第二十二章 一元二次方程重难点检测卷-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（华东师大版）

第二十二章 一元二次方程重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：九年级上册第二十二章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川简阳·期末）把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 3．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 4．（2025·四川眉山·模拟预测）关于x的一元二次方程的一个根为，设，则M与方程根的判别式△之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）小虎同学在一次测验中解答的填空题：①若，则；② 方程的解为；③ 若，令，则或-1；④ 经计算整式与的积为，则一元二次方程的所有根是，．则其中答案完全正确的是（    ） A．① ③ ④ B．② ③ ④ C．③ ④ D．④ 6．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，背面图案，形状大小都相同的四张卡片的正面分别写有关于的方程的四个说法．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，则抽到卡片上的说法正确的概率是（   ） A． B． C． D．1 7．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若r是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以（x-1）得到3． 移项得1）=0， ，或，． 整理得，，，，，． 整理得，配方得，，，． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．（24-25九年级上·福建漳州·期中）某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件．若某星期该商城销售该商品获利元，则该星期每件商品的定价为多少元？小明根据题意，设某个量为未知数，列出方程，则下列对该方程理解错误的是（   ） A．代数式的意义是每件商品的利润 B．代数式的意义是销售的数量 C．代数式的意义是销售的所有商品的总进价 D．未知数的意义是每件商品涨了元 10．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）把方程配方后，可变形为 ． 12．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若是一元二次方程的一个根，则 ． 13．（2025九年级上·四川宜宾·模拟预测）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 14．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根为． （1）用含的式子表示，则 ． （2）若是一元二次方程的另一个根，则 ． 15．（24-25九年级上·四川宜宾·随堂练习）某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ (1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整； 小明：设每件皮衣降价x元， 由题意，可列方程为________________． 小红：设每件皮衣定价为y元， 由题意，可列方程为________________． (2)每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元． 三、解答题（8小题，共75分） 16．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）解方程． (1)； (2)； (3)． 17．（24-25九年级上·四川遂宁·随堂练习）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 18．（24-25九年级上·四川内江·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 19．（24-25九年级上·陕西汉中·期中）小韦在解方程时突发奇想，按照如下步骤进行： ①将原方程中一次项系数除以10，常数项除以100，得到新方程； ②解得新方程的两个根分别是m和n； ③将m和n分别乘以10，得到原方程的两个根，． (1)直接写出m和n的值； (2)请你说明其中的道理． 20．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读下列例题的解答过程： 解方程：3（x－2）2＋7（x－2）＋4＝0 解：设x－2＝y，则原方程化为：3y2＋7y＋4＝0 ∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b2－4ac＝72－4×3×4＝1 ∴y＝． ∴y1＝－1，y2＝－． 当y＝－1时，x－2＝－1，∴x＝1； ②当y＝－时，x－2＝－，∴x＝． ∴原方程的解为：x1＝1，x2＝． (1)请仿照上面的例题解一元二次方程：（x－3）2－5（x－3）－6＝0； (2)若，求代数式的值． 21．（2025九年级上·四川巴中·模拟预测）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）数53 “完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 （2）已知，则 ； （3）已知（x，y 是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； 【拓展结论】 （4）已知实数x、y满足，求的最大值． 22．（2025·福建厦门·模拟预测）某小区有一个长为米，宽为米的矩形停车场，布局如图所示．阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道通道与停车场的边平行或垂直，小区打算对所有停车位的地面进行重新喷漆，已知喷漆面积为平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为多少元？ 23．（2025九年级上·四川宜宾·模拟预测）如图，在中，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动． (1)的面积能否等于？请说明理由． (2)几秒时，四边形的面积等于？请写出过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 一元二次方程重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：九年级上册第二十二章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义；形如，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义进行分析判断即可． 【详解】解：A. ，是分式方程，不符合题意； B. ，若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意； C. ，为一元二次方程，故符合题意； D. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川简阳·期末）把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 3．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于列出一元二次方程． 