专题4.2 平行线分成比例线段（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（北师大版 ）

专题4.2 平行线分成比例线段 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾 1 情景引入 1 知识点（一）平行线分线段成比例 2 【题型1】利用平行线分线段成比例求值 2 知识点（二）平行线分线段成比例定理推论 5 【题型2】利用平行线分线段成比例定理推论求值 5 【题型3】利用平行线分线段成比例定理推论证明 7 方法引入 9 知识点（三）平行线分线段成比例定理（构造平行线） 10 【题型4】利用平行线分线段成比例定理推论（构造平行线）求值 11 【题型5】利用平行线分线段成比例定理推论（构造平行线）证明 14 【题型6】利用平行线分线段成比例定理进行尺规作图 21 二．同步练习 23 【基础巩固（20题）】 23 【能力提升（20题）】 38 【中考真题12题】 62 一．知识梳理与题型分类精析 知识回顾 比例基本性质： 情景引入 如图1，小方格的边长为1，直线，分别交直线于格点,,,,,.由勾股定理我们可以得到：=；=；=；=.这样我们就可以得到： 图1 一般地，有如下事实 知识点（一）平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 数学语言：，; . 【题型1】利用平行线分线段成比例求值 【例题1】（23-24九年级上·广西崇左·期中）如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． （1）如果，求的长； （2）在（1）的条件下，如果，求的长． 【答案】（1）4，14；（2）15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长； （2）由平行线分线段成比例定理，得出，由平行线分线段成比例定理得出，再代入求得结果． 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵点G是的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 【变式1】（2025·浙江金华·三模）如图，，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，根据即可求解． 解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，，如果，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线分线段的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质并灵活应用是解题关键． 先根据平行线分线段成比例定理列出比例式求得，然后运用线段的和差求解即可． 解：∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为： 知识点（二）平行线分线段成比例定理推论 平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线 段成比例. 数学语言：在中，， . 【题型2】利用平行线分线段成比例定理推论求值 【例题2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，首先根据，，可得：，，再代入数据即可求出，继而可求． 解：，， ，， ，，， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，数轴上的点A对应直尺的0刻度线，已知图中的虚线相互平行．若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段，列出比例式求出的长，再根据两点间的距离公式求出点B在数轴上表示的数即可． 解：如图，由题意，得：，，， ∴， ∴， ∴点所表示的数为：； 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，已知四边形是平行四边形，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理，解题关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质结合比例关系求解． 利用平行四边形对边平行及相等的性质，结合平行线分线段成比例定理，代入、、，算出，进而得长． 解：因为四边形是平行四边形，，， 所以，，， 所以， 因为，， 所以， 所以． 故答案为：． 【题型3】利用平行线分线段成比例定理推论证明 【例题3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，直线经过菱形的顶点，分别交边和的延长线于点．求证：． 【分析】本题主要考查了利用平行线分线段成比例定理以及菱形的性质来证明线段间的数量关系，掌握平行线分线段成比例定理、菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得再结合平行线分线段成比例定理可得进而得证． 解：证明：四边形是菱形， ， ． 又，即， ． ． 【变式1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可． 解：当时，，A选项正确，符合题意； 当时，不能判定，B、C选项错误，不符合题意； 当时，不能判定，D选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，已知，、交于点，且． 求证：（1）；（2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键； （1）根据可得，结合已知得出即可证明； （2）根据，得出等量代换即可得出 解：（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴． （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 方法引入 【例题4】（24-25八年级下·吉林长春·期中）小明同学在学习平行线分线段成比例定理时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值． （1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的解题过程． 解：（1）解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 是的中点 ． 又 由此，我们可以构造平行线利用平行线分线段成比例定理进行解题求值 知识点（三）平行线分线段成比例定理（构造平行线） 如图4，过点E过EF//DC交AD于点F，构造EF//DC的A字形ADC和EF//BD的BDG和EFG的8字型； 如图5，过点D作DF//AC交BE于点F，构造DF//CE的A字形BEC和DF//AE的DFG和AEG的8字型； 还可以通过点E作AD的平行线，过点D作BE的平行线，总之，就是通过作平行线得到双A字型或双8字型或一个A字型和一个8字弄等等，达到线段或线段比值转化的目的. 【题型4】利用平行线分线段成比例定理推论（构造平行线）求值 【例题4】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，是的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点． （1）若，求的长； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过作交于点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案； （2）如图，过作交于点，，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 解：（1）解：如图，过作交于点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过作交于点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查平行线分线段成比例定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 过点D作交于点G，利用平行线分线段成比例定理求出，，进而可得答案． 解：如图，过点D作交于点G． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型5】利用平行线分线段成比例定理推论（构造平行线）证明 【例题5】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． （1）问题1：若是的中线，，则= ． （2）问题2：若是的中线，，则的值是 ． （3）问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． （4）问题4：若是的中线，且，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）12；（4）见分析 【分析】本题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，根据题意合理做出辅助线是解题关键． （1）过点作交于点，利用平行线的性质得到，； （2）过点作交于点，利用平行线的性质得到，设，则，进一步解答即可； （3）过点作交于点，利用平行线的性质得到，由的面积与的面积之比得到，由推导出，利用计算即可得解； （4）过点作，得到是的中位线，，；进一步推导出，得到，． 解：（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查平行线分线段成比例的推论，过点作，交于点，中，根据，可得，得出．中，根据，可得，等量代换可得． 解：证明：如图，过点作，交于点． ∵是的中线， ∴， ∵中，， ∴， ∴． ∵中，， ∴， 即， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． （1）若是的中点，则______； （2）若，则______； （3）若，则______； （4）若，猜想______，并证明． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见分析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是： （1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； （4）仿照（1）求解即可． 解：（1）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （2）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （3）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （4）解： 理由：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； 【题型6】利用平行线分线段成比例定理进行尺规作图 【例题6】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知线段a、b、c．求作线段x，使． 【答案】见分析 【分析】本题考查尺规作图—作成比例线段，平行线分线段成比例．利用数形结合的思想是解题关键．根据，得出，结合尺规作图，作出成比例线段即可． 解：如图，线段x即为所作． 【变式1】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，正确理解平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理分别列出比例式，可求得x的值，即可判断答案． 解：A、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故A选项错误，不符合题意； B、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故B选项正确，符合题意； C、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故C选项错误，不符合题意； D，根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故D选项错误，不符合题意． 故选B． 【变式2】（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 二．同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图是佳佳的作业，其中一部分被墨水污染了，则污染的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线分线段成比例，根据一组平行线分线段得到对应线段成比例，据此解答 解：∵， ∴， 故选：C 2．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法，根据平行线的性质一一分析． 解：A、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； B、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； C、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； D、根据平行线的性质得，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，分别交，，于点A，B，C；分别交，，于点D，E，F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，即可得出，求出，进而可得出． 解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D 4．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，若，则为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，为中点，，若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例，根据三角形的中线的性质可得，根据平行线分线段成比例可得，再根据三角形中线平分三角形面积即可求解． 解：∵在中，点D是的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 故选：B． 6．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A，B，C三点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．过点作过点的横线于，交过点的横线于，再根据平行线分线段成比例定理计算即可． 解：如图，过点作过点的横线于，交过点的横线于， ， ， 故选：C． 7．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，．以点B为圆心，适当长为半径作弧，交y轴于C，D两点；分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线．点是点A关于直线的对称点，连接交于点P，则点P的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线作图及线段垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键．由点是点A关于直线的对称点，，可得，，由平行线分线段成比例定理可得，进而可求出点P的坐标． 解：如图，与交于点G， 由作图知，垂直平分， ∴， ∵， ∴点G的纵坐标为2． ∵点是点A关于直线的对称点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 二、填空题 8．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据列方程求解，即可求得的长． 解：， ， ， 又， 解得：， 故答案为：． 9．（2025·山西·一模）谱号是现代乐谱中不可或缺的元素之一、如图，将高音谱号放入等距离的五条平行线构成的五线谱中，点分别是高音谱号与五线谱中三条直线的交点，且在同一条直线上．若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握平行线等分线段定理“如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等”是解题的关键． 直接运用平行线等分线段定理解答即可． 解：∵， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为：． 10．（2025·江苏连云港·模拟预测）小明借助尺规作图，在线段上作一点．若，则 ． 【答案】32 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由作图痕迹可得，，，得出，即可得解． 