20.5 测量与计算（解直角三角形的应用 4大题型提分练）数学北京版九年级上册

20.5 测量与计算 同步练习 题型一 解直角三角形的应用 1．图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是80cm，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，则双翼的边缘AC、BD（AC＝BD）的长度为（　　） A． B．70cm C． D．80cm 【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到双翼的边缘AC、BD（AC＝BD）的长度． 【详解】解：如图，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F， ∵点A与B之间的距离为10cm，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm， ∴AE＝BF＝（80﹣10）÷2＝35（cm）， 在Rt△ACE中，AC＝2AE＝35×2＝70（cm）， 故选：B． 2．下表是小颖填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 BE＝1.8m，CD＝2m，∠α＝20°，∠β＝60° 根据以上信息，可求出孔子像AE的高度约为（　　）（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan60°≈1.73） A．2.8m B．3.0m C．3.2m D．3.4m 【分析】根据三角函数的概念，在Rt△BDE中，求得BD的值，根据题意得到BC的值，在Rt△ABC中，求得AB的值，从而得出AE的值． 【详解】解：在Rt△BDE中，∠α＝20°， ∴． ∴BC＝BD﹣CD≈5﹣2＝3． 在Rt△ABC中，∠β＝60°， ∴AB＝BC•tan60°≈3×1.73＝5.19． ∴AE＝AB﹣BE≈5.19﹣1.8＝3.39≈3.4（m）， 故选：D． 3．光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线AO斜射到液面发生折射，折射光线为OB，折射角为∠BOD，测得∠BOD＝20°，OD⊥BD，OD＝10cm，则线段OB的长是 　10.6　cm．（结果精确到0.1，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【分析】在Rt△OBD中，利用直角三角形的边角间关系可得结论． 【详解】解：∵OD⊥BD， ∴∠ODB＝90°， 在Rt△OBD中， OB10.6（cm）， 故答案为：10.6． 4．某校“数学”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图2是其测量示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，EF垂直平分AB，垂足为F，EF垂直平分CD，与CD交于点G．经测量，可知AB＝3.0m，CD＝5.0m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，则文化长廊的最高点到地面的高度EF约为 　3.7　m．（结果保留一位小数．参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07，） 【分析】过点B作BH⊥CD于点H，证明四边形GFBH为矩形，得出GH＝BF＝1.5m，∠FBH＝90°，求出∠DBH＝45°，得到BH＝DH＝GF＝1m，求出∠EDG＝47°，再解直角三角形得出EG的长，再由EF＝EG+GF计算即可得出答案． 【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H，如图2所示． ∵EF垂直平分AB，垂足为F，EF垂直平分CD，与CD交于点G．BH⊥CD， ∴∠BFG＝∠FGH＝∠BHG＝90°，，， ∴四边形GFBH为矩形， ∴GH＝BF＝1.5m，∠FBH＝90°， ∴DH＝DG﹣GH＝1m， ∵∠ABD＝135°， ∴∠DBH＝45°， ∴△HBD是等腰直角三角形， ∴BH＝DH＝GF＝1m， ∵∠BDE＝92°， ∴∠EDG＝47°， 在Rt△EGD中，， ∴EG＝DG•tan47°≈2.5×1.07≈2.68（m）， ∴EF＝EG+GF≈2.68+1≈3.7（m）， 即文化长廊的最高点离地面的高度EF约为3.7m， 故答案为3.7． 5．某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片，如图所示的∠ABC为无人机某次空中飞行轨迹，D为BC延长线上一点，点A，B，C，D在同一平面内，∠B＝30°，∠ACD＝78.3°．若AC＝80米，求AB的长． （结果保留整数，参考数据：sin78.3°≈0.98，sin48.3°≈0.75，cos48.3°≈0.67，1.73） 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，易求得∠A＝48.3°，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E， ∵∠ACD＝∠A+∠B， ∴∠A＝48.3°， ∵sin∠A，cos∠A， ∴CE＝AC•sin48.3°≈60（米），AE≈AC•cos48.3°≈53.6（米）， ∵∠B＝30°， ∴BECE≈103.8（米）， ∴AB＝AE+BE≈157（米）． 答：AB的长约为157米． 题型二 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 6．如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（　　） A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D．