≤11 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 典型例题 例 某旅馆有客房 120 间，每间房的日租金为 160 元时，每天都客满. 经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加 10 元，那么客房每天出租数会减少 6 间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高? 最高总收入是多少? 日租金(元) 出租数(间) 总收入(元) 正常销售 涨价销售 160 120 160 + 10x 120 - 6x y=(160+10x)(120-6x) 19200 设每间客房的日租金提高 x 个 10 元. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 合作探究 解：设每间客房的日租金提高 10x 元，则每天客房出租数会减少 6x 间. 设客房日租金总收入为 y 元，则 ∵ x≥0，且120－6x＞0，∴ 0≤x＜20. 当 x = 2 时， y最大=19440. 这时每间客房的日租金为 160 + 10×2 = 180 (元) 因此，每间客房的日租金提高到 180 元时，客房总收入最高, 最高收入为 19440 元. y = (160 + 10x)(120 - 6x) = -60(x - 2)2 + 19440 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量 x (棵) 与橙子总产量 y (个) 的二次函数表达式 y = (100 + x)(600 - 5x) = -5x² + 100x + 60000. （1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 （2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？ ∴ 增种 6~14 棵橙子树可以使橙子的总产量在60400个以上. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 练习 1.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件、销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：设销售单价为x元，销售利润为y元．根据题意，得： y＝（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）] ＝﹣20x2+1400x﹣20000 ∵﹣20＜0，30≤x＜50 ∴x＝-=35时，y有最大值，最大值为4500. 答：销售单价为35元时，半月内可以获得最大利润4500元． 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 解：设一个旅行团的人数是x人，设营业额为y元， 根据题意可得： y＝x[800﹣10（x﹣30）]＝﹣10（x﹣55）2+30250， 故当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额30250元． 练习 2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元. 旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团每增加一人，每人的单价就降低10元. 你能帮助算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？ 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 解：设销售单价定为x元（x≥10），每天所获利润为y元， 则y＝[100﹣10（x﹣10）]•（x﹣8）＝﹣10（x﹣14）2+360 所以将销售定价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元． 练习 3．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件. 经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件. 将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 解：y＝（x﹣6.5）2+（x﹣5.9）2+（x﹣6.0）2+（x﹣6.7）2+（x﹣4.5）2 ＝x2﹣13x+6.52+x2﹣11.8+5.92+x2﹣12x+62+x2﹣13.4x+6.72+x2﹣9x+4.52 ＝5（x﹣5.92）2+2.968， ∵a＝5， ∴x＝5.92时，y有最小值， ∴大麦穗长的最佳近似长度为5.92． 练习 4．在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如，在测量5个大麦穗长之后，得到的数据是6.5; 5.9; 6.0; 6.7; 4.5，那么这些大麦穗的最佳近似长度可以取使函数 y＝（x﹣6.5）2+（x﹣5.9）2+（x﹣6.0）2+（x﹣6.7）2+（x﹣4.5）2 为最小值的x值．整理上式，并求出大麦穗长的最佳近似长度． 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 求二次函数最值的方法： 利用二次函数解决生活中最值问题的思路： 配方法，公式法，利用函数图象和性质. 实际背景 建立模型 二次函数最值问题 问题解决 课堂小结 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 再见 $$