根据运算程序可知，计算求解即可． 【详解】解：由题意可知 ∴ 解得，． 故选C． 4．（2025·四川眉山·模拟预测）关于x的一元二次方程的一个根为，设，则M与方程根的判别式△之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的根、完全平方公式．根据题意可以先对M化简，从而可以得到M和的关系，本题得以解决． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：A． 5．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）小虎同学在一次测验中解答的填空题：①若，则；② 方程的解为；③ 若，令，则或-1；④ 经计算整式与的积为，则一元二次方程的所有根是，．则其中答案完全正确的是（    ） A．① ③ ④ B．② ③ ④ C．③ ④ D．④ 【答案】D 【分析】对各个方程一一计算看是否是所给答案，由此判断即可． 【详解】①，故①错误； ②，即 ，或 ，故②错误； ③若，令 或 ，故③错误； ④=（）（）=0 或，故④正确， 故选D. 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法． 6．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，背面图案，形状大小都相同的四张卡片的正面分别写有关于的方程的四个说法．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，则抽到卡片上的说法正确的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，求概率，先根据判别式判断根的个数，结合根与系数之间的关系判断说法正确的卡片的数量，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 若是原方程的两个根，则：， ∴说法正确的卡片有2张， ∴随机抽取一张，则抽到卡片上的说法正确的概率是； 故选B． 7．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若r是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，，所以方程必有一个根为，故①正确． ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确． ③由是方程的一个根，得． 当，则；当，则不一定等于，故③不一定正确． 综上所述：正确的有2个； 故选：C． 8．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以（x-1）得到3． 移项得1）=0， ，或，． 整理得，，，，，． 整理得，配方得，，，． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法（因式分解法、公式法、配方法），解题关键是熟练掌握各方法的规则：因式分解法需保证因式分解的准确性，避免除以含未知数的式子；公式法需准确识别a、b、c的值；配方法需遵循“配方后等式两边加一次项系数一半的平方”的规则．本题需逐一分析甲、乙、丙、丁四位同学的解法，判断其是否符合一元二次方程的解题规则（如因式分解时不能随意除以含未知数的式子、公式法中系数对应准确、配方法步骤正确等），从而确定完全正确的解法． 【详解】解：甲的解法是“两边同时除以得到”，由于当时，，而0不能作为除数，这种操作会丢失方程的根（也是原方程的解），因此甲的解法错误； 原方程移项应为，而非，因此乙的解法错误； 原方程整理为， ， ，而非28；且代入求根公式后结果也不匹配，因此丙的解法错误； 原方程整理得，配方得， ， ， ， 丁的解法正确。 综上，只有丁的解法完全正确， 故选：D． 9．（24-25九年级上·福建漳州·期中）某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件．若某星期该商城销售该商品获利元，则该星期每件商品的定价为多少元？小明根据题意，设某个量为未知数，列出方程，则下列对该方程理解错误的是（   ） A．代数式的意义是每件商品的利润 B．代数式的意义是销售的数量 C．代数式的意义是销售的所有商品的总进价 D．未知数的意义是每件商品涨了元 【答案】A 【分析】根据题意，每涨价元，每星期要少卖出件，设某个量为未知数，根据得出的方程，结合代数式的意义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴未知数的意义是每件商品涨了元， A、代数式的意义是每件商品的售价，故该选项不正确，符合题意； B、代数式的意义是销售的数量，故该选项正确，不符合题意； C、代数式的意义是销售的所有商品的总进价，故该选项正确，不符合题意； D、未知数的意义是每件商品涨了元，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 10．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为161，列出方程即可． 【详解】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为，则最大数为， 根据题意得出：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）把方程配方后，可变形为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若是一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入已知方程，通过解关于a的新方程来求a的值． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：． 13．（2025九年级上·四川宜宾·模拟预测）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【详解】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根为． （1）用含的式子表示，则 ． （2）若是一元二次方程的另一个根，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查一元二次方程根的定义及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程根的定义将代入方程即可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再结合（1）结论即可得解； 解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：（1）∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由题意知：关于的一元二次方程两个根为和， ∴，即， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·四川宜宾·随堂练习）某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ (1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整； 小明：设每件皮衣降价x元， 由题意，可列方程为________________． 小红：设每件皮衣定价为y元， 由题意，可列方程为________________． (2)每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元． 【答案】(1)； (2)1050或950 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据利润单件利润件数列出一元二次方程即可； （2）根据（1）中列出的一元二次方程计算即可得解． 