解：由作图痕迹可得，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：32． 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点在边的延长线上，点在边上，连接，取的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形性质及应用．过作于，交的延长线于点，交于点，由为的中点，证明是的中位线，求得，，可得，从而． 解：过作于，交的延长线于点，交于点，如图： 四边形，四边形是正方形， ，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴为的中点， ∴是的中位线， ，， ∴ ， ； 故答案为：． 12．（2025·上海·模拟预测）如图，平行四边形中，点是边的三等分点．连接并延长交于点，连接，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得，，，设，则，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，得到，继而得到，得出，计算即可得到答案． 解：平行四边形中，， 点是边的三等分点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查平行线分线段成比例定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 过点D作交于点G，利用平行线分线段成比例定理求出，，进而可得答案． 解：如图，过点D作交于点G． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点，为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点，； ②作直线，分别交，于点，； ③过作交于点，连接，． 则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，由作图可得，垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，，，由勾股定理逆定理可得，证明出，得出点为的中点，即，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：由作图可得，垂直平分， ∴，，，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被，，所截．如果，，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 解：∵， ， ，，， ， 解得： 16．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例；由平行可得，结合已知条件和比例的性质即可得证． 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． （1）_____． （2）求的长． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键． （1）根据，得到，结合，求出的长即可； （2）根据，得到，求出的长，进而求出的长即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴． 18．（2025·河南漯河·三模）如图，在中 ，，平分交于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法即可作图； （2）证明出，再根据平行线分线段成比例定理即可求证． 解：（1）解：即为所作： （2）解：，理由如下： 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，为对角线，、分别是边上的点，连接，且，、分别交于点、． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由即可得到，即可求证； （2）由平行四边形得到，则． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 20．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）请阅读下列材料，完成任务． 梅涅劳斯（Menelaus）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理． 如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点D，可截得六条线段，则这六条线段满足，下面是该定理的一部分证明过程： 证明：如图2，过点作，交延长线于点，则有（依据），… （1）上述过程中的“依据”指的是 ； （2）请将该定理的证明过程补充完整． 【答案】（1）平行线分线段成比例；（2）见分析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例质． （1）根据题意，上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； （2）根据平行线分线段成比例，得到，进而得到，得证． 解：（1）解：上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例； 故答案为：平行线分线段成比例； （2）解：该定理的证明过程补充完整如下： ， ， ， ， 即． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例． 根据平行四边形的判定和性质得到，再平行线分线段成比例解答即可． 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 即， ∴． 故选：C 2．（2025·吉林长春·一模）在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，直接利用基本作图对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到，，，，再利用平行线的性质证明得到，则，所以，于是可对B选项进行判断；接着利用平行线的性质证明得到，则可对C选项进行判断；由于，则根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断熟练利用平行四边形的性质是解题的关键 解：由作法得平分， ，所以A选项不符合题意； 四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ，所以B选项不符合题意； ， ， ， ， ，所以C选项不符合题意； ， ， ，所以D选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，，再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解． 解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，故A选项正确，符合题意； 因为，故D选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，而不一定等于，故C选项不正确，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C 5．（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C 6．（2025·安徽·模拟预测）如图，已知在四边形中，对角线与交于点O，与的面积相等．平分，，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，分别过点B，D作的垂线，垂足分别为点E，F，可得，即可证明可判断A，过点O作，交于点G，证明，可得，，即可证明B、C、D，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，分别过点B，D作的垂线，垂足分别为点E，F， ∵，，且， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴．故A选项成立； 如图，过点O作，交于点G， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，．故C选项成立； ∴，故D选项成立； ∴．故B选项不成立． 故选：B． 7．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）如图，在中，为的中点，为靠近点的三等分点，与交于点．