23.2.3 关于原点对称的点的坐标 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

23.2.3 关于原点对称的点的坐标 暑期预习讲义 思维导图 学习目标 1. 理解关于原点对称的点的坐标特征 2. 掌握求已知点关于原点对称点坐标的方法 3. 能够判断两点是否关于原点对称 4. 理解原点对称与中心对称的关系 5. 能够运用原点对称的性质解决坐标系中的简单问题 知识点梳理 1. 基本概念 · 原点对称定义：在平面直角坐标系中，两个点关于坐标原点O对称 · 对称特征：两点到原点的距离相等，且位于原点两侧 2. 坐标特征 · 设点P(x,y)，则其关于原点的对称点P'的坐标为(-x,-y) · 横坐标互为相反数 · 纵坐标互为相反数 · 原点O(0,0)的对称点是其本身 3. 性质特点 · 连接对称点的线段经过原点 · 原点是对称点连线的中点 · 对应坐标值符号相反 4. 应用方法 · 求对称点坐标：将原坐标x,y分别取相反数 · 判断对称性：检查两点坐标是否互为相反数 · 图形对称性：图形上所有点都满足原点对称条件 易错点提醒 1. 混淆关于x轴、y轴和原点对称的区别 2. 忘记坐标符号变化规律（两个坐标都要变号） 3. 特殊点（原点本身）处理不当 4. 计算相反数时符号错误 5. 忽视坐标顺序（先x后y） 6. 判断对称性时漏检某个坐标 7. 图形对称性判断不全面 8. 实际问题中坐标系建立错误 知识点小结 1. 核心规律：对称点坐标互为相反数 2. 关键特征：(x,y)与(-x,-y)成对出现 3. 数学思想：数形结合思想 4. 重点掌握： · 坐标变换方法 · 对称性判断方法 5. 难点突破： · 综合运用对称性质 · 图形对称性分析 6. 注意事项： · 严格区分不同对称类型 · 计算时注意符号变化 · 验证时要检查两个坐标 · 图形问题要全面分析 巩固练习 一、选择题 1．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．已知点与点关于原点对称，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知点与点关于原点对称，则值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A关于原点O的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A关于原点O的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，顶点，，，将与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A． B． C．） D． 二、填空题 7．已知点A（a，1）与点B（-3，b）关于原点对称，则a-b的值为　 　． 8．把二次函数的图象绕原点旋转后得到的图象的解析式为　 　． 9．已知的顶点A在第三象限，对角线的中点在坐标原点，一边与x轴平行且，若点A的坐标为，则点D的坐标为　 　． 10．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于原点的对称点的坐标是　 　． 11．如图，在平面直角坐标中，对抛物线 在x轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A是该抛物线的顶点，则经过第2020次变换后所得的A点的坐标是　 　． 12．在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点．对于点给出如下定义：若，，点在x轴下方，点关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为　 　；若直线（）上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为　 　． 三、解答题 13．如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，和关于点成中心对称． ⑴画出对称中心，并写出点的坐标； ⑵画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母； ⑶画出与关于点成中心对称的并标明对应字母． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣1，5），B（﹣4，3），C（﹣2，2）． （1）画出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出B2的坐标． 15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴相交于点A，点B与点O是关于点A的对称点. 过点B的直线y=kx+b(其中k<0)与x轴相交于点 C，过点作直线平行于y轴， 是直线上一点，且PB=PC. （1）填空：点B的坐标为　 　：点C的坐标为　 　 (用含k的式子表示)； （2）求线段PB的长(用含k的式子表示)： （3）点P是否一定在抛物线上? 说明理由. 16．如图， 已知抛物线 与轴交于点，与轴交于点 其对称轴为直线 ，顶点为 ，将抛物线绕点旋转 后得到新抛物线，抛物线 与 轴交于点，对称轴为直线 ，与轴在对称轴左侧的交点为． （1）试求抛物线和抛物线的解析式； （2）在图中，点的坐标为，动点在直线 上，过点作轴与直线交于点， 连接， 求的最小值； （3）如图，将直线沿轴平移，交轴于点，当点在线段上运动(包括端点)， 的面积为正整数时，恰好直线与抛物线或抛物线交点的横、纵坐标均为整数，请直接写出此时点的坐标为 参考答案 1．C 2．A 3．B 4．C 5．C 6．D 7．4 8． 9．或 10． 11． 12．； 13．解：（1）如图所示：点D的坐标为 （2）绕点逆时针旋转得如图所示； （3）与关于点成中心对称的如图所示： 14．（1）如图1，△A1B1C1即为所求： （2）如图2，△A2B2C2即为所求，B2（3，4）． 15．（1）； （2）解：∵B点坐标为 ∴直线解析式为 令y=0，解得 ∵PB=PC， ∴点 P只能在x轴上方， 过B作 BD⊥于点D， 设PB=PC=m， 则 在 Rt△PBD中， 由勾股定理可得 即解得 （3）解：∵PB=PC， ∴P点坐标为当时，代入抛物线解析式可得 ∴点P一定在抛物线上. 16．（1）， （2） （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$