米 【分析】根据正弦的定义列式计算即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinα， 则AB（米）， 故选：D． 7．如图，四边形ABCD是某护坡大坝的横截面，AD∥BC，坝顶宽AD为5米，斜坡AB的坡度为i＝1：3，斜坡CD的坡角为45°，坡长CD＝4米，则坝底宽约为（　　） A．16.3米 B．15.8米 C．13.8米 D．11.3米 【分析】过点A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F，证明四边形AEFD是矩形，△DCF是等腰直角三角形，解直角三角形即可求解． 【详解】解：过点A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F， ∵AD∥BC， ∴四边形AEFD是矩形， ∵斜坡CD的坡角为45°， ∴△DCF是等腰直角三角形， ∵CD＝4米， ∴， ∴， ∵斜坡AB的坡度为i＝1：3， ∴， ∴（米）． 故选：A． 8．如图，某水库堤坝的横断面为梯形，背水坡AD的坡比为1：1.5，坝高DE为10米，则背水坡AD长为（　　） A．米 B．15米 C．米 D．无法确定 【分析】根据坡比等于坡角的正切值，求出tanA的值，在Rt△ADE中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，再利用勾股定理求出AD的长即可． 【详解】解：∵背水坡AD的坡比为1：1.5＝2：3， ∴tanA＝2：3， 在Rt△ADE中，tanA，DE＝10米， ∴AE15米， 根据勾股定理得：AD5米． 故选：A． 9．已知一个斜坡的坡面长30米，铅直高度为15米，则这个斜坡的坡度为（　　） A．1：2 B．30° C．1： D．：1 【分析】先根据勾股定理可以求得斜坡的水平距离，再根据斜坡的坡度定义即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵斜坡AB的坡面长30米，其铅垂高度BC为15米， ∴这个斜坡的水平距离AC15（米）， ∴这个斜坡的坡度为：15：151：， 故选：C． 10．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝8m，则坡面AB的长度 　16　m． 【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长． 【详解】解：Rt△ABC中，BC＝8m，tanA＝1：； ∴AC＝BC÷tanA＝8m， ∴AB16（m）． 故答案为：16． 11．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度为，坝高BC＝3m，则AB的长度为 　6m　． 【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB． 【详解】解：∵迎水坡AB的坡比为， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， 故答案为：6m． 题型三 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 12．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AL为（　　）km． A．6sin43° B．6cos43° C． D．6tan43° 【分析】根据正切的定义即可求解． 【详解】解：在Rt△ALR中，RL＝6，∠ARL＝43°， ∴tanR， ∴AL＝LR•tanR＝6•tan43°（km）． 故选：D． 13．如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 　600　． 【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°， AC＝30×20＝600（米）， ∴AD＝AC•sin45°＝300（米）． 在Rt△ABD中， ∵∠B＝30°， ∴AB＝2AD＝600（米）． 故答案为：600． 14．某数学兴趣小组测量广场雕像的高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量广场雕像的高度 活动过程 测量示意图 测量工具 皮尺、测倾器 测量数据 α＝28.36°，β＝22.80°，AB＝1.6m，BD＝25.4m 计算雕像EF的高度 请计算雕像EF的高度．（参考数据：sin22.8°≈0.39，cos22.8°≈0.92，tan22.8°≈0.42，sin28.36°≈0.48，cos28.36°≈0.88，tan28.36°≈0.54，结果保留整数） 【分析】用EF表示AF，CF，进而表示出AC，利用AC＝BD列方程解出即可． 【详解】解：由题意，知AC＝BD＝25.4m， 在Rt△AEF中， AF， 在Rt△CEF中， CF， ∴AF+CFAC＝25.4， 解得EF≈6m， 答：雕像EF的高度约为6m． 15．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC＝30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，1.73） 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H，由题意得：DC＝20m，∠DCH＝60°，根据三角函数的定义得到CH＝CD•cos60°＝10m，D，根据矩形的性质得到BH＝FD，BF＝DH，求得FD＝40m，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H， 由题意得：DC＝20m，∠DCH＝60°， 在Rt△DCH中， ∵，， ∴CH＝CD•cos60°＝10m， ∴D， ∵∠DFB＝∠B＝∠DHB＝90°， ∴四边形DFBH为矩形， ∴BH＝FD，BF＝DH， ∵BH＝BC+CH＝（30+10）m＝40m， ∴FD＝40m， 在Rt△AFD中，， ∴AF＝FD•tan20°＝40×0.36m＝14.4m， ∴AB＝AF+BF＝（17.3+14.4）m＝31.7m≈32m， 答：该风力发电机塔杆AB的高度为32m． 