22.3 正多边形的有关计算 同步课件2024-2025学年北京版数学九年级上册

22.3 正多边形的有关计算 问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？ 特点： 各边相等，各内角都相等的多边形. 思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢? 正多边形都是轴对称图形吗？一个正n边形共有几条条对称轴？ 正三边形 3条对称轴 正四边形 4条对称轴 正五边形 5条对称轴 正六边形 6条对称轴 下列正多边形是轴对称图形么？如果是轴对称图形对称轴分别有几条？ 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴。 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心。 下列正多边形是中心对称图形么？你有什么发现？ 问题2 你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆;并且随着边数的增加，正多边形的形状逐渐趋近于一个圆形。 把一个圆分成相等的一些弧，连接起来，你可以得到什么？ 我们以圆内接正五边形为例证明. 证明 ∵ AB=BC=CD=DE=EA （ （ （ （ （ ∴ AB=BC=CD=DE=EA , BCE=CDA=3AB （ （ （ ∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上 ∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCD的外接圆. 感悟新知 正多边形和圆的关系 O C D A B 半径r 圆心角 弦心距 弦a 圆心 中心角 A B C D E F O 半径r 边心距 中心 类比学习 圆内接正多边形 外接圆的圆心 正多边形的中心 外接圆的半径 正多边形的半径 每一条边所对的圆心角 正多边形的中心角 弦心距 正多边形的边心距 边a 感悟新知 正n边形的一个内角的度数 相等 正n边形的一个中心角的度数 正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形. 感悟新知 例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2). o 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). 在Rt△OPC中,OC=4, PC= 利用勾股定理,可得边心距 亭子地基的面积 中心 半径 中心角 边心距 二、正多边形中的元素 正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心. 正多边形的半径: 外接圆的半径 正多边形的中心角: 正多边形的每一条边所对的外接圆的圆心角,且它们都相等. 正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离 或内切圆的半径. 问题1 正n边形的中心角怎么计算？ C D O B E F A P 问题2 正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？ a R r 问题3 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？ 其中C为正n边形的周长. 想一想 问题4 正n边形的每一个内角怎么计算？ 想一想 C D O B E F A P 正n边形的每一个内角都相等， 为 问题5 正n边形的每一个外角怎么计算？ 正多边形的外角=中心角= 1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形. 思考 在⊙O中，AB=BC=CD=DE=EA,那么弦AB、BC、CD、DE、EA 之间有什么关系？∠A、∠B、∠C、∠D、∠E之间又有什么关系？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 正多边形和圆的关系： 把圆分成n（n>2）等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形 获得新知 你能尺规作出正方形、正六边形、正十二边形吗？ O R 三、利用圆作正多边形 四、正多边形中的计算 2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的 边数是 . 1.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O， 则∠ADE的度数是 （ ） A．60° B．45° C． 36° D． 30° · A B C D E O C 3 正多边形 正多边形的定义与对称性 正多边形的有 关概念及性质 正多边形的 有关计算 ①正多边形的内角和 ②中心角 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 课堂总结 牛刀小试 1.下列圆的内接正多边形中，一条边所对 的圆心角最大的图形是(　　) A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 2.正六边形ABCDEF内接于⊙O， 正六边形的周长是12，则⊙O的半径是(　　) 3.如图所示，AD是正五边形 ABCDE的一条对角线，则∠BAD=　　.  课堂延伸 1. 如图所示,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上, 则∠APB等于 (　　) A.30° B.45° C.55° D.60° 2.如图所示,△ABC内接于☉O，AO=2， BC=2 ,则∠BAC的度数为　　　　.  3.若正方形的外接圆半径为2，则其 内切圆半径为(　　) A B C O 正多边形边数 内角 中心角 半径R 边长a 边心距r 周长 面积 3 60° 2 1 4 90° 90° 2 8 16 6 120° 60° 2 2 12 完成下表中有关正多边形的计算： 作业 $$