专题2.6 一元二次方程（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习）-基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（北师大版 ）

专题2.6 一元二次方程 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）全章知识结构 1 知识点（二）认识一元二次方程 2 【题型1】一元二次方程的定义 2 【题型2】一元二次方程的解（根） 2 知识点（三）一元二次方程的解法——配方法 3 【题型3】用配方法解一元二次方程 3 知识点（四）一元二次方程的解法——公式法 3 【题型4】用公式法解一元二次方程 3 知识点（五）一元二次方程的解法——因式分解法 4 【题型5】用因式分解法一元二次方程 4 知识点（六）用合适的方法解一元二次方程 4 【题型6】运用合适的方法解一元二次方程 5 知识点（七）解可化为一元二次方程的分式方程 5 【题型7】解可化为一元二次方程的分式方程 5 知识点（八）一元二次方程根的判别式 5 【题型8】利用一元二次方程根的判别式求值证明 5 知识点（九）一元二次方程根的根与系数关系 6 【题型9】利用一元二次方程根与系数关系求值证明 6 知识点（十）应用一元二次方程 6 【题型10】应用一元二次方程 7 二．同步练习 7 基础夯实（18题） 7 巩固提升（20题） 10 直通中考（14题） 13 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）全章知识结构 知识点（二）认识一元二次方程 1.一元二次方程定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化成（为常数）的形式,这样的方程叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 3.用二分法确定一元二次方程的近似解:找出初始范围的中间点，判断解在中间点的哪一侧，得到一个新的范围，然后对这个新的范围进行类似操作……直到最终的结果符合实际问题的精确度要求。 【题型1】一元二次方程的定义 【例题1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． （1）若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． （2）若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【变式1】（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【题型2】一元二次方程的解（根） 【例题2】（24-25九年级上·全国·期末）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【变式1】（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【变式2】（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 知识点（三）一元二次方程的解法——配方法 用配方法解一元二次方程：把一元二次方程（）转化为的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数,当时，两边同时开平方转化为一元一次方程，便可求出它的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 【题型3】用配方法解一元二次方程 【例题3】（24-25九年级下·天津静海·开学考试）解方程： （1） （2） 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）用配方法解方程时，则下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·吉林·期末）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 知识点（四）一元二次方程的解法——公式法 用公式法解一元二次方程：对于一元二次方程（），当时，它的根是： 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 【题型4】用公式法解一元二次方程 【例题4】（23-24九年级上·西藏拉萨·期中）解方程． （1）． （2）． 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为 ． 知识点（五）一元二次方程的解法——因式分解法 用因式分解法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积的形式，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 【题型5】用因式分解法一元二次方程 【例题5】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）解方程： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（    ） A． B．4 C． D．5 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：； 第2个方程：； 第3个方程：； 第4个方程：； …… 直接写出第n个方程为 ，第n个方程的解为 ． 知识点（六）用合适的方法解一元二次方程 解一元二次方程核心是“降次”：通过配方法、公式法、因式分解法，将一元二次方程转化为一次方程求解。解题时可根据方程特点选择简便方法：如能因式分解优先用因式分解法，形式特殊用直接开平方法，再用公式法或配方法. 【题型6】运用合适的方法解一元二次方程 【例题6】（23-24九年级上·四川成都·期中）用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）用适当方法解方程： （1）； （2）． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）用适当方法解方程： （1）； （2）． 知识点（七）解可化为一元二次方程的分式方程 解可化为一元二次方程的分式方程： 1. 确定：确定最简公分母，去分母转化为整式方程；2. 整理：整理整式方程为标准形式；3. 求解：求解一元二次方程；4. 验根（关键步骤，不可省略）；5. 写出原方程的解. 【题型7】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题7】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解分式方程：． 【变式1】（24-25八年级下·上海崇明·期末）解方程：． 【变式2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）若关于的方程有增根，求的值． 知识点（八）一元二次方程根的判别式 一元二次方程（）根的判别式： ①当，原方程有两个不相等的实数根; ②当，原方程有两个相等的实数根; ③当，原方程没有实数根. 【题型8】利用一元二次方程根的判别式求值证明 【例题8】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不等的实数根； （2）已知方程的一个根为，求代数式的值． 【变式1】（23-24九年级上·天津和平·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【变式2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 知识点（九）一元二次方程根的根与系数关系 一元二次方程（）根与系数关系 ； . 【题型9】利用一元二次方程根与系数关系求值证明 【例题9】（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； 【变式1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 【变式2】（24-25九年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 知识点（十）应用一元二次方程 列方程解一元二次方程的一般步骤： （1）审题：明确问题中的已知量和未知量；（2）设未知数：合理设出未知数；（3）找等量关系：建立数学模型的核心；（4）列方程：将等量关系转化为一元二次方程；（5）解方程：选择合适的方法求解；（6）检验：判断解的合理性；（7）答. 【题型10】应用一元二次方程 【例题10】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元．