16．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度．（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数） 【分析】（1）根据题意可得：DE⊥EC，然后在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答； （2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，设AB＝h m，根据题意得：DF＝EA＝（h）m，DE＝FA＝3m，则BF＝（h﹣3）m，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：DE⊥EC， 在Rt△DEC中， CD＝6m，∠DCE＝30°， ∴DECD＝3（m）， ∴DE的长为3m； （2）由题意得：BA⊥EA， 在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°， ∴CEDE（m）， 在Rt△ABC中， 设AB＝h m， ∵∠BCA＝45°， ∴ACh（m）， ∴AE＝EC+AC＝（h）m， ∴线段EA的长为（h）m； 过点D作DF⊥AB，垂足为F， 由题意得：DF＝EA＝（h）m，DE＝FA＝3m， ∵AB＝h m， ∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m， 在Rt△BDF中， ∵∠BDF＝27°， ∴BF＝DF•tan27°≈0.5（h）m， ∴h﹣3＝0.5（h）， 解得：h6≈11， ∴AB＝11m， ∴塔AB的高度约为11m． 题型四 解直角三角形的应用-方向角问题 17．如图，甲乙两艘轮船从某港口O同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西60°，乙航行方向为北偏东30°，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点A、B处，则此时两船相距（　　）海里． A．36 B．40 C．48 D．50 【分析】由题意可知∠AOB＝90°，OA＝24海里，OB＝32海里，利用勾股定理求出AB即可． 【详解】解：由题意可知∠AOB＝90°， ∵甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，航行两小时， ∴OA＝24海里，OB＝32海里， ∴AB40（海里）， 则此时两船相距40海里． 故选：B． 18．如图，有一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的B处，那么此时轮船与灯塔P的距离为 　40　海里（结果用含根号的式子表示）． 【分析】由含30°角的直角三角形的性质求出AB的长，再由勾股定理求出PB的长即可． 【详解】解：由题意可知，∠ABP＝90°，PA＝80海里，∠APB＝90°﹣60°＝30°， ∴ABPA＝40（海里）， ∴PB40（海里）， 即此时轮船与灯塔P的距离为40海里， 故答案为：40． 1．如图，一架民航客机在飞行途中前方出现雷暴区域，机组请示后决定从C点处以仰角α直线爬升至云层上方，爬升后客机所在的A点处相对于C点处的飞行高度上升了AB＝1200米，则客机直线爬升的距离AC为（　　） A． B．1200sinα C．1200cosα D．1200tanα 【分析】根据锐角三角函数可知：sinα，从而可以得到AC，再代入数据即可 【详解】解：由图可得， sinα， ∴AC， 故选：A． 2．如图，某社区广场内，小颖和爸爸玩跷跷板，其中跷跷板AB长为5米，若它的一端B着地，AB与水平地面BC所成的∠B＝α，则它的另一端A到地面BC的距离为（　　） A．5sinα米 B．5cosα米 C．5tanα米 D．米 【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中，∠ABD＝α，AB＝5米， ∴AD＝AB•sinα＝5sinα（米）， ∴它的另一端A到地面BC的距离为5sinα米， 故选：A． 3．如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，且AD＝20cm，AB＝160cm，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（　　） A． B． C． D． 【分析】点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F，由含30°角的直角三角形的性质得DF＝2AD＝40cm，再由勾股定理得AF＝20cm，则BF＝（160﹣20）cm，然后由含30°角的直角三角形的性质得BE＝（80﹣10）cm，则EFBE＝（8030）cm，进而求出DE的长即可． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F， 则∠BEF＝90°， 由题意可知，∠ABC＝60°， ∴∠BFE＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°， ∴BEBF， ∵AD⊥AB， ∴∠A＝90°， ∵∠AFD＝∠BFE＝30°，AD＝20cm， ∴DF＝2AD＝40cm， ∴AF20（cm）， ∵AB＝160cm， ∴BF＝AB﹣AF＝（160﹣20）cm， ∴BE（160﹣20）＝（80﹣10）（cm）， ∴EFBE＝（8030）cm， ∴DE＝EF+DF＝8030+40＝（8010）（cm）， 即该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（8010）cm， 故选：D． 