第3讲 等式与不等式 讲义-2026届高三数学一轮复习

第3讲 等式与不等式 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识讲解 一.基本不等式概念：如果，那么，当且仅当时，等号成立 使用前提：一正.二定.三相等。 其中“一正”指正数；“二定”求最值时和或积为定值；“三相等”指满足等号成立的条件 二.基本不等式的变形 1．若,则或 2．若,则；若,则 3．基本不等式链： 4．对勾函数图象及性质 ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 三.利用基本不等式求最值 1.直接法-不等式链法：条件和问题间存在基本不等式的关系．但要注意若变量的项是负数，则先提取负号 2.配凑法-凑分母：通过添项.拆项.变系数等凑成对勾函数 3、 分子分母同除以一个数 4、 “1”的妙用-乘“1”法 已知x+y=t(t为常数),求的最值，先将转化为 5.分式分离法：分离常数法将分式分解为对勾函数；换元法将分母转换为单项式进行分离常数 6.消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题． 四、不等式恒成立、能成立问题 1．一元二次不等式恒成立、能成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 2．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； (2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min； 若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max； 考点一.真题 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【详解】即为即，故，故解集为，故选：C. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A,当时，，故A错误；对于BD，取，此时，，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 3．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值.故答案为：4 4．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 【详解】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得，当时，原不等式可化为，即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为. 5．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，C错，选B. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）若满足约束条件，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】实数满足，作出可行域如图： 由可得，即的几何意义为的截距的， 则该直线截距取最大值时，有最小值，此时直线过点， 联立，解得，即，则.故选：D. 7．（2023·全国甲卷·高考真题）若x，y满足约束条件，设的最大值为 ． 【详解】作出可行域，如图，  由图可知，当目标函数过点时，有最大值，由可得，即,所以.故答案为：15 8．（2023·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件，则的最大值为 . 【详解】作出可行域如下图所示：，移项得，联立有，解得， 设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大， 代入得，   9．（2022·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件则的最大值是（    ） A． B．4 C．8 D．12 【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数为，上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大， 所以.故选：C. 10．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是 . 【详解】设，则，解得， 所以，，因此，的最小值是.故答案为：. 11．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单增，所以 ，即 ，又因为 ，所以.选A. 12．（2022·新高考Ⅱ卷·多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足，但是不成立，所以D错误．选BC． 13．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C． 14．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C． 考点二.直接法 1.已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】因为，所以（当且仅当，即时取等号）. 所以的最小值为.故选：C 2.已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（ ） A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 【解析】，，且，（1）， 当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：． 3.若，，则的最小值为______． 【简析】 4.若，，且，则的最小值是________ 【详解】，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 5.已知，则的最小值是 ． 【解析】由题意得，解得， 等号成立当且仅当，所以的最小值是16. 6.已知，则的最大值为 ． 【解析】，由不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 7.已知，，且，则的最小值是________ 【详解】由于，所以，当且仅当时等号成立 8.函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【解析】，，，当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最大值为，故选：B. 9.已知正数满足，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【解析】因为正数满足，所以，当且仅当即时，等号成立.故选：A 10.已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 【详解】a，b都是正数，故， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3 11.（2025·河北·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】， ，当且仅当时等号成立，故选：D. 考点三.配凑法：凑分母 1.已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【解析】因为，所以，所以, 当且仅当，即时，取得等号，故选:C. 2.当时，（ ） A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值 【解析】当时，，， 所以，当且仅当即时等号成立，所以有最大值1，没有最小值，故选：A. 3.已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 【解答过程】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0，4（x﹣3）12≥12+224， 当且仅当4x﹣12时，取得最小值24． 4.若，则的最小值为 . 【解析】由，得，所以， 当且仅当即时等号成立. 5.函数（）的最小值为 ． 【解析】因为，所以，所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 6.函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【解析】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立，故选:D 7.已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 【解析】因为， 当且仅当即时取等号；故最大值为，故选：D. 8.已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【解析】，当且仅当，即取得等号，满足题意.故选：B. 9.已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【解析】因为，，，则，，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是.故选：A. 10.（2025·辽宁·模拟）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解答过程】由，得，又， 当且仅当，即时等号成立.