调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元． （1）当每千克荔枝降价5元时，每天销量可达________千克，每天盈利________元； （2）若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到336元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？ 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ． 二．同步练习​ 基础夯实（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．18 B． C．20 D．22 6．（24-25八年级下·浙江金华·期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级下·全国·假期作业）若方程有解，则的取值范围是 ． 8．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 9．（24-25八年级下·河北保定·开学考试）已知实数满足，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则 ． 11．（24-25八年级下·山东泰安·期末）小明在与Deepseek对话中输入如下的文字，经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是 ． 有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？ 12．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： （1）； （2） 14．（24-25九年级下·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 15．（17-18九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于的方程． （1）求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根； （2）当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？ 16．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． （1）用含x的代数式表示的长． （2）矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 17．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）汤圆是宁波的特色美食，某店在销售某品牌汤圆时发现，该品牌汤圆进价为20元/盒，当销售单价定为33元/盒时，平均每天可售出100盒，为了扩大销售，该店决定降价经调查发现，每盒汤圆降价1元，平均每天可多售出20盒． （1）若降价2元，则每盒汤圆盈利 元，平均每天可售出 盒： （2）若商店该品牌汤圆的日销售利润为1600元，为尽快减少库存，问每盒汤圆销售价定为多少元合适？ 18．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）某大型水果超市销售葡萄，根据市场调查发现，每箱售价（单位：元）与每天销量（单位；箱）之间满足如图所示的函数关系． （1）求与之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围） （2）葡萄的进价是40元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利1540元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？ 巩固提升（20题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·期中）已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 2．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）把方程化成的形式，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 4．（24-25八年级下·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 5．（24-25九年级下·山东东营·阶段练习）若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x之间的关系如图2所示，则的长为（    ）． A． B． C．6 D．8 8．（24-25九年级下·安徽·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，是上一点，交直线于点，且，，点为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若方程有实数解，则m的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ． 11．（24-25八年级下·重庆·期末）已知在正比例函数（）中，y的值随着x的增大而增大，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 12．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为 ． 13．（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 14．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 15．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），并在每个区域开一个宽2米的门，点在线段的延长线上，设的长为米，若要求所围成的饲养场面积为84平方米，则可列方程 ．（不用化简） 16．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，过点A的直线与y轴交于点B．将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，设直线与y轴的负半轴交于点C，当时， ． 三、解答题 17．（23-24八年级下·浙江温州·期中）选择合适的方法解下列方程： （1）． （2）． 18．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求的值； （2）若方程有实数根，求的取值范围． 19．（24-25九年级上·全国·期末）已知，是关于的一元二次方程的两实根， （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 20．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）某商场购进一批服装，进价为250元/件．现售价为500元/件，每天可以售出40件，经市场调查发现每降价25元，每天可以多售出20件． （1）当售价为400元/件时，求当天的销售量； （2）要使每天的利润达到17500元，并使顾客得到更多优惠，问每件服装的售价为多少元？ 直通中考（14题） 一、单选题 1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 3．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 4．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 8．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 9．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 10．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是 （填番号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为 ． 三、解答题 11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 12．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 13．