4．如图，在海面上有两个疑似漂浮目标A、B，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口O出发赶往目的地．一艘搜救艇以6海里/时的速度沿北偏东60°的方向向目标A前进，同时另一艘搜救艇以8海里/时的速度向目标B前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【分析】根据题意可得OA＝9海里，OB＝12海里，AB＝15海里，即可得OB2+OA2＝AB2，则∠AOB＝90°，进而可得∠BOD＝30°，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意得，OA＝6×1.5＝9（海里），OB＝8×1.5＝12（海里）， ∴OB2+OA2＝122+92＝225， ∵AB＝15海里， ∴AB2＝152＝225， ∴OB2+OA2＝AB2， ∴∠AOB＝90°． ∵∠AOD＝60°， ∴∠BOD＝30°， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西30°． 故选：B． 5．如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点A′，点B移至点B′，设∠ABC＝α，∠A′B′C＝β，则AA′＝（　　） A．（3sinα﹣3sinβ）m B．（3cosα﹣3cosβ）m C． D．（3tanα﹣3tanβ）m 【分析】在Rt△ABC中，∠ABC＝α，AB＝3m，解直角三角形求出AC的长，在Rt△A′B′C中，∠A′B′C＝β，A′B′＝3m，解直角三角形求出A′C的长，再利用AA′＝AC﹣A′C解答即可． 【详解】解：由题意可知：AB＝A′B′＝3m， 在Rt△ABC中，∠ABC＝α，AB＝3m， ∴sinα， ∴AC＝AB•sinα＝3sinα， 在Rt△A′B′C中，∠A′B′C＝β，A′B′＝3m， ∴sinβ， ∴A′C＝A′B′•sinβ＝3sinβ， ∴AA′＝AC﹣A′C＝3sinα﹣3sinβ＝3（sinα﹣sinβ）， 故选：A． 6．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB＝200cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度BC＝20cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD＝280cm，遮阳棚与墙面的夹角∠BAD＝60°，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角∠CFG＝45°，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长为 　（100160）　cm（结果保留根号）． 【分析】过点B作BE⊥AD于点E，得出则四边形BEDH是矩形，DE＝BH，BE＝DH，根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理求出AE与BE的长，从而推出BH的长，得出CH的长，根据等腰直角三角形的性质得出FH＝CH即可推出结果． 【详解】解：如图3，过点B作BE⊥AD于点E， 则四边形BEDH是矩形， ∴DE＝BH，BE＝DH， 在Rt△ABE中，∠BAE＝60°， ∴∠ABE＝30°， ∴AE（cm）， 则根据勾股定理得， BE（cm）， ∴DH＝100cm， ∵AD＝280cm，AE＝100cm， ∴DE＝180cm， ∴BH＝180cm， ∵BC＝20cm， ∴CH＝160cm， 在Rt△CHF中，∠CFH＝45°， ∴∠CFH＝∠HCF＝45°， ∴HF＝CH＝160cm， ∴DF＝DH﹣FH＝（100160）cm， 故答案为：（100160）． 7．某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造．如图所示，改造前的斜坡米，坡度为1：4；将斜坡AB的高度AE提高20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造成斜坡CD，其坡度为1：1.5．则改造后斜坡CD的长为 　50米　． 【分析】根据直角三角形的性质求出AE，进而求出CE，根据坡度的概念求出DE，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：在Rt△ABE中，AB＝200米，， ∴设AE＝x米，BE＝4x米， ∴ABx＝80， ∴x＝80， ∴AE＝80米， ∴CE＝AE+AC＝100（米）， ∵斜坡CD的坡度为1：1.5， ∴DE＝150米， 由勾股定理得：CD50（米）， 答：斜坡CD的长为50米． 故答案为：50米． 8．陕甘边革命根据地纪念碑是为了纪念陕甘边革命根据地创建80周年而修建．为继承优良革命传统，弘扬爱国主义精神，清明期间，某校组织学生前往陕甘边革命根据地缅怀革命先烈．借此机会数学小组成员开展了测量纪念碑高度的项目主题活动． 方案设计：如图，组员甲用测角仪在D处测出纪念碑顶端A的仰角∠ADM，组员乙从C处垂直升起一架无人机到E处，从E处测得纪念碑顶端A的俯角∠AEN． 数据收集：∠ADM＝38.8°，∠AEN＝16.8°，测角仪到地面的高度CD＝1m，无人机在E处到地面的高度EC＝45m． 已知条件：AB⊥BC，DC⊥BC，E、D、C三点在一条直线上． 参考数据：sin16.8°≈0.29，cos16.8°≈0.96，tan16.8°≈0.30，sin38.8°≈0.63，cos38.8°≈0.78，tan38.8°≈0.80． 项目任务：请根据以上过程，求出陕甘边革命根据地纪念碑的高度AB． 