故选：A. 考点四.分式分离法：凑分母 1.若，则函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 【解析】因为，所以，.当且仅当，即时等号成立，所以函数有最大值.故选：D. 2.当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【解析】因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最小值为.故选：C 3.函数（）的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 【解析】，当且仅当，即时等号成立，故选：C 4.的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；故选：C 5.已知，则的最小值是______，此时a=______． 【详解】显然，，则，， 当且仅当，即时，等号成立.所以，的最小值是4此时. 6.已知，则的最小值为 . 【解析】因为，所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 7.已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【详解】因为，，，所以，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为6，故选：B． 8.的最小值是______. 【详解】 9.已知，则的最小值是______，此时a=______． 【详解】显然，，则，， 当且仅当，即时，等号成立.所以，的最小值是2，此时. 10.已知，则函数的最大值为（    ） A． B．7 C． D． 【解析】因为，所以，设，则， ，当且仅当即相当于时取等号，所以函数的最大值为是.故选：A 考点五.乘1法或1的妙用 1.已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【解析】因为，且，所以. 当且仅当时，即，有最小值.故选：A. 2.已知正实数满足，则的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 【解析】为正实数，方程两边同时除以得， ，当且仅当即时等号成立， 故 的最小值为.故选：. 3.已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【解析】由得，其中，， 所以， 当且仅当，即，则，时，等号成立，故的最小值为9.选：D 4.已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【解析】因为，可得，且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1.故选：B. 5.已知，且，则的最小值是（    ） A． B．3 C．4 D．9 【解析】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即时取等号.故选：B. 6.已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【详解】由得，于是，又，，所以，因此，当且仅当，即时，等号成立.故.故选：B. 7.若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为.故选：A 8.已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号.故选：D 9.设为正实数，且，则的最小值为 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 10.利用不等式求最值 （1）已知，且，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 当且仅当，时等号成立，即时等号成立，所以的最小值为. （2）因为，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 11.若，，且，则有最小是________ 【详解】，当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值5 12.已知，，，则的最小值为 ． 【详解】依题意．当且仅当时等号成立． 13.正实数，满足，则的最小值是________ 【解析】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立.故的最小值是 14.已知实数x，满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．8 【详解】由条件可得 ． 当且仅当，即时等号成立 15.已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【详解】由，且，可得.所以. 又因为，当且仅当，即时取等号，所以. 16.若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【详解】因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，故选：D 17．（2025·黑龙江·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故选：C. 18.（2025·福建·二模）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，，则，，由题意可知，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值是.故选：B. 19.（24-25重庆）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】 ，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为.故选：D. 考点六.消元法 1.负实数.满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为负实数.满足，则，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为.故选：A. 2.已知实数，，满足（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】根据已知，可得，则， 因为，所以，所以上式，当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围是.故选：D 3.已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【解析】由可得，所以， 因为正实数a，b满足，所以，故， 当且仅当，即，故选：D 4.已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【解析】由，，，得，故，故；所以，当且仅当，结合，即时等号成立．即的最小值为2，故选：A 5.若，则的最小值为______. 【详解】因为，所以． 因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，则. 6.已知正数.满足，求 的最小值； 【详解】因为，，所以，， 所以 ，当且仅当，且，即时，等号成立， 故的最小值为； 7.已知，则的最小值是______. 【简析】记，则，则有 8.若，，，，则的最小值为 ． 【详解】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号，故的最小值为 9.已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 【解析】因为，所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为，故选：C. 10.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为正实数x，y满足，则，则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.故选：A. 11.（2025·河北·模拟）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】根据题意，，可得，则， 设，则，原式为，当且仅当时等号成立，故选：C. 12．（2025·山东·模拟）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【解答过程】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，故选：D. 考点七.基本不等式链法 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数 1.【多选】若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 对于AB由可变形为，， 解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错，B正； 对于C由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确。BC． 2.