过点作内角平分线的平行线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线截线段成比例的计算方法是解题的关键． 如图，过点作的平分线，交于点，过点作，交于点，可得，，，，，由此得到，，根据，即可求解． 解：如图，过点作的平分线，交于点，过点作，交于点， ∴， ∵为中点， ， ∴， ∵为靠近点的三等分点， ， ∴， ∵平分， ∴点到的距离相等， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 8．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若，则线段的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，证明是的中位线，利用三角形中位线定理求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 为的中点， ∵∥， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：8． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，已知，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先求出，再根据平行线分线段成比例定理可得，则，然后代入计算即可得． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作交于，求出即可得到答案． 解：作交于， ，D是中上的中点， ， ， ， ，是的中线， ， 且， ， ， ， 11．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，作交于点K，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长． 解：作交于点K， ∴，． ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2025·江苏淮安·一模）如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则= ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握是解答本题的关键．延长交于点，可证，得到，设，，则，根据平行线分线段成比例得到，得到，能够得到，根据勾股定理得，，能够得到，先计算即可求得． 解：延长交于点， 由折叠得，，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点， ， 设，，则， 在矩形中， ，， ， 即， ， 即， ， 即， ， 在中，， 在中，， ， ， 即， 化简得， 解得（舍），， 即， ， 即， 故答案为：． 13．（2025·山东济南·二模）已知菱形中，，，E为边的中点，F为边上一点，将F点沿过C点的直线翻折，翻折后的对应点G恰好落在直线上，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】设折痕为，连接，由题意得，，．证明是等边三角形得，，求出，可得，即当E，G，G共线时，的值最小，然后证明是的中位线，是的中位线，进而可求得结论． 解：如图，设折痕为，连接，由题意得，，． ∵菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵当E，G，G共线时，的值最小， ∴此时值最小，， ∴． ∵E为边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴，即的最小值为6． 故答案为：6． 【点拨】本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，折叠的性质，证明是的中位线，是的中位线是解答本题的关键． 14．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，点为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，交于点，连接，交于点，已知，，，则= ． 【答案】 【分析】过点作交、的延长线于点，在上截取，连接，由四边形是菱形，则，，再由旋转可得，，从而证明是等边三角形，然后由等边三角形的性质可得∴，，从而，最后由平行线分线段成比例即可求解． 解：过点作交、的延长线于点，在上截取，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由旋转可得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，菱形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 15．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图所示，，且，，．求，，的长． 【答案】、、 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线被两条直线所截得的对应线段成比例，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，即可求解，由得到，即可求解． 解：∵， ∴． 而， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 16．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知直线交轴负半轴交于点，点的坐标是，点是直线上异于点的一点，其横坐标为，且． （1）求证：直线经过点； （2）求直线的解析式． 【答案】（1）见详解；（2）直线 【分析】（1）根据一次函数的性质将点代入函数解析式验证即可； （2）由点坐标求得线段中点横坐标，则点A和点B关于的直线对称，结合点C的横坐标，连接，则，则且，有求得点，代入解析式即可解得，结合已知和勾股定理求得，进一步解得，结合求得k值即可． 解：（1）解：∵直线 ∴当时， ， 则直线经过点； （2）解：∵点，点的坐标是， ∴线段中点横坐标为， ∴点A和点B关于的直线对称， ∵点是直线上异于点的一点，其横坐标为， ∴连接， 则，如图， ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， ∵点是直线上异于点的一点， ∴，解得， ∵，， ∴，解得， ∵， ∴解得， ∴， 则直线． 【点拨】本题主要考查一次函数的性质，涉及一次函数的性质、中点坐标、对称性平行线的性质和勾股定理，解题的关键是熟悉一次函数的性质和平行线的性质． 17．（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，已知，、交于点，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键； （1）根据可得，结合已知得出即可证明； （2）根据，得出等量代换即可得出 解：（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴． （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 18．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： （1）的值为__________； （2）求证：； （3）求：的值． 【答案】（1）；（2）证明见分析；（3） 【分析】（1）由题意可得，，从而可得，即可得解； （2）由题意可得，，即可得证； （3）由题意可得，，从而可得，，再由平行线分线段成比例定理可得，，求出，，即可得解． 解：（1）解：∵，，是三个全等的等腰三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴， （3）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ，， ∴，即， ∴，， ∴． 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例的运用，掌握等腰三角形的性质，平行线分线段成比例是计算是解题的关键． 19．（2025·新疆喀什·二模）如图，正方形的顶点、在正方形的边、上，连接、． （1）求证：； （2）连接，请直接写出的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据正方形的性质得出，再利用求得， （2）由得点在对角线上，再运用平行线间线段的比求解． 