20.5 测量与计算（解直角三角形的应用）课件 2024-2025学年北京版九年级数学上册

20.5 测量与计算 1. 正确理解方向角、坡度的概念. 2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力. 重点 难点 学习目标 导入新课 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 方位角 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 北偏东30° 南偏西45° 引入 (1)正东，正南，正西，正北 (2) 西北方向:_________ 西南方向:__________ 东南方向:__________ 东北方向:__________ 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1.将实际问题抽象为数学问题； 2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 3.得到数学问题的答案； 4.得到实际问题的答案. 解直角三角形的应用问题的思路是怎样的？ 例1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到0.01n mile）？ 65° 34° P B C A 新知学习 解：如图 ，在 Rt△APC 中， PC = PA · cos(90°－65°) = 80 × cos 25° ≈ 72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B = 34°， ∵ sin B = ， ∴ PB = ≈ 129.66(n mile) . 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66n mile． 65° 34° P B C A 归纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 某探险者某天到达如图所示的点A处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？ 通过这节课的学习，相信你也行. 新知探究 A B 如图，在进行测量时，从下往上看，视线在水平线的上方，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线在水平线的下方，视线与水平线下方的夹角叫做俯角. 新知探究 铅 垂 线 视线 水平线 视线 仰角 俯角 如图所示，在离上海东方明珠塔1000 m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7 m.求上海东方明珠塔的高BD. （结果精确到1 m，参考数据：sin25°≈0.42， cos25°≈0.91，tan25°≈0.47） 新知探究 如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =1000m， 因此 答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m. 从而 BC=1000×tan25°≈466.3（m） 因此，上海东方明珠塔的高度 BD=466.3+1.7=468（m） 例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果取整）. 新知探究 B D A C Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度； Rt△ACD中，β＝60°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出CD的长度； 进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度. 例2 如图，海中有一个小岛 A，它周围 8n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60° 方向上，航行 12n mile 到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30° 方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？ 北 东 A C B 60° 30° D E F 北 东 A C B 60° 30° D E 200km 解：过点 P 作 PC⊥AB，C 是垂足. 则 ∠APC = 30°，∠BPC = 45°， AC = PC · tan 30°，BC = PC · tan 45°. ∵AC + BC = AB， ∴PC · tan 30°＋PC · tan 45° = 200， 即 PC＋PC = 200，解得 PC ≈ 126.8km＞100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 200km C 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？ 思考 A B C 很明显 BC 更陡！ 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . 2. 坡度 ( 或坡比 ) 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h : l .坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i =1∶6. 3. 坡度与坡角的关系 α l h 坡面 水平面 i = h : l 1. 如图，一山坡的坡度为 i = 1:2. 小刚从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 240m到达点 C. 这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到 0.01°，长度精确到 0.1m ）？ i=1:2 针对训练 解：用 α 表示坡角的大小，由题意可得 tan α = = 0.5，因此 α ≈ 26.57° . 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，∠A = 26.57°，AC = 240 m， 因此 sin α = = ，从而 BC = 240 × sin 26.57° ≈ 107.3 (m)． 答：这座山坡的坡角约为 26.57°，小刚上升了约 107.3 m． i = 1:2 A C B 2.为满足广大滑板爱好者的需求,某广场修建了一个小型滑板场,如图,爱好者们从 A 处滑下,经缓冲区 EF 之后,滑向 C 处,已知 AB⊥BD 于点 B,CD⊥BD 于点 D,AB =2CD,BD = 13 m,缓冲区EF =3 m,斜坡轨道 AE 的坡度 i =1：2,斜坡轨道 FC 的坡角为 37°,其中 B,E,F,D 在同一直线上,则 AB 的长度约为( ) (参考数据：tan37°≈0.75,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80) A．3.55 m B．3.75 m C．3.95 m D．4.15 m A D C B E F B A D C B E F $$