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 14．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． （1）请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； （2）同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 一元二次方程 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）全章知识结构 1 知识点（二）认识一元二次方程 2 【题型1】一元二次方程的定义 2 【题型2】一元二次方程的解（根） 3 知识点（三）一元二次方程的解法——配方法 5 【题型3】用配方法解一元二次方程 5 知识点（四）一元二次方程的解法——公式法 7 【题型4】用公式法解一元二次方程 7 知识点（五）一元二次方程的解法——因式分解法 8 【题型5】用因式分解法一元二次方程 8 知识点（六）用合适的方法解一元二次方程 10 【题型6】运用合适的方法解一元二次方程 10 知识点（七）解可化为一元二次方程的分式方程 12 【题型7】解可化为一元二次方程的分式方程 12 知识点（八）一元二次方程根的判别式 14 【题型8】利用一元二次方程根的判别式求值证明 14 知识点（九）一元二次方程根的根与系数关系 17 【题型9】利用一元二次方程根与系数关系求值证明 17 知识点（十）应用一元二次方程 19 【题型10】应用一元二次方程 19 二．同步练习 21 基础夯实（18题） 21 巩固提升（20题） 31 直通中考（14题） 45 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）全章知识结构 知识点（二）认识一元二次方程 1.一元二次方程定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化成（为常数）的形式,这样的方程叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 3.用二分法确定一元二次方程的近似解:找出初始范围的中间点，判断解在中间点的哪一侧，得到一个新的范围，然后对这个新的范围进行类似操作……直到最终的结果符合实际问题的精确度要求。 【题型1】一元二次方程的定义 【例题1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． （1）若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． （2）若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】（1），方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为；（2）2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 解：（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 【变式1】（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，据此逐项判断即可解答． 解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此求解即可． 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且，则且， ∴， 故答案为：． 【题型2】一元二次方程的解（根） 【例题2】（24-25九年级上·全国·期末）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】23 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 根据a是方程的一个根，可以得到，然后将所求式子化简，再将整体代入化简后的式子计算即可． 解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【变式1】（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 【变式2】（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 知识点（三）一元二次方程的解法——配方法 用配方法解一元二次方程：把一元二次方程（）转化为的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数,当时，两边同时开平方转化为一元一次方程，便可求出它的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 【题型3】用配方法解一元二次方程 【例题3】（24-25九年级下·天津静海·开学考试）解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再由直接开平方法求解； （2）利用配方法求解即可． 解：（1）解： ∴，； （2）解： ∴，． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）用配方法解方程时，则下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．本题中先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 解： 移项得：， 方程两边同时除以得：， 两边同时加上可得：， 用完全平方公式分解因式得： 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·吉林·期末）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 解：， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 知识点（四）一元二次方程的解法——公式法 用公式法解一元二次方程：对于一元二次方程（），当时，它的根是： 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 【题型4】用公式法解一元二次方程 【例题4】（23-24九年级上·西藏拉萨·期中）解方程． （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 解：（1）解：， 整理，得：， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， 解得：，． 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可 解：依题意得：， 整理得：， 解得：（舍去） 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，解一元二次方程，根据题意求出一元二次方程的两根是解决问题的关键．由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理即可得到直角三角形斜边的长． 解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得或， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 知识点（五）一元二次方程的解法——因式分解法 用因式分解法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积的形式，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 【题型5】用因式分解法一元二次方程 【例题5】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 解：（1）解：， ∴， 则 ∴或， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴或， 解得：． 【变式1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理．掌握菱形的性质是解题的关键． 首先解方程得到菱形的两条对角线长度，再利用勾股定理计算边长． 解：， 化简，得， ， 解得或， ∴菱形的两条对角线长度分别为2和4． ∵菱形的对角线互相垂直且平分， ∴边长可由勾股定理计算： 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：； 第2个方程：； 第3个方程：； 第4个方程：； …… 直接写出第n个方程为 ，第n个方程的解为 ． 【答案】 / ， 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先观察给出的方程序列，总结规律写出第n个方程，再用因式分解法解一元二次方程即可． 解：由题意得，第n个方程为， ， ，或， ，， 故答案为：；，． 知识点（六）用合适的方法解一元二次方程 解一元二次方程核心是“降次”：通过配方法、公式法、因式分解法，将一元二次方程转化为一次方程求解。解题时可根据方程特点选择简便方法：如能因式分解优先用因式分解法，形式特殊用直接开平方法，再用公式法或配方法. 【题型6】运用合适的方法解一元二次方程 【例题6】（23-24九年级上·四川成都·期中）用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了直接开平方法、公式法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程 （2）利用公式法解一元二次方程即可． 解：（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ∴， 解得，． 【变式1】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）用适当方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程．根据方程的特征选择恰当方法求解是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 解：（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）用适当方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 解：（1）解：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解：， ， 或， ∴，． 知识点（七）解可化为一元二次方程的分式方程 解可化为一元二次方程的分式方程： 1. 确定：确定最简公分母，去分母转化为整式方程；2. 整理：整理整式方程为标准形式；3. 求解：求解一元二次方程；4. 验根（关键步骤，不可省略）；5. 写出原方程的解. 【题型7】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题7】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 解： 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得， 经检验，都是原方程的解， ∴原方程的解为． 【变式1】（24-25八年级下·上海崇明·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 解： 去分母得：， 去括号得：， 整理得， 解得或， 检验，当时，；当时，， ∴是原方程的解，不是原方程的解． 【变式2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）若关于的方程有增根，求的值． 【答案】的值为或． 【分析】本题主要考查了解方程，分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，又关于的方程有增根，所以或，将方程的增根代入整式方程计算即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解： ， ∵若关于的方程有增根， ∴或， 当时，， ∴； 当时，， 整理得： ∴或； 综上：的值为或． 知识点（八）一元二次方程根的判别式 一元二次方程（）根的判别式： ①当，原方程有两个不相等的实数根; ②当，原方程有两个相等的实数根; ③当，原方程没有实数根. 【题型8】利用一元二次方程根的判别式求值证明 【例题8】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不等的实数根； （2）已知方程的一个根为，求代数式的值． 【答案】（1）证明见分析；（2）5 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及方程根的应用，解题关键是用判别式判断根的情况，将根代入求参数，再化简代数式求值． （1）通过化简方程的判别式得出，根据，证得方程总有两个不等实数根． （2）把代入原方程，得，求出或；再化简代数式为，最后将的两个值分别代入化简式，计算得结果． 解：（1）解：∵关于x的一元二次方程． ∴ ∵， ∴方程总有两个不等的实数根． （2）解∵是方程的一个根， ∴将代入得： ， ， 解得或． 当时，代入得： ． 当时，代入得： ． ∴代数式的值为5． 【变式1】（23-24九年级上·天津和平·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元一次不等式等知识点，解题的关键是掌握根的判式． 利用根的判别式和一元二次方程的定义列出不等式，然后求解即可． 解：根据题意得，， 解得， 又， ∴， ∴且， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1）且；（2）10 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质； （1）利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围； （2）利用等腰三角形的性质，可得出，进而可得出，解之可得出m的值，将其代入原方程，可求出，的值，再利用三角形的周长公式，即可求出结论． 解：（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：且， ∴m的取值范围为且； （2）解：∵等腰的底边，且，恰好是另外两边的边长， ∴， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∵3，3，4可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为． 知识点（九）一元二次方程根的根与系数关系 一元二次方程（）根与系数关系 ； . 【题型9】利用一元二次方程根与系数关系求值证明 【例题9】（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； 解：（1）证明：， ； ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ． 【变式1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 解：是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 【变式2】（24-25九年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系来求m的值． 解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ， 解得， ，是方程的两个实数根， ， 又， ， 即， 解得，或， 又， 的值是. 故答案为： 知识点（十）应用一元二次方程 列方程解一元二次方程的一般步骤： （1）审题：明确问题中的已知量和未知量；（2）设未知数：合理设出未知数；（3）找等量关系：建立数学模型的核心；（4）列方程：将等量关系转化为一元二次方程；（5）解方程：选择合适的方法求解；（6）检验：判断解的合理性；（7）答. 【题型10】应用一元二次方程 【例题10】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元．调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元． （1）当每千克荔枝降价5元时，每天销量可达________千克，每天盈利________元； （2）若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到336元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？ 【答案】（1）30，330；（2）4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意，列出算式求解即可； （2）根据题意，假设应降价元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 解：（1）解：当每千克荔枝降价5元时，销量为（千克）， 每天盈利为：（元） 所以，每天销量可达千克，每天盈利330元， 故答案为：30，330； （2）解：设应降价元，根据题意得， ， 解得或， 为让顾客得到实惠，取， 所以，每千克应降价4元． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，是解题的关键． 根据该县接待游客人次的年平均增长率为x，则2023年五一期间接待游客万人次，则2024年五一期间接待游客万人次，列出方程即可． 解：∵该县接待游客15万人次，年平均增长率为x， ∴2023年增长到人次， 2024年增长到人次， ∵2024年增长至46万人次， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平移的性质，设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为，根据题意列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 解：设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去， ∴， ∴垂钓通道的宽度为， 故答案为：． 二．同步练习​ 基础夯实（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程整理为后，通过因式分解法求解，即可作答． 解：， ， ， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先把1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式． 解：将方程 的常数项移到右边，得： 将其两边都加4得： 将左边写成完全平方形式，右边计算得： 故选A． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 解：A、，则原方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、，则原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、，则原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，则原方程无实数根，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴可以为：， ∴满足要求的方程为：， 故选：A． 5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．18 B． C．20 D．22 【答案】A 【分析】本题主要考查的是一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系式解此题的关键． 根据根与系数的关系看得，由a，b是方程的两个实数根可得，进而可以得解． 解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 则的值为18． 故选：A． 6．（24-25八年级下·浙江金华·期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 解：设垂直于墙的长方形边长为， 由题意得，， 即， 故选：． 二、填空题 7．（24-25九年级下·全国·假期作业）若方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据完全平方数是非负数得到关于的不等式，解不等式即可求解，掌握完全平方数是非负数是解题的关键． 解：∵方程有解， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·河北保定·开学考试）已知实数满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的解法是解题关键．设，则，利用因式分解法解方程可得的值，再根据即可得． 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：2． 10．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键． 解：由、是一元二次方程的两个根， 则，， ∵，， ∴， 解得， 此时一元二次方程为有两个实数根，符合条件. 故答案为：． 11．（24-25八年级下·山东泰安·期末）小明在与Deepseek对话中输入如下的文字，经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是 ． 有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？ 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据题意列出关于x的方程和熟练掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键． 设这个输入的数为x，根据题意可得，整理成一般式后利用因式分解法求解可得． 解：设这个输入的数为x， 根据题意可得， 即， ， 解得：． 故答案为：2． 12．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 【答案】1 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设小道进出口的宽度为，根据平移可得种植花草是一个矩形，根据面积为，即可列出关于x的一元二次方程，整理后解得即可得出结论． 解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， 整理，得：． 解得或34（舍去）， 所以小道进出口的宽度为． 故答案为：1． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： （1）； （2） 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）先把方程右边的部分移到左边，然后提取公因式分解因式，把一元二次方程化成一元一次方程，解方程即可； （2）先把常数项移到等号右边，然后利用配方法求解即可． 解：（1）解：， 移项得， 因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， ∴，． 14．（24-25九年级下·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 解：（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 15．（17-18九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于的方程． （1）求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根； （2）当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？ 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）当时，方程为一元一次方程．当时，方程为一元二次方程，证明出根的判别式即可； （2）由一元二次方程的根与系数关系得到：，然后根据解是整数得到，即可算出m的值． 解：（1）证明：当时，方程为一元二次方程，， 一元二次方程有两个实数根． 当时，方程为，有实数根． 综上，不论取什么实数时，这个方程总有实数根． （2）解：方程有两个整数根，∴方程为一元二次方程，即． 由根与系数关系得到：， 又和为整数，且为正整数， ∴，解之得：， 经检验，此时符合题意． 16．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． （1）用含x的代数式表示的长． （2）矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）米；（2）能；15 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积列出方程． （1）根据题意表示出即可； （2）根据矩形这块菜地的面积为225平方米，列出方程，解方程即可． 解：（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米， ∴米； （2）解：能；根据题意得： ， 解得：，， 当时，， ∵墙长为40米， ∴不符合题意舍去； ∴x的值为15． 17．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）汤圆是宁波的特色美食，某店在销售某品牌汤圆时发现，该品牌汤圆进价为20元/盒，当销售单价定为33元/盒时，平均每天可售出100盒，为了扩大销售，该店决定降价经调查发现，每盒汤圆降价1元，平均每天可多售出20盒． （1）若降价2元，则每盒汤圆盈利 元，平均每天可售出 盒： （2）若商店该品牌汤圆的日销售利润为1600元，为尽快减少库存，问每盒汤圆销售价定为多少元合适？ 