解：（1）证明：四边形和都是正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接， ∵正方形 ∴，，， ∴， ∵正方形， ∴，， 在和中， ， ， ， 点在对角线上， .∵， ， ∴， ， ． 【点拨】本题主要考查正方形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，要熟练掌握灵活应用相关知识． 20．（24-25九年级上·广东清远·期末）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值． （1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的证明过程． 【尝试应用】 （2）如图图2，在中，E、F分别是、的中点，连接分别交、于M、N，求证：． 【拓展提高】 （3）如图图3，点D、E分别是、边的中点，、交于F，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）12 【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例等知识， （1）根据平行线分线段成比例定理和中点的定义进行解答即可； （2）连接交于点，则点为的中点，点为的中点．根据（1）问可得．同理可得,由点为的中点得到，即可证明结论成立； （3）求出，得到，．根据即可得到答案． 解：（1）解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 是的中点 ． 又 （2）证明：连接交于点，则点为的中点，点为的中点． 为的中点，根据（1）问可得 ． 同理可得 点为的中点 ． （3）由第（1）问可知 ， 同理可得， ． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 解：连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键． 3．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 4．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【答案】D 【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解． 解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点 步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得： M、N就是线段AB的三等分点 故选：D 【点拨】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可． 二、填空题 5．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 6．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ．      【答案】 【分析】由尺规作图可知，射线是的角平分线，由于，结合等腰三角形“三线合一”得是边中点，再由，根据平行线分线段成比例定理得到是边中点，利用梯形中位线的判定与性质得到即可得到答案． 解：由题意可知，射线是的角平分线， 由等腰三角形“三线合一”得是边中点， ， 由平行线分线段成比例定理得到，即是边中点， 是梯形的中位线， ， 在中，，，则， 故答案为：． 【点拨】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性质是解决问题的关键． 7．（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    【答案】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 解：，   ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点拨】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 8．（2023·河南·中考真题）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可． 解：当时，    ∵四边形矩形， ∴，则， 由平行线分线段成比例可得：， 又∵M为对角线的中点， ∴， ∴， 即：， ∴， 当时，      ∵M为对角线的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵四边形矩形， ∴，则， ∴ ∴， 综上，的长为2或， 故答案为：2或． 【点拨】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题 9．（2025·甘肃平凉·中考真题）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与B的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见分析；（2），理由见分析；（3），理由见分析 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． 解：（1）解：，理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3），理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴． 【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 10．（2025·甘肃·中考真题）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见分析；（2），理由见分析；（3），理由见分析 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． 解：（1）解：，理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3），理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴． 【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 11．（2025·安徽·中考真题）已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． （1）如图1，若的延长线经过点D，，求的长； （2）如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）详见分析；为等腰直角三角形，理由见分析 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得出，，证明，得出，结合正方形的性质可判断是等腰直角三角形，求出，然后根据勾股定理求出，即可求解； （2）①由正方形的性质和线段的垂直平分线的性质得出，根据等边对等角以及三角形内角和定理可求出，即可求解； ②（方法一）作交于点M，交于点N．根据三线合一的性质得出M为的中点．可证，根据平行线分线段成比例判断出N是的中点，根据三角形中位线定理得出．根据证明，得出，则E为的中点．结合，根据三角形中位线定理和平行线的性质得出．同理可证，得出，即可得出结论； （方法二）设，则．根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理求出，由（1）中，得出，则．根据等边对等角得出．根据三角形内角和定理求出，由角的和差关系求出，，根据证明，得出，．结合①中求出，则，即可得出结论． 解：（1）解：∵四边形是正方形，的延长线经过点D， ∴，，， 由垂直平分线的性质知，，， 又， ∴， ∴． 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． （2）解：①证明：由题意知，， ∴，． ∴ ， ∴． ②解：是等腰直角三角形． 理由如下： （方法一）作交于点M，交于点N． ∵， ∴M为的中点． 又， ∴， ∴， ∴N是的中点， ∴是的中位线，． ∵，，且， ∴， ∴， 即E为的中点． 又， ∴， ∴． 同理可证， ∴． ∴是等腰直角三角形． （方法二）设，则． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， 又，， ∴． ∴，． 由①知， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 12．