22.3 正多边形与圆（正多边形的有关计算 题型提分练）（同步练习）数学北京版九年级上册

22.3正多边形与圆 同步练习 题型 正多边形与圆 1．如图，正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于⊙O，连接OC，则∠ACO+∠ABE＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BF、OC、OD，则∠BFE﹣∠COD＝（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM为（　　） A．4 B． C． D． 4．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为120°，则这个内接正多边形的边长为（　　） A．1 B．2 C． D． 5．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠OAE的度数为（　　） A．18° B．30° C．32° D．60° 6．如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（　　） A．4 B． C．6 D． 7．如图，点A，B，C，D，E，F是圆O的六等分点，若△OBD与△CBD的周长分别为a，b，则下列说法正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b的大小无法比较 8．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，若P为上的一点，则∠APD的度数为（　　） A．36° B．60° C．72° D．108° 9．如图，一个正六边形的边心距为4，则该正六边形的外接圆半径是 　 　． 10．将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙的按如图所示摆放，O是中间正六边形的中心． （1）∠α＝　 　°； （2）已知点M在边AB上，则点M到线段CD的最大值 　 　． 11．正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于　 　度． 12．如图，小明计划用一张正方形的彩色皮革，剪出一个正六边形的杯垫，正方形的边长为12cm，则裁出的矩形ADFE的边AE的长为 　 　cm． 13．如果正多边形的边数是n（n≥3），它的中心角是α°，那么α关于n的函数解析式及其定义域为 　 　． 14．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为 　 　． 15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE． （1）求证：AE＝DE； （2）若CE＝1，求四边形AECD的面积． 16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D，E重合），求∠CPD的余角的度数． 17．李师傅要为某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多12°，请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度数和它的边数． 18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，过O点作边AD的垂线交于E点，连接BE，求∠ABE的度数． 1．下列命题：①各角相等的多边形是正多边形；②任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④在正多边形中，中心角与正多边形的每个外角相等．其中，真命题的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，正八边形内接于⊙O，连接OA，OB，则∠AOB的度数为（　　） A．55° B．50° C．45° D．40° 3．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数等于（　　） A．45° B．60° C．35° D．55° 4．填写表格： 正多边形边数 3 4 5 6 正多边形内角的度数 60° 90° 　 　 120° 5．“剪纸”是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．如图是一个正六边形剪纸，将其放在平面直角坐标系中，边OE在x轴上，若点E的坐标为（4，0），则点A的坐标为 　 　． 6．若一个正多边形的一个内角是140°，则这个多边形的边数为 　 　． 7．如图，在正六边形ABCDEF中，以AD为对角线作正方形APDQ，AP、DP与BC分别交于M、N． （1）∠BAM＝　 　°； （2）若AB＝4，求MN的长．（参考数据：1.73，结果精确到0.1，可以直接利用（1）的结论） 8．如图，正五边形的边长为2，连结对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N． （1）求∠AME的度数及AN的长． （2）求证：AN是AM与AD的比例中项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3正多边形与圆 同步练习 题型 正多边形与圆 1．如图，正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于⊙O，连接OC，则∠ACO+∠ABE＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】先求解，，再进一步结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接AO， ∵正三角形ABC， ∴， ∵OA＝OC， ∴， ∵正六边形ADBECF， ∴，DA＝DB， ∴， ∴∠ABE＝120°﹣30°＝90°， ∴∠ACO+∠ABE＝90°+30°＝120°， 故选：D． 