【答案】（1）11，140；（2）28元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）直接计算降价后的单盒利润和销量即可． （2）建立利润方程并求解，根据库存要求选择合适解． 解：（1）解：若降价2元，则每盒汤圆盈利：（元） 平均每天可售出：（盒） 故答案为：11；140； （2）设每盒汤圆销售价降价x元：则平均每天可售出盒， 由题意：得． 整理，得， 解得． 为了尽快减少库存． 每盒汤圆销售价应降价5元． 每盒汤圆销售价定为（元）． 答：每盒汤圆销售价定为28元合适． 18．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）某大型水果超市销售葡萄，根据市场调查发现，每箱售价（单位：元）与每天销量（单位；箱）之间满足如图所示的函数关系． （1）求与之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围） （2）葡萄的进价是40元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利1540元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？ 【答案】（1）；（2）54元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用和一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据总利润单个的利润销售量，列出方程，解方程即可． 解：（1）解：设与之间的函数关系是， 根据题意，可得， 解得： 故与之间的函数关系式是． （2）由题意可得， 解得，． 尽量要使顾客要得到实惠，售价低， ． 答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是54元． 巩固提升（20题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·期中）已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根，由题意可知，m是方程的根，因此．将代数式中的用该等式替换，即可化简求值． 解：∵m是方程的根， ∴， ∴． ∴ 故选C． 2．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）把方程化成的形式，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，移项后，两边都配上一次项系数一半的平方，即可求解，掌握配方法解方程的步骤是解题的关键． 解：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用作差法，用完全平方公式，得，结合非负性解答即可． 本题考查了大小比较，完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 解：根据题意，得，， 故 ． ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级下·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行判断．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，无实数根． 解：∵方程中，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 5．（24-25九年级下·山东东营·阶段练习）若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系． 先求出这个方程的解，再根据等腰三角形及三角形的三边关系即可求出周长． 解：解方程得， ∵三角形为等腰三角形， ∴三边长为5，5，2或2，2，5（舍去） ∴周长为， 故选B． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含的代数式表示出，即可得出结论． 解：是关于的一元二次方程， ， 由求根公式，得， ∴或， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴； 故选B． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x之间的关系如图2所示，则的长为（    ）． A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，函数图象，一元二次方程根与系数的关系等．观察函数图象可得，，设，，由勾股定理可得，，进而可得，推出x和y是一元二次方程的两个根，解方程求出y的值，即可求解． 解：四边形是菱形， ，，， 由题意知，， ，， 设，，则，， ， ， x和y是一元二次方程的两个根， 解得，， 由图可得， ， ， 故选D． 8．（24-25九年级下·安徽·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，是上一点，交直线于点，且，，点为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质．过点作交延长线于，可得是等腰直角三角形，即得，设，则，利用勾股定理可得，即得，进而得到，最后根据直角三角形的性质即可求解． 解：如图，过点作交延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，， ， ∴， 整理得， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：． 二、填空题 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若方程有实数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据非负数时，方程有实数解，得到，解答即可． 本题考查了一元二次方程有实数解的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键． 解：方程有实数解， 则， 解得． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理及二次根式的应用，求得方程的两个根是关键．解一元二次方程，求得方程的两根，由勾股定理求得斜边的长． 解：解方程， 得：，， 即：直角三角形的两直角边分别和， 由勾股定理得斜边长为：． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·重庆·期末）已知在正比例函数（）中，y的值随着x的增大而增大，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了正比例函数图像的性质，一元二次方程的根情况，解题的关键是根据题意列出不等式，算出不等式解集，求出整数解，即可解决问题； 解：∵正比例函数（）中，y的值随着x的增大而增大， ∴， ∵于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即； ∴， ∵为整数， ∴可取1，2，3； ∴满足条件的整数的值之和为：， 故答案为：6. 12．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理的应用，先求出方程的解，然后再看看是否符合三角形的三边关系定理，进而确定三角形的第三条边，从而可求三角形的周长． 解：， ， 或， ， ①三角形的三边是5，7，2， ∵， ∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去； ②三角形的三边是5，7，8，此时符合三角形三边关系定理， ∴三角形的周长是， 故答案为：20． 13．（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，即可求解． 解：根据题意设一元二次方程为：， ∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴，即， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是． ∴， 原来的方程是， 故答案为： 14．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 【答案】10 【分析】本题考查了动点问题、勾股定理及解一元二次方程，根据题意用时间准确表示出，的长并找到等量关系是解题的关键．设运动时间为x秒，则，，根据图形知，根据勾股定理列出方程，解出即可． 解：设运动x秒后P、Q两点相距25， 则，， 由题意，得， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 故答案为： 15．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），并在每个区域开一个宽2米的门，点在线段的延长线上，设的长为米，若要求所围成的饲养场面积为84平方米，则可列方程 ．（不用化简） 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设的长为米，则米，再根据长方形面积计算公式列出方程即可． 解：设的长为米，则米， 由题意得，， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，过点A的直线与y轴交于点B．将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，设直线与y轴的负半轴交于点C，当时， ． 【答案】 【分析】过作轴于，过作交于，过作轴于，通过证明得出，，设，表示出，设，利用待定系数法求出直线的解析式，整理得①，结合，再利用勾股定理得到②，联立①②求出的值，即可解答． 解：过作轴于，过作交于，过作轴于， ∴， ∴， ∵将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，直线与y轴的负半轴交于点C， ∴，点必定在y轴的正半轴且在点下方， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵点A的坐标是， ∴， ∴，， ∴， ∴； 设，则直线解析式为， 代入，得， 解得， 整理得：①， ∵，，， ∴， 整理得：②， 得，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数与几何综合、直线的旋转、求一次函数解析式、全等三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，利用45度角构造“一线三垂直”全等三角形是解题的关键． 三、解答题 17．（23-24八年级下·浙江温州·期中）选择合适的方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 解：（1）解：， ， 或， ∴，； （2）解：， ， ， 或， ∴，. 18．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求的值； （2）若方程有实数根，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值． （2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 解：（1）解：把代入得， 解得； （2）解：方程有实数根， ， ． 的取值范围为． 19．（24-25九年级上·全国·期末）已知，是关于的一元二次方程的两实根， （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可求解； （2）根据题意可得，将原式变形得，由此解一元二次方程，最后根据（1）中的取值方法确定值即可． 解：（1）解：∵关于的一元二次方程有两实根， ∴， 解得：； （2）解：根据题意可得：， ∴， 即， 解得：． ∵， ∴舍去， ∴的值为． 20．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）某商场购进一批服装，进价为250元/件．现售价为500元/件，每天可以售出40件，经市场调查发现每降价25元，每天可以多售出20件． （1）当售价为400元/件时，求当天的销售量； （2）要使每天的利润达到17500元，并使顾客得到更多优惠，问每件服装的售价为多少元？ 【答案】（1）120件；（2）375元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）求出降价100元时多销售的服装数，即可求得当天的销售量； （2）设每件服装降价x元，根据：单件的利润乘销售量等于总利润，列出方程并解之即可． 解：（1）解：每件降价（元），， 所以当天的销售量为：（件）； （2）解：设每件服装降价x元，一件的利润为：元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 则每件服装的售价为（元）或（元）， 使顾客得到更多优惠，每件服装的售价为元． 直通中考（14题） 一、单选题 1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 2．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 3．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 4．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 5．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 二、填空题 6．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 8．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 9．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点拨】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是 （填番号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为 ． 【答案】 ③ 【分析】本题考查新定义问题，理解“单位圆点”的定义．是解题的关键．“单位圆点”∶若点满足，则称点P为“单位圆点”． （1）对于函数图象上是否存在“单位圆点”，可联立函数解析式与单位圆方程，根据方程是否有解来判断． （2）对于一次函数，同样联立方程，根据方程有解的条件求出m的取值范围． 解：（1）①联立， 整理得：， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ②联立， 整理得：， 令，则方程变为，即， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ③联立， 整理得：， 则， ∵恒成立， ∴， 解得：， 当时，， 则点满足，即函数的图象上存在“单位圆点”． 故答案为：③ （2）联立， 整理得：， 则， 解得：， 故答案为： 三、解答题 11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 解：， ， ， 或， ∴， 12．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 13．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为；（2）最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 解：（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 14．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． （1）请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； （2）同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 【答案】（1）这两条路与等长，且它们相互垂直；（2）如果另一端点在花园边界上时，能修建成这样的一条直路，理由见分析． 【分析】本题考查主要了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，则，，证明，故有，，又，则，从而求解； （）由（）得，，由勾股定理得出，由，即，得到，则有，然后分另一端点在路段上和另一端点在花园边界上时两种情况分析即可． 解：（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴这两条路与等长，且它们相互垂直； （2）解：能修建一条这样的直路，理由如下： 由（）得，， ∵米，米， ∴米，米，米， ∴， ∴， ∴， 又∵在中有， ∴， ∴， ∴， 如果另一端点在路段上， 则在中，， ∴此种情况不成立； 如果另一端点在花园边界上时， 设，则在中，有， ∴， ∴， ∵， ∴能修建成这样的一条直路． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$