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在▱中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点． （1）若点与点重合，则线段的长度为______． （2）随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由． 【答案】（1）；（2）不变，， 【分析】（1）当点与点重合时，、、、、共线，，为的中位线，即可求出的长度． （2）构造，使为的中位线，再构造，进而证得是等边三角形，得出．然后由和为等边三角形，推导出，然后再由，最后得出和的长度不变． 解：（1）解：当点与点重合时，如图①， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，． ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴．， ∴、、三点共线， ∵，， ∴、、、共线， ∵点、分别是，的中点， ∴． ∴． 故答案为：． （2）解：结论：不变． 如解图②，连接并延长到点，使得，连接，，延长，交于点，连接．延长至点，使得，连接，，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，． ∵点为中点， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴． 在平行四边形中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴．， 由旋转得，， ∵，， ∴，， ∴， 又，， ∴（）． ∴， ∴为等边三角形． ∵点、为、的中点， ∴为的中位线，． ∵． ∴．即的长度不变； ∵和都为等边三角形． ∴，，，， ∴， ∴（）． ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形． 同理：为等边三角形． ∴．， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∴． ∵为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴为中点， ∴， ∴． 故和的长度都不变． 【点拨】本题考查了旋转的性质，平行四边形和等边三角形的性质，三角形中位线的性质以及平行线分线段成比例．本题的难点是构造得出． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 平行线分成比例线段 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾 1 情景引入 1 知识点（一）平行线分线段成比例 2 【题型1】利用平行线分线段成比例求值 2 知识点（二）平行线分线段成比例定理推论 3 【题型2】利用平行线分线段成比例定理推论求值 3 【题型3】利用平行线分线段成比例定理推论证明 4 方法引入 5 知识点（三）平行线分线段成比例定理（构造平行线） 6 【题型4】利用平行线分线段成比例定理推论（构造平行线）求值 6 【题型5】利用平行线分线段成比例定理推论（构造平行线）证明 7 【题型6】利用平行线分线段成比例定理进行尺规作图 8 二．同步练习 9 【基础巩固（20题）】 9 【能力提升（20题）】 14 【中考真题12题】 20 一．知识梳理与题型分类精析 知识回顾 比例基本性质： 情景引入 如图1，小方格的边长为1，直线，分别交直线于格点,,,,,.由勾股定理我们可以得到：=；=；=；=.这样我们就可以得到： 图1 一般地，有如下事实 知识点（一）平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 数学语言：，; . 【题型1】利用平行线分线段成比例求值 【例题1】（23-24九年级上·广西崇左·期中）如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． （1）如果，求的长； （2）在（1）的条件下，如果，求的长． 【变式1】（2025·浙江金华·三模）如图，，若，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，，如果，，，那么 ． 知识点（二）平行线分线段成比例定理推论 平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线 段成比例. 数学语言：在中，， . 【题型2】利用平行线分线段成比例定理推论求值 【例题2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，数轴上的点A对应直尺的0刻度线，已知图中的虚线相互平行．若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，已知四边形是平行四边形，，，，则的长为 ． 【题型3】利用平行线分线段成比例定理推论证明 【例题3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，直线经过菱形的顶点，分别交边和的延长线于点．求证：． 【变式1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，已知，、交于点，且．求证： （1）； （2）． 方法引入 【例题4】（24-25八年级下·吉林长春·期中）小明同学在学习平行线分线段成比例定理时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值． （1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的解题过程． 由此，我们可以构造平行线利用平行线分线段成比例定理进行解题求值 知识点（三）平行线分线段成比例定理（构造平行线） 如图4，过点E过EF//DC交AD于点F，构造EF//DC的A字形ADC和EF//BD的BDG和EFG的8字型； 如图5，过点D作DF//AC交BE于点F，构造DF//CE的A字形BEC和DF//AE的DFG和AEG的8字型； 还可以通过点E作AD的平行线，过点D作BE的平行线，总之，就是通过作平行线得到双A字型或双8字型或一个A字型和一个8字弄等等，达到线段或线段比值转化的目的. 【题型4】利用平行线分线段成比例定理推论（构造平行线）求值 【例题4】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，是的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点． （1）若，求的长； （2）求的值． 【变式1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，则 ． 【题型5】利用平行线分线段成比例定理推论（构造平行线）证明 【例题5】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． （1）问题1：若是的中线，，则= ． （2）问题2：若是的中线，，则的值是 ． （3）问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． （4）问题4：若是的中线，且，求证：． 【变式1】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：． 【变式2】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． （1）若是的中点，则______； （2）若，则______； （3）若，则______； （4）若，猜想______，并证明． 【题型6】利用平行线分线段成比例定理进行尺规作图 【例题6】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知线段a、b、c．求作线段x，使． 【变式1】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 二．同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图是佳佳的作业，其中一部分被墨水污染了，则污染的部分是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，分别交，，于点A，B，C；分别交，，于点D，E，F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 4．