21.1圆的有关概念 课件 2024--2025学年北京版九年级数学上册

21.1与圆有关的概念 诗人笔下的圆 大漠孤烟直， 长河落日圆． —— 唐·王维 《使至塞上》 小时不识月， 呼作白玉盘． —— 唐·李白 《古朗月行》 海上生明月， 天涯共此时． —— 唐·张九龄 情景引入 山地车车轱辘 奥运五环 餐桌桌面 圆 观察下列美丽的图片，你能发现什么图形？ 圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象 情景导入 在平面内,线段OA绕固定的端点O旋转一周,另一个端点A所描出的封闭曲线叫做圆. 新知探索一 点O叫做圆心，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径（通常用字母r来表示）。 圆心和半径是圆的两要素。 圆心 半径 一、圆的动态定义: 新知探索一 问题： （1）一个圆有多少条半径？ （2）在同一个圆中，这些半径的长度都相等吗？ 如图:以O为圆心的圆， 记作“⊙O”，读作“圆O” 二、圆的表示方法： 在同一个圆中，所有的半径都相等。 无数条 概念辨析 思考1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？ 思考2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的所有点都在同一个圆上． 几何语言： ∵点A,B在⊙O上 ∴OA=OB 几何语言： ∵OA=OB ∴点A,B在⊙O上 因此，圆可以看成是所有到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形． ● O （1）画一个半径等于5cm的⊙O。 （2）在⊙O上任取两点A、B,并连接 OA、OB，线段OA、OB的长是多少？ （3）如果OC=5厘米，你能找出点C在 在⊙O的什么位置吗？ （4）如果OM=7厘米，你能找出点M在 在⊙O的什么位置吗？ （5）如果ON=3厘米,你能找出点N在⊙O的什么位置吗？ ●A ● B ● C ● M ● N 问：平面内的点与圆有几种位置？ 形成性定义(动态) 集合性定义(静态) 概念辨析 在一个平面内,线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆． 圆心为 O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形． r 战国时的《墨经》 就有“圆,一中同长也” 的记载.它的意思是圆 上各点到圆心的距离都 等于半径. P · O C A B D 新知探索 探索圆的相关概念 阅读教材13页，请你找出弦、弧等相关概念. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧（arc），简称弧，用符号“⌒”．以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”． ( 弦: 连接圆上任意两点的线段（如图中的AB，CD）叫做弦（chord），经过圆心的弦（如图中的CD）叫做直径．（diameter） 1.弦和直径都是线段。 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。 3.同圆中所有的半径相等。 注意 注意 等弧: 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 想一想：长度相等的弧是等弧吗？ · C O A B 小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ; ( 大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC. ( 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 半圆、劣弧与优弧 有弦及其所对的弧所组成的图形叫弓形。如图中弦AC分别与AC及ABC组成两个不同的弓形。 ( ( 如图. (1) 请写出以点A为端点的优弧及劣弧; 弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径. （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. 答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 . A B C E F D O 劣弧： 优弧： AF, ( AD, ( AC, ( AE. ( AFE, ( AFC, ( AED, ( AEF. ( AF ( (2) 请写出以点A为端点的弦及直径 1.根据圆的定义,“圆”指的是“圆周”,而不是“圆面”. 2.直径是圆中最长的弦. 推理验证： · C O A B 连接OC, 在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC, 而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC. 重点强调 2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径. 归纳小结 5.同心圆：圆心相同，半径不同 等圆：半径相同，圆心不同 同圆：半径相同，圆心相同 1.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧（arc），简称弧，用符号“⌒”．以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 小于半圆的弧叫做劣弧. 大于半圆的弧(用三个字母表示)叫做优弧． 4.等弧：在同圆或等圆中，能过够完全重合的弧 3.有弦及其所对的弧所组成的图形叫弓形。 探 求 新 知 车轮为什么做成圆形? 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变。因此，当车辆在平坦的路上行使时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理。 一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小． 确定一个圆的要素 想一想：1.以1cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？ 无数个圆 无数个圆 2.如何画一个确定的圆？ 学以致用 例：矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 分析： 问题1 如果点A,B,C,D在同一个圆上，那么这些点到圆心O的距离相等吗？由此可得：要证明四点共圆，只需证明 。 问题2 你想到了哪些方法去证明 ？ 问题3 你能自己写出证明过程吗？ . 问题1：观察下图，其中点和圆的位置关系有哪几种？ . o . C . . . . B . .A 点与圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. 点和圆的位置关系 再探新知 问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 d d d r P d P r d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ r P d P r d P r d R r P 点P在⊙O内 d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外 d>r 点P在圆环内 r＜d＜R 数形结合： 位置关系 数量关系 点和圆的位置关系 归纳总结 一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小． 同心圆 等圆 半径相同，圆心不同 圆心相同，半径不同 确定一个圆的要素 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC，OB=OD. 典例精析 又∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD. ∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上. 弦：AF,AB,AC.其中弦AB又是直径. （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. A B C E F D O 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧 答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 . AF ( 典例精析 优弧： (2)请写出以点A为端点的弦及直径 ABE DEA 劣弧： AF EA 例题：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？ 解：AD=4=r，故D点在⊙A上 AB=3<r，故B点在⊙A内 AC=5>r，故C点在⊙A外 1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 . 圆内 圆上 圆外 2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在（ ） A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外 o D 练一练： 例：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？ 解：D点在⊙A上,B点在⊙A内 C点在⊙A外 （2）若以A点为圆心作⊙A，使点B在圆内，点C在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案） 3<r<5 变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标. 课内练习二 1、如图，在⊙O中，点A,O,D在一条直线上， 点B,O,C在一条直线上，那么图中有弦（ ） A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 2、如图，圆中有____条直径，____条弦， 劣弧有____条，以A为一个端点的优弧 有_____条。 B 1 2 5 2 A A O M B C 3.下列说法正确的是（ ） A.直径不是圆的弦 B.半圆不是弧 C.等于半径两倍的线段叫弦 D.过圆内一点可以做无数条弦 D 4.如图，⊙O的半径为3，点P是圆内一点，则过点P的最长弦的长度为（ ） A.4 B.3 C.6 D.5 O • P C 5.平面内一点P,到⊙O上的最大距离为9cm，最小距离为4cm，求⊙O的半径。 O • P ● A B • B • ● A ● O • P 解:（1）当点P在圆内时，如图①. ∵点P到圆上的最小距离为4cm 点P到圆上的最大距离为9cm ∴PA=4,PB=9 ∴直径AB=13（cm) ∴半径r=6.5（cm) 图① 图② （2）当点P在圆外时，如图②. ∵点P到圆上的最小距离为4cm 点P到圆上的最大距离为9cm ∴PA=4,PB=9 ∴直径AB=5（cm) ∴半径r=2.5（cm) ∴由①②得半径为6.5cm或2.5cm 圆上任意两点A，B之间的部分叫做圆弧， 简称弧，记作 ， 平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O， 旋转一周，另一个端点A形成的图形叫做圆。 固定的端点O称为圆心。 读作“圆弧AB或“弧AB”。 由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形。 顶点在圆心的角叫做圆心角。 认识圆 $$