精品解析：辽宁省铁岭县莲花第二初级中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

八下第一次质量检测 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把形如的式子叫做二次根式，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0． 【详解】解：A、是二次根式，本选项符合题意； B、不满足被开方数大于等于0，不是二次根式，本选项不符合题意； C、字母不确定，不能保证，故不一定是二次根式，本选项不符合题意； D、的根指数是3，故不是二次根式，本选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】A、原式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、原式，不符合题意； D、原式，不符合题意； 故选B． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解本题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减法、除法和乘法法则计算即可． 【详解】解：A、与 不能合并，所以A选项错误；   B、原式，所以B选项错误； C、原式，所以C选项正确； D、原式，所以D选项错误． 故选：C 4. 下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和和勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：A、∵a：b：c=， ∴设a=k，b=k，c=k， ∴b2+c2=3k2=a2， ∴△ABC是直角三角形；故该选项不符合题意； B、∵∠A=∠B-∠C， ∴∠B=∠A+∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠B=180°， ∴∠B=90°， 此时，△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意； C、∵∠A：∠B：∠C=6：8：10， ∴∠C=180°×=75°， ∴△ABC不是直角三角形，故该选项符合题意； D、，即a2+c2=b2， ∴△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可． 5. 一个直角三角形的两条边长分别为3cm，5cm，则该三角形的第三边长为（　　）． A. 4cm B. 8cm C. cm D. 4cm或cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知的两边长，利用勾股定理求出第三边即可．注意3cm，5cm可能是两条直角边也可能是一斜边和一直角边，所以得分两种情况讨论． 【详解】解：当3cm，5cm时两条直角边时，第三边==， 当3cm，5cm分别是一斜边和一直角边时，第三边==4， 所以第三边可能为4cm或cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目中渗透着分类讨论的数学思想． 6. 五根小木棒，其长度分别为，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．要求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A．，，，故A不正确，不符合题意； B．，，故B不正确，不符合题意； C．，，故C正确，符合题意； D．，，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，可得AC的值，从而得到AD的长，进而可得到答案. 【详解】∵数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1， ∴AB=3， ∵于点B，且， ∴， ∵以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D， ∴AD=AC=， ∴点D表示的数为：， 故选C. 【点睛】本题主要考查数轴上点表示的实数与勾股定理，根据勾股定理，求出AC的长，是解题的关键. 8. 在中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，对边平行，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 9. 如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据平行和角平分线，推出均为等腰三角形，得到，进而得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图，点P是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论： ①； ②如果，则； ③若，则； ④如果P点在对角线上，则； ⑤若，则P点一定在对角线上 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得，，设点到，，，的距离分别是，，，，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出，判断④；最后根据已证关系式，得出，，判断⑤，综合即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． 设点到，，，的距离分别是，，，，点C到的距离分别为， 则，，，． ∵，， ∵， ∴，故①正确； 根据只能判断，不能判断，即不能判断，故②错误； 根据，能得出，不能得出，即不能判断，故③错误； ∵点在对角线上， ∴，， ∴，故④正确； 由和，得，， ∴， ∴， ∴点一定在对角线在上，故⑤正确， 综上所述，正确的结论是①④⑤． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果y＝+1，则2x＋y的值是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴x=4，y=1， ∴2x＋y=9； 故答案为9． 【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键． 12. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义：被开方数大于等于0；分母不等于0；列出不等式，求解即可. 【详解】根据题意， 解得 故答案为 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，还要保证分母不等于零；熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键. 13. 如图，在中，对角线于，且，则与之间的距离是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用等面积法求解是解题的关键． 过点作于点，利用等面积法进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由等面积法可得，， ∴与之间的距离是6， 故答案为：6． 14. ▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=8，BD=6，则边AB长的取值范围为_____． 【答案】1＜AB＜7． 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得AO=4，BO=3，再根据三角形的三边关系可得4﹣3＜AB＜4+3，再解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=AC，BO=BD， ∵AC=8，BD=6， ∴AO=4，BO=3， ∴4﹣3＜AB＜4+3， 解得：1＜AB＜7． 故答案为1＜AB＜7． 【点睛】本题考查平行四边形的性质；三角形三边关系． 15. 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论． 