2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BF、OC、OD，则∠BFE﹣∠COD＝（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【分析】首先利用正六边形的性质可以分别求出内角和中心角，然后利用等腰三角形的性质求出∠AFE的度数即可求解． 【详解】解：∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴AB＝AF，∠A＝∠AFE120°，∠COD60°， ∴∠ABF＝∠AFB（180°﹣120°）＝30°， ∴∠BFE＝∠AFE﹣∠AFB＝120°﹣30°＝90°， ∴∠BFE﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°． 故选：D． 3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出BC＝OB＝2，由垂径定理求出BM，再由勾股定理求出OM即可． 【详解】解：连接OB、OC，如图所示： 则∠BOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝6， ∵OM⊥BC， ∴BM＝CMBC＝3， ∴OM3， 故选：B． 4．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为120°，则这个内接正多边形的边长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】通过内角求出外角，利用多边形外角和360度，用360°除以外角度数即可求出这个正多边形的边数，连接OA，已知OA＝2，根据等边三角形性质解答即可． 【详解】解：∵正多边形的每个内角都相等，且为120°， ∴其一个外角度数为180°﹣120°＝60°， 则这个正多边形的边数为360°÷60°＝6， ∴三角形AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝2， 故选：B． 5．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠OAE的度数为（　　） A．18° B．30° C．32° D．60° 【分析】根据正六边形的性质可得，∠AOF＝∠EOF＝60°，从而求出∠AOE＝120°，再利用三角形的内角和求解∠OAE即可． 【详解】解：连接OF， ∵点O为正六边形ABCDEF的中心， ∴∠AOF＝∠EOF＝60°， ∴∠AOE＝120°， 在等腰△AOE中， ∠OAE（180°﹣120°）＝30°． 故选：B． 6．如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（　　） A．4 B． C．6 D． 【分析】根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：设半径为r，由题意得，2πr＝8π， 解得r＝4， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠AOB60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是正三角形， ∴弦AB所对应的弦心距为OA＝2， ∴S△AOB4×24． 故选：B． 7．如图，点A，B，C，D，E，F是圆O的六等分点，若△OBD与△CBD的周长分别为a，b，则下列说法正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b的大小无法比较 【分析】根据圆内接正六边形的性质以及正三角形的判定和性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接OC， ∵点A，B，C，D，E，F是圆O的六等分点， ∴∠BOC＝∠COD60°， 又∵OB＝OC＝OD， ∴△BOC、△COD是正三角形， ∴OB＝OC＝BC＝CD＝OD， ∴OB+OD+BD＝BC+CD+BD， 即△OBD的周长a与△CBD的周长b相等， ∴a＝b， 故选：B． 8．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，若P为上的一点，则∠APD的度数为（　　） A．36° B．60° C．72° D．108° 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接OA，OD，OE， ∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， ∴∠AOE＝∠DOE72°， ∴∠AOD＝2∠AOE＝144°， ∴∠APD∠AOD＝72°． 故选：C． 9．如图，一个正六边形的边心距为4，则该正六边形的外接圆半径是 　　． 【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系得出，即可求解． 【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴， ∵OA＝OB， ∴△AOB是正三角形， ∴OA＝OB＝AB， 在Rt△AOM中，∠AOM＝30°， ∴， ∴ 故答案为：． 10．将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙的按如图所示摆放，O是中间正六边形的中心． （1）∠α＝　30　°； （2）已知点M在边AB上，则点M到线段CD的最大值 　　． 【分析】（1）由题意知，正六边形的一个内角为，则，计算求解即可； （2）如图，连接BF交CD于G，连接AE交BF于H，则BF⊥CD，当M、B重合时，点M到线段CD的值最大，为BG，证明△ABH是等边三角形，则BH＝AB＝1，BN＝2，由∠α＝30°，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：（1）由题意知，正六边形的一个内角为， ∴， 故答案为：30； （2）如图，连接BF交CD于G，连接AE交BF于H，则BF⊥CD， ∴当M、B重合时，点M到线段CD的值最大，为BG， ∵正六边形， ∴∠ABH＝∠BAH＝60°， ∴△ABH是等边三角形，BH＝AB＝1， ∴BN＝2， ∵∠α＝30°， ∴， ∴， 故答案为：． 11．正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于　144　度． 【分析】根据正多边形的中心角为36°，求出正多边形的边数，再求出其每个外角，即可根据内角和外角的和为180度求出每个内角的度数． 【详解】解：由于正多边形的中心角等于36°，360÷36°＝10， 所以正多边形为正10边形， 又因为其外角和为360°， 所以其外角为360÷10＝36°， 其每个内角为180°﹣36°＝144°． 故答案为144． 12．如图，小明计划用一张正方形的彩色皮革，剪出一个正六边形的杯垫，正方形的边长为12cm，则裁出的矩形ADFE的边AE的长为 　6　cm． 【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，∵MNPQST是正六边形， ∴MN＝NP＝PQ＝QS＝ST＝TM，∠NMT120°， ∴∠AMT＝180°﹣120°＝60°， 在Rt△AMT中，∠ATM＝90°﹣60°＝30°， ∴AMMTMN， 同理DNMN， ∴AMAD12＝3（cm）， 在Rt△AMT中，∠ATM＝30°，AM＝3cm， ∴ATAM＝3cm， 同理TE＝AT＝3cm， ∴AE＝2AT＝6cm． 故答案为：6． 13．如果正多边形的边数是n（n≥3），它的中心角是α°，那么α关于n的函数解析式及其定义域为 　　． 【分析】根据一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到边数． 【详解】解：由题意可得：边数为360°÷α＝n， 则． 故答案为：． 14．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为 　九　． 【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB＝40°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB， ∵∠ADB＝20°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝40°， 而360°÷40°＝9， ∴这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE． （1）求证：AE＝DE； （2）若CE＝1，求四边形AECD的面积． 【分析】（1）欲证明AE＝DE，只要证明． （2）连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．证明△ADE≌△CDF（AAS），推出AE＝CF，推出S△ADE＝S△CDF，推出S四边形AECD＝S△DEF，再利用等腰三角形的性质构建方程求出DE，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴，即， ∴AE＝DE． （2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC， ∵∠EDF＝90°， ∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°， ∴DE＝DF， ∵∠AED∠AOD＝45°， ∴∠AED＝∠F＝45°， ∵∠ADC＝∠EDF＝90°， ∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴S△ADE＝S△CDF， ∴S四边形AECD＝S△DEF， ∵EFDE＝EC+DE，EC＝1， ∴1+DEDE， ∴DE1， ∴S四边形AECD＝S△DEFDE2． 16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D，E重合），求∠CPD的余角的度数． 【分析】连接OC，OD，先由正五边形的性质求出∠COD的度数，再根据圆周角定理求出∠CPD的度数，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接OC，OD． ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠COD72°， ∴∠CPD∠COD＝36°， ∴∠CPD的余角的度数为90°﹣36°＝54°． 17．李师傅要为某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多12°，请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度数和它的边数． 【分析】设这个多边形的一个内角的度数是x°，则相邻的外角度数是x°+12°，得出方程xx+12＝180，求出x，再根据多边形的外角和等于360°求出边数即可． 【详解】解：设这个多边形的一个内角的度数是x°，则相邻的外角度数是x°+12°， 则xx+12＝180， 解得：x＝140， 这个正多边形的一个内角度数是140°， 180°﹣140°＝40°， 所以这个正多边形的边数是9． 18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，过O点作边AD的垂线交于E点，连接BE，求∠ABE的度数． 