【分析】如图，过A作AK⊥DE于K，结合题意可得：设EK＝x，而CE＝45，DK＝45﹣1﹣x＝44﹣x，表示，再进一步利用锐角三角函数建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过A作AK⊥DE于K，结合题意可得： 四边形ABCK是矩形，∠AEN＝∠EAK＝16.8°，∠ADM＝∠DAK＝38.8°， AB＝CK＝CD+DK＝1+DK， 设EK＝x，而CE＝45， ∴DK＝45﹣1﹣x＝44﹣x， ∵tan16.8°≈0.30， ∴， ∴， ∵tan38.8°≈0.80， ∴， ∴， 解得：x＝12，经检验符合题意； ∴AB＝CK＝45﹣x＝45﹣12＝33（m）， ∴陕甘边革命根据地纪念碑的高度AB为33m． 9．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，1.73） 【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别求出BM、BD，进而求出CN即可． 【详解】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM于D， 在Rt△ABM中，∠A＝60°，AB＝16cm， ∴BM＝AB•sinA ＝16 ＝8（cm）， ∵∠ABM＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝50°， ∴∠CBD＝50°﹣30°＝20°， ∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°， 在Rt△BCD中，BC＝8cm，∠BCD＝70°， ∴BD＝BC•sin70° ≈8×0.94 ＝7.52（cm）， CN＝DM＝BM﹣BD ＝87.52 ≈6.3（cm）， 答：点C到AE的距离约为6.3cm． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 20.5 测量与计算 同步练习 题型一 解直角三角形的应用 1．图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是80cm，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，则双翼的边缘AC、BD（AC＝BD）的长度为（　　） A． B．70cm C． D．80cm 2．下表是小颖填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 BE＝1.8m，CD＝2m，∠α＝20°，∠β＝60° 根据以上信息，可求出孔子像AE的高度约为（　　）（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan60°≈1.73） A．2.8m B．3.0m C．3.2m D．3.4m 3．光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线AO斜射到液面发生折射，折射光线为OB，折射角为∠BOD，测得∠BOD＝20°，OD⊥BD，OD＝10cm，则线段OB的长是 　 　cm．（结果精确到0.1，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 4．某校“数学”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图2是其测量示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，EF垂直平分AB，垂足为F，EF垂直平分CD，与CD交于点G．经测量，可知AB＝3.0m，CD＝5.0m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，则文化长廊的最高点到地面的高度EF约为 　 　m．（结果保留一位小数．参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07，） 5．某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片，如图所示的∠ABC为无人机某次空中飞行轨迹，D为BC延长线上一点，点A，B，C，D在同一平面内，∠B＝30°，∠ACD＝78.3°．若AC＝80米，求AB的长． （结果保留整数，参考数据：sin78.3°≈0.98，sin48.3°≈0.75，cos48.3°≈0.67，1.73） 题型二 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 6．如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（　　） A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D．米 7．如图，四边形ABCD是某护坡大坝的横截面，AD∥BC，坝顶宽AD为5米，斜坡AB的坡度为i＝1：3，斜坡CD的坡角为45°，坡长CD＝4米，则坝底宽约为（　　） A．16.3米 B．15.8米 C．13.8米 D．11.3米 8．如图，某水库堤坝的横断面为梯形，背水坡AD的坡比为1：1.5，坝高DE为10米，则背水坡AD长为（　　） A．米 B．15米 C．米 D．无法确定 9．已知一个斜坡的坡面长30米，铅直高度为15米，则这个斜坡的坡度为（　　） A．1：2 B．30° C．1： D．：1 10．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝8m，则坡面AB的长度 　 　m． 11．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度为，坝高BC＝3m，则AB的长度为 　 　． 题型三 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 12．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AL为（　　）km． A．6sin43° B．