【详解】（1）解：小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得； 小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得． （2）解：选择小明的设法，则， 整理，得， 解得，， 则定价为元或元， 答：每件皮衣定价为1050元或950元； 选择小红的设法，则， 整理，得， 解得，． 答：每件皮衣定价为1050元或950元． 三、解答题（8小题，共75分） 16．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）解方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握各自解法是解本题的关键． （1）利用直接开平方法即可解答； （2）方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （3）方程整理后，利用提公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， 因式分解得， 可得或， 解得：，； （3）解：， 整理得， 因式分解得， 可得或， 解得：，． 17．（24-25九年级上·四川遂宁·随堂练习）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，则，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25九年级上·四川内江·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 19．（24-25九年级上·陕西汉中·期中）小韦在解方程时突发奇想，按照如下步骤进行： ①将原方程中一次项系数除以10，常数项除以100，得到新方程； ②解得新方程的两个根分别是m和n； ③将m和n分别乘以10，得到原方程的两个根，． (1)直接写出m和n的值； (2)请你说明其中的道理． 【答案】(1)，； (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根与系数的关系． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∴，； （2）解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得，， 设，， ∴，， 解得，， ∴m和n是方程的两个根． 20．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读下列例题的解答过程： 解方程：3（x－2）2＋7（x－2）＋4＝0 解：设x－2＝y，则原方程化为：3y2＋7y＋4＝0 ∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b2－4ac＝72－4×3×4＝1 ∴y＝． ∴y1＝－1，y2＝－． 当y＝－1时，x－2＝－1，∴x＝1； ②当y＝－时，x－2＝－，∴x＝． ∴原方程的解为：x1＝1，x2＝． (1)请仿照上面的例题解一元二次方程：（x－3）2－5（x－3）－6＝0； (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则原方程为，然后根据因式分解法进行求解方程即可； （2）令，则原方程可化简为，然后根据因式分解法进行求解方程即可． 【详解】（1）解：令，则原方程为， ∴或， ∴， 当时，则，解得：； 当时，则，解得：； ∴原方程的解为； （2）解：令，则原方程可化简为， ∴或， ∴， ∵， ∴当时不符合题意， ∴，即； ∴原方程的解为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法求解一元二次方程是解题的关键． 21．（2025九年级上·四川巴中·模拟预测）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）数53 “完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 （2）已知，则 ； （3）已知（x，y 是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； 【拓展结论】 （4）已知实数x、y满足，求的最大值． 【答案】（1）是；（2）1；（3），理由见解析；（4）2 【分析】（1）把53分为两个整数的平方和，即可； （2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可； 拓展结论： （4）由已知等式表示出y，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）根据题意得：． 故答案为：是． （2）已知等式变形得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 则：． 故答案为：1． （3）当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵S是完美数， ∴是完全平方式， ∴． （4）∵， ∴，即， ∴， 当时，最大，最大值为2． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 22．（2025·福建厦门·模拟预测）某小区有一个长为米，宽为米的矩形停车场，布局如图所示．阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道通道与停车场的边平行或垂直，小区打算对所有停车位的地面进行重新喷漆，已知喷漆面积为平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为多少元？ 【答案】(1)米 (2)当每个车位的月租金上涨元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键 （1）设通道的宽是米，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设每个车位的月租金上涨元，对外开放的总月租金收入为元，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设通道的宽是米， 由题意得：， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴通道的宽是米； （2）设每个车位的月租金上涨元，对外开放的总月租金收入为元， 由题意得： ， ，， ∴150， 当时，(元)， ∴当每个车位的月租金上涨元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为元． 23．（2025九年级上·四川宜宾·模拟预测）如图，在中，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动． (1)的面积能否等于？请说明理由． (2)几秒时，四边形的面积等于？请写出过程． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)后，四边形的面积等于 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． （1）设运动时间为t，根据的面积能否等于得到关于关于t的一元二次方程，根据方程根的判别式进行判断即可； （2）根据四边形的面积等于列出关于t的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：的面积不能等于， 理由如下：设运动时间为t， 根据题意可得， ， 由，整理，得． ， ∴方程没有实数根， 的面积不能等于； （2）根据题意，可得， 整理得， 解得（点与点重合，不合题意，舍去）， ，四边形的面积等于． 答：后，四边形的面积等于． 学科网（北京）股份有限公司 $$