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，若，则为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，为中点，，若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A，B，C三点，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，．以点B为圆心，适当长为半径作弧，交y轴于C，D两点；分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线．点是点A关于直线的对称点，连接交于点P，则点P的坐标是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，如果，那么 ． 9．（2025·山西·一模）谱号是现代乐谱中不可或缺的元素之一、如图，将高音谱号放入等距离的五条平行线构成的五线谱中，点分别是高音谱号与五线谱中三条直线的交点，且在同一条直线上．若，则的长为 ．    10．（2025·江苏连云港·模拟预测）小明借助尺规作图，在线段上作一点．若，则 ． 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点在边的延长线上，点在边上，连接，取的中点，连接，则的长为 ． 12．（2025·上海·模拟预测）如图，平行四边形中，点是边的三等分点．连接并延长交于点，连接，则的值为 ． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，则 ． 14．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点，为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点，； ②作直线，分别交，于点，； ③过作交于点，连接，． 则四边形的周长为 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被，，所截．如果，，，求的长．    16．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，求证：． 17．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． （1）_____． （2）求的长． 18．（2025·河南漯河·三模）如图，在中 ，，平分交于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明． 19．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，为对角线，、分别是边上的点，连接，且，、分别交于点、． （1）求证：； （2）若，求的值． 20．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）请阅读下列材料，完成任务． 梅涅劳斯（Menelaus）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理． 如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点D，可截得六条线段，则这六条线段满足，下面是该定理的一部分证明过程： 证明：如图2，过点作，交延长线于点，则有（依据），… （1）上述过程中的“依据”指的是 ； （2）请将该定理的证明过程补充完整． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2025·吉林长春·一模）在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 6．（2025·安徽·模拟预测）如图，已知在四边形中，对角线与交于点O，与的面积相等．平分，，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）如图，在中，为的中点，为靠近点的三等分点，与交于点．过点作内角平分线的平行线交于点，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若，则线段的长为 ． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，已知，，，，那么 ． 10．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ． 11．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ． 12．（2025·江苏淮安·一模）如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则= ． 13．（2025·山东济南·二模）已知菱形中，，，E为边的中点，F为边上一点，将F点沿过C点的直线翻折，翻折后的对应点G恰好落在直线上，则的最小值为 ． 14．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，点为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，交于点，连接，交于点，已知，，，则= ． 三、解答题 15．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图所示，，且，，．求，，的长． 16．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知直线交轴负半轴交于点，点的坐标是，点是直线上异于点的一点，其横坐标为，且． （1）求证：直线经过点； （2）求直线的解析式． 17．（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，已知，、交于点，且．求证： （1）； （2）． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： （1）的值为__________； （2）求证：； （3）求：的值． 19．（2025·新疆喀什·二模）如图，正方形的顶点、在正方形的边、上，连接、． （1）求证：； （2）连接，请直接写出的值． 20．（24-25九年级上·广东清远·期末）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值． （1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的证明过程． 【尝试应用】 （2）如图图2，在中，E、F分别是、的中点，连接分别交、于M、N，求证：． 【拓展提高】 （3）如图图3，点D、E分别是、边的中点，、交于F，，，，求四边形的面积． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 二、填空题 5．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 6．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ．      7．（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    8．（2023·河南·中考真题）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 三、解答题 9．（2025·甘肃平凉·中考真题）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与B的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 10．（2025·甘肃·中考真题）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 11．（2025·安徽·中考真题）已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． （1）如图1，若的延长线经过点D，，求的长； （2）如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由． 12．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在▱中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点． （1）若点与点重合，则线段的长度为______． （2）随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$