若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，由，可得，又，所以，即，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，由，可得，即，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，由，可得，所以可得，即，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，易知， 即，当且仅当时等号成立，故D错误．故选：D． 3【多选】若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【详解】解：对A选项：，，，，即（当且仅当时等号成立），故A选项正确；对B选项：，而成立， 成立，故B选项正确；对C选项：， （当且仅当时等号成立），故C选项正确； 对D选项：，（当且仅当时等号成立）， ，故D选项错误.故选：ABC. 4．（2025·山东·二模）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C．4 D．16 【详解】， 当且仅当，即时取等号，故选：B 5．（2025·福建·模拟）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【解答过程】对于A，，当且仅当，等号成立，则，故A正确； 对于B，由，则，由，则， 所以，故B错误； 对于C，，当且仅当，等号成立，故C正确； 对于D，由B易知，当且仅当，等号成立，则，故D正确.故选：ACD. 考点八.恒成立、能成立、不等式解集等问题 1.若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【详解】因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故.故答案为：. 2.若正实数.满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为正实数.满足，即，所以， 所以，当且仅当，即，时取等号， 因为正实数.满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B． 3.（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 【详解】解：对于A，恒成立，则，都有，A选项正确；对于B，当时，， （当且仅当时取等号）， ，，使得，B选项正确； 对于，当时，，C选项错误； 对于 D，，当且仅当 时取等号，故当时，的最小值不是4，D选项错误 4.（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确；对于B，∵，∴，， 所以，故B正确；对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，∵， 即时，等号成立，所以的最小值是，故D错误． 5.（多选）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，，当时，，不符合要求，错误； 对于B，，当且仅当时取等号， 由得显然不成立，所以等号取不到， 即的最小值不是2，错误； 对于C，因为，所以，， 当且仅当时取等号，最小值是2，正确； 对于D，，易知，， 则， 当即或时，有最小值4，即有最小值2，故D正确． 6.（多选）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 【详解】解：对于A，由m，，得，又， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 所以mn最大值为，选项A正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，选项B错误； 对于C，由，得，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，又m，，所以，选项C错误； 对于D，由m，，，得， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项D正确． 7.（多选）已知，，且，下列结论中正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是8 D．的最小值是 【详解】，且， 对于A，由，解得，当且仅当时等号成立， 则的最大值为，所以A正确； 对于B，由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以C错误； 对于D，由， 得，当且仅当时等号成立，则的最小值是，所以D正确. 8.（2025·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，，且，由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确；由基本不等式知，则，即（当且仅当时取等号），B正确； 由题得，由已知，故，所以， 故，C正确；由基本不等式可得， 即（当且仅当时取等号），D错误.故选：D. 9．（2025·北京·三模）不等式的解集为 . 【详解】由得，即，整理得：，即， 即，解得或，故不等式的解集为. 10.（2024·浙江·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解答过程】由题意可得，需满足是的一个根， 即，且，所以，， 当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故选：A. 11.（2025·河北·模拟）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，得，， 所以．故选：B． 12.（2024·江苏·模拟）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【解答过程】由，得，又，所以， 所以，即，所以的最大值为27.故选：A. 13.已知，，求的取值范围. 设，则，解得，， 所以，因为，，所以，，所以，即，所以的取值范围为. 14.（24-25福建）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误；故选：C. 15（2025·甘肃·模拟）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为的对称轴为，，， 所以由一元二次函数的图像和性质的得，所以，故选：D. 16.（2025·福建·模拟）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【解答过程】由两个正实数满足，得， 则，当且仅当，即时取等号，又由不等式有解，可得，解得或， 所以实数的取值范围为或.故选：B. $$ 第3讲 等式与不等式 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识讲解 一.基本不等式概念：如果，那么，当且仅当时，等号成立 使用前提：一正.二定.三相等。 其中“一正”指正数；“二定”求最值时和或积为定值；“三相等”指满足等号成立的条件 二.基本不等式的变形 1．若,则或 2．若,则；若,则 3．基本不等式链： 4．对勾函数图象及性质 ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 三.利用基本不等式求最值 1.直接法-不等式链法：条件和问题间存在基本不等式的关系．但要注意若变量的项是负数，则先提取负号 2.配凑法-凑分母：通过添项.拆项.变系数等凑成对勾函数 3、 分子分母同除以一个数 4、 “1”的妙用-乘“1”法 已知x+y=t(t为常数),求的最值，先将转化为 5.分式分离法：分离常数法将分式分解为对勾函数；换元法将分母转换为单项式进行分离常数 6.消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题． 四、不等式恒成立、能成立问题 1．一元二次不等式恒成立、能成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 2．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； (2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min； 若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max； 考点一.真题 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 4．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 5．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）若满足约束条件，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）若x，y满足约束条件，设的最大值为 ． 8．（2023·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件，则的最大值为 . 9．（2022·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件则的最大值是（    ） A． B．4 C．8 D．12 10．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是 . 11．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（2022·新高考Ⅱ卷·多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 13．