6cos43° C． D．6tan43° 13．如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 　 　． 14．某数学兴趣小组测量广场雕像的高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量广场雕像的高度 活动过程 测量示意图 测量工具 皮尺、测倾器 测量数据 α＝28.36°，β＝22.80°，AB＝1.6m，BD＝25.4m 计算雕像EF的高度 请计算雕像EF的高度．（参考数据：sin22.8°≈0.39，cos22.8°≈0.92，tan22.8°≈0.42，sin28.36°≈0.48，cos28.36°≈0.88，tan28.36°≈0.54，结果保留整数） 15．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC＝30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，1.73） 16．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度．（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数） 题型四 解直角三角形的应用-方向角问题 17．如图，甲乙两艘轮船从某港口O同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西60°，乙航行方向为北偏东30°，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点A、B处，则此时两船相距（　　）海里． A．36 B．40 C．48 D．50 18．如图，有一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的B处，那么此时轮船与灯塔P的距离为 　 　海里（结果用含根号的式子表示）． 1．如图，一架民航客机在飞行途中前方出现雷暴区域，机组请示后决定从C点处以仰角α直线爬升至云层上方，爬升后客机所在的A点处相对于C点处的飞行高度上升了AB＝1200米，则客机直线爬升的距离AC为（　　） A． B．1200sinα C．1200cosα D．1200tanα 2．如图，某社区广场内，小颖和爸爸玩跷跷板，其中跷跷板AB长为5米，若它的一端B着地，AB与水平地面BC所成的∠B＝α，则它的另一端A到地面BC的距离为（　　） A．5sinα米 B．5cosα米 C．5tanα米 D．米 3．如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，且AD＝20cm，AB＝160cm，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在海面上有两个疑似漂浮目标A、B，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口O出发赶往目的地．一艘搜救艇以6海里/时的速度沿北偏东60°的方向向目标A前进，同时另一艘搜救艇以8海里/时的速度向目标B前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 5．如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点A′，点B移至点B′，设∠ABC＝α，∠A′B′C＝β，则AA′＝（　　） A．（3sinα﹣3sinβ）m B．（3cosα﹣3cosβ）m C． D．（3tanα﹣3tanβ）m 6．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB＝200cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度BC＝20cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD＝280cm，遮阳棚与墙面的夹角∠BAD＝60°，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角∠CFG＝45°，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长为 　 　cm（结果保留根号）． 7．某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造．如图所示，改造前的斜坡米，坡度为1：4；将斜坡AB的高度AE提高20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造成斜坡CD，其坡度为1：1.5．则改造后斜坡CD的长为 　 　． 8．陕甘边革命根据地纪念碑是为了纪念陕甘边革命根据地创建80周年而修建．为继承优良革命传统，弘扬爱国主义精神，清明期间，某校组织学生前往陕甘边革命根据地缅怀革命先烈．借此机会数学小组成员开展了测量纪念碑高度的项目主题活动． 方案设计：如图，组员甲用测角仪在D处测出纪念碑顶端A的仰角∠ADM，组员乙从C处垂直升起一架无人机到E处，从E处测得纪念碑顶端A的俯角∠AEN． 数据收集：∠ADM＝38.8°，∠AEN＝16.8°，测角仪到地面的高度CD＝1m，无人机在E处到地面的高度EC＝45m． 已知条件：AB⊥BC，DC⊥BC，E、D、C三点在一条直线上． 参考数据：sin16.8°≈0.29，cos16.8°≈0.96，tan16.8°≈0.30，sin38.8°≈0.63，cos38.8°≈0.78，tan38.8°≈0.80． 项目任务：请根据以上过程，求出陕甘边革命根据地纪念碑的高度AB． 9．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，1.73） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$