【分析】求出圆内接正方形的中心角度数∠AOD，再根据垂径定理求出∠AOE，由圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图，连接OA、OD， ∵四边形ABCD是圆内接正方形， ∴∠AOD90°， ∵OE⊥AD， ∴， ∴∠AOE∠AOD90°＝45°， ∴∠ABE∠AOE45°＝22.5°． 1．下列命题：①各角相等的多边形是正多边形；②任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④在正多边形中，中心角与正多边形的每个外角相等．其中，真命题的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据正多边形的性质，以及正多边形与圆的关系即可作出判断． 【详解】解：①各角和各边都相等的多边形是正多边形，原命题是假命题； ②任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆，是真命题； ③正六边形的外接圆半径与边长相等，是真命题； ④在正多边形中，中心角与正多边形的每个外角相等，是真命题； 故选：B． 2．如图，正八边形内接于⊙O，连接OA，OB，则∠AOB的度数为（　　） A．55° B．50° C．45° D．40° 【分析】根据正n边形中心角公式即可得出答案． 【详解】解：∵正八边形内接于⊙O， ∴∠AOB， 故选：C． 3．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数等于（　　） A．45° B．60° C．35° D．55° 【分析】根据正多边形与圆的有关计算求出∠BOC，再根据圆周角定理求出答案即可． 【详解】解：如图，连接OB、OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠BOC90°， ∴∠BPC45°． 故选：A． 4．填写表格： 正多边形边数 3 4 5 6 正多边形内角的度数 60° 90° 　108°　 120° 【分析】根据正五边形的性质以及内角和的计算方法进行计算即可． 【详解】解：正五边形的内角的度数为108°， 故答案为：108°． 5．“剪纸”是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．如图是一个正六边形剪纸，将其放在平面直角坐标系中，边OE在x轴上，若点E的坐标为（4，0），则点A的坐标为 　（﹣2，2）　． 【分析】作AH⊥x轴于H，在Rt△AOH中分别 求出OH和AH即可． 【详解】解：作AH⊥x轴于H，如图， ∵E的坐标为（4，0）， ∴OE＝4， ∵多边形为正六边形， ∴OA＝OE＝4，∠AOE＝120°， ∴∠AOH＝60°， ∴OHOA＝2，AH＝2， ∴A（﹣2，2）． 故答案为：（﹣2，2）． 6．若一个正多边形的一个内角是140°，则这个多边形的边数为 　九　． 【分析】由多边形的每一个内角都是140°先求得它的每一个外角是40°，然后根据正多边形的每个内角的度数×边数＝360°求解即可． 【详解】解：180°﹣140°＝40°， 360°÷40°＝9． 故答案为：九． 7．如图，在正六边形ABCDEF中，以AD为对角线作正方形APDQ，AP、DP与BC分别交于M、N． （1）∠BAM＝　15　°； （2）若AB＝4，求MN的长．（参考数据：1.73，结果精确到0.1，可以直接利用（1）的结论） 【分析】（1）利用正多边形的性质分别求出∠DAB，∠DAP即可． （2）连接BE交AD于点O，连接OP交BC于H．想办法求出OP，OH，再求出PH，利用等腰直角三角形的性质可得结论． 【详解】解：（1）在正六边形ABCDEF中，∠DAB＝60°， 在正方形AQDP中，∠DAP＝45°， ∴∠BAM＝∠DAB﹣∠DAP＝60°﹣45°＝15°， 故答案为：15． （2）连接BE交AD于点O，连接OP交BC于H． 在正六边形ABCDEF 中，CD＝BC＝AB＝4，∠BAF＝∠ABC＝∠C＝∠CDE＝120°， AO、BO 平分∠BAF、∠ABC，OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO＝∠CBO120°＝60°， ∴△ABO 是等边三角形， ∴BC∥AD，AO＝BO＝AB＝4， ∴AD＝2AO＝8， 在正方形APDQ 中，AP＝DP，∠APD＝90°， ∵AO＝DO， ∴POAD＝4，PO⊥AD，∠APO＝∠DPO∠APD＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠MHP＝∠AOP＝90°， ∴∠BHO＝90°， ∴sin∠OBH， ∵∠OBH＝60°，BO＝4， ∴OH＝4×sin60°＝2， ∵PH＝MH＝OP﹣OH＝4﹣2， ∴MN＝2MH＝8﹣41.1． 8．如图，正五边形的边长为2，连结对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N． （1）求∠AME的度数及AN的长． （2）求证：AN是AM与AD的比例中项． 【分析】（1）根据正五边形的性质得到∠ABE＝∠AEB＝∠EAD＝36°，根据三角形的内角和即可得到结论；由于∠AEN＝108°﹣36°＝72°，∠ANE＝36°+36°＝72°，得到∠AEN＝∠ANE，根据等腰三角形的判定定理得到AE＝AN； （2）同（1）同理DE＝DM，根据相似三角形的性质对应边成比例，等量代换得到AN2＝AM•AD． 【详解】（1）解：∵∠BAE＝∠AED＝108°， ∵AB＝AE＝DE， ∴∠ABE＝∠AEB＝∠EAD＝36°， ∴∠AME＝180°﹣∠EAM﹣∠AEM＝108°； ∵∠AEN＝108°﹣36°＝72°，∠ANE＝36°+36°＝72°， ∴∠AEN＝∠ANE， ∴AE＝AN＝2； （2）证明：同（1）同理DE＝DM， ∴AE＝DM， ∵∠EAD＝∠AEM＝∠ADE＝36°， ∴△AEM∽△ADE， ∴， ∴AE2＝AM•AD； ∴AN2＝AM•AD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$