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 14．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 考点二.直接法 1.已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（ ） A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 3.若，，则的最小值为______． 4.若，，且，则的最小值是________ 5.已知，则的最小值是 ． 6.已知，则的最大值为 ． 7.已知，，且，则的最小值是________ 8.函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 9.已知正数满足，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 10.已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 11.（2025·河北·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点三.配凑法：凑分母 1.已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 2.当时，（ ） A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值 3.已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 4.若，则的最小值为 . 5.函数（）的最小值为 ． 6.函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 7.已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 8.已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 9.已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 10.（2025·辽宁·模拟）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 考点四.分式分离法：凑分母 1.若，则函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 2.当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 3.函数（）的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 4.的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 5.已知，则的最小值是______，此时a=______． 6.已知，则的最小值为 . 7.已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8.的最小值是______. 9.已知，则的最小值是______，此时a=______． 10.已知，则函数的最大值为（    ） A． B．7 C． D． 考点五.乘1法或1的妙用 1.已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 2.已知正实数满足，则的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 3.已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 4.已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 5.已知，且，则的最小值是（    ） A． B．3 C．4 D．9 6.已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 7.若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8.已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 9.设为正实数，且，则的最小值为 10.利用不等式求最值 （1）已知，且，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 11.若，，且，则有最小是________ 12.已知，，，则的最小值为 ． 13.正实数，满足，则的最小值是________ 14.已知实数x，满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．8 15.已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 16.若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 17．（2025·黑龙江·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 18.（2025·福建·二模）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19.（24-25重庆）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点六.消元法 1.负实数.满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.已知实数，，满足（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 4.已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 5.若，则的最小值为______. 6.已知正数.满足，求 的最小值； 7.已知，则的最小值是______. 8.若，，，，则的最小值为 ． 9.已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 10.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11.（2025·河北·模拟）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·山东·模拟）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 考点七.基本不等式链法 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数 1.【多选】若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 2.若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3【多选】若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东·二模）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C．4 D．16 5．（2025·福建·模拟）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 考点八.恒成立、能成立、不等式解集等问题 1.若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 2.若正实数.满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 4.（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 5.（多选）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 6.（多选）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 7.（多选）已知，，且，下列结论中正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是8 D．的最小值是 8.（2025·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·北京·三模）不等式的解集为 . 10.（2024·浙江·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 11.（2025·河北·模拟）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 12.（2024·江苏·模拟）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 13.已知，，求的取值范围. 14.（24-25福建）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 15（2025·甘肃·模拟）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16.（2025·福建·模拟）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 $$