【详解】如图，过点A作AF⊥BC于F， 在Rt△ABC中，∠B=45°， ∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1， ∵两个同样大小的含45°角的三角尺， ∴AD=BC=2， 在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF== ∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1， 故答案为-1． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先进行乘法公式的计算，再进行合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式． 17. 化简求值：已知，求的值． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据二次根式的性质、分式的约分法则把原式化简，代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 当时， 原式 ． 18. 如图，在中，为的中点，，，的延长线交于点．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，先证明四边形为平行四边形，得到，证明，得到，即可得证． 【详解】略 19. 某地管辖A，B，C，D四个镇，其中C，A，D三个镇在一条直线上，相互两镇之间的公路里程如图所示，由于大山阻隔，原来从A，C两镇去D镇都需绕到B镇前往．为了发展经济，缩短A，C两镇到D镇的路程，现决定开凿隧道修通A，C两镇直达D镇的公路．公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了多少千米？ 【答案】公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了32千米． 【解析】 【分析】首先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，在中利用勾股定理可求得的长，则公路修通以后从A到D比原来缩短的路程即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 在，(千米)， 则公路修通以后从A镇到D镇的路程比原来缩短了(千米)． 答：公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了32千米． 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题关键是正确证明是直角三角形． 20. 如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明． 【答案】BE∥DF，BE＝DF, 证明：如图1 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，∠1＝∠2， 又∵CE＝AF， ∴△BCE≌△DAF． ∴BE＝DF，∠3＝∠4． ∴BE∥DF． 【解析】 【分析】证明△BCE≌△DAF，得到BE＝DF，∠3＝∠4，问题得解. 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 21. 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【解析】 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 22. 数学活动课上，同学们以“分母有理化”为主题开展探究活动． 【发现问题】在进行二次根式的化简时，有时会碰上如这样的式子，其分母中含有无理数． 【提出问题】在进行二次根式的化简时，分母中含有无理数如何化简． 【分析问题】同学们认为要想把分母中的无理数去掉，可根据所学公式和来解决． 【解决问题】一部分同学认为可以如下方法化简： ． 另一部分同学认为还可以如下方法化简： ． 以上这两种化简的步骤叫做分母有理化． （1）选择合适的方法化简：（n为正整数）； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用第一种方法即可求解； （）把提出来，利用第一种方法分母有理化，再进行运算即可求解； 本题考查了分母有理化，二次根式的加法运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式， ， ， ， ． 23. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【解析】 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ， ， ， 则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E， ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点， 设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作， 根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八下第一次质量检测 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个直角三角形的两条边长分别为3cm，5cm，则该三角形的第三边长为（　　）． A. 4cm B. 8cm C. cm D. 4cm或cm 6. 五根小木棒，其长度分别为，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 2 8. 在中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，点P是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论： ①； ②如果，则； ③若，则； ④如果P点在对角线上，则； ⑤若，则P点一定在对角线上 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果y＝+1，则2x＋y的值是_______． 12. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为_______. 13. 如图，在中，对角线于，且，则与之间的距离是___________． 14. ▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=8，BD=6，则边AB长的取值范围为_____． 15. 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2）． 17. 化简求值：已知，求的值． 18. 如图，在中，为的中点，，，的延长线交于点．求证：． 19. 某地管辖A，B，C，D四个镇，其中C，A，D三个镇在一条直线上，相互两镇之间的公路里程如图所示，由于大山阻隔，原来从A，C两镇去D镇都需绕到B镇前往．为了发展经济，缩短A，C两镇到D镇的路程，现决定开凿隧道修通A，C两镇直达D镇的公路．公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了多少千米？ 20. 如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明． 21. 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 22. 数学活动课上，同学们以“分母有理化”为主题开展探究活动． 【发现问题】在进行二次根式的化简时，有时会碰上如这样的式子，其分母中含有无理数． 【提出问题】在进行二次根式的化简时，分母中含有无理数如何化简． 【分析问题】同学们认为要想把分母中的无理数去掉，可根据所学公式和来解决． 【解决问题】一部分同学认为可以如下方法化简： ． 另一部分同学认为还可以如下方法化简： ． 以上这两种化简的步骤叫做分母有理化． （1）选择合适的方法化简：（n为正整数）； （2）求的值． 23. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $