第15讲 等差数列的概念及通项公式（知识清单+6题型讲解练+好题必刷）讲义-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版选择性必修第一册）

第15讲 等差数列的概念及通项公式 内容预览 知识清单 知识点01等差数列的概念 知识点02等差中项 知识点03等差数列的常用性质 知识点04等差数列的判定与证明 知识点05等差数列通项公式的概念、求解及应用 题型讲解 【题型一】等差中项及其应用 【题型二】 利用等差数列的性质计算 【题型三】 由递推关系证明数列是等差数列 【题型四】 利用定义求等差数列通项公式 【题型五】 等差数列通项公式的基本量计算 【题型六】 利用等差数列通项公式求数列中的项 好题必刷 知识清单 知识点01等差数列的概念 　　一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用d表示. 在等差数列{an}中，始终有an+1-an=d. 知识点02等差中项 　　如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A=，我们把A=叫作a和b的等差中项. 知识点03等差数列的常用性质 性质1：若{an}是公差为d的等差数列，则an=am+(n-m)d(n，m∈N*)，d=. 性质2：若{an}为等差数列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则ak+al=am+an，特别地，若k+l=2p，则ak+al=2ap. 性质3：若{an}是等差数列，其公差为d，则{a2n}也是等差数列，其公差为2d. 性质4：若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列. 性质5：若{an}是等差数列，其公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列. 性质6：若{an}是等差数列，其公差为d，则当d>0时，数列{an}为递增数列；当d<0时，数列{an}为递减数列；当d=0时，数列{an}为常数列. 知识点04等差数列的判定与证明 (1)定义法：an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法：2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列. (3)通项公式法：数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列(注意此方法一般不用作证明). 知识点05等差数列通项公式的概念、求解及应用 1.定义：一般地，对于等差数列{an}的第n项an，有an=a1+(n-1)d. 这就是等差数列{an}的通项公式，其中a1为首项，d为公差. 2. 求等差数列通项公式的常见方法 (1)基本量法：设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1，d，即可得数列的通项公式； (2)待定系数法：设通项公式为an=An+B，利用条件构建方程组，求出A，B，即可得数列的通项公式； (3)利用等差数列的性质：若{an}为等差数列，则可利用d= (n，m∈N*，m≠n)求出公差d，即可得出数列的通项公式，一般已知数列中的两项时用这种方法较简便. 3. 利用递推关系进行转化，构造等差数列，常见的转化形式如下 (1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数，则数列{an+1-an}是等差数列. (2)转化为-=常数，则数列是等差数列. (3)转化为-=常数，则数列是等差数列，其中c为常数. (4)转化为-=常数，则数列{}是等差数列. (5)转化为-=常数，则数列{}是等差数列. 4. 已知数列是等差数列，设数列中的项时通常有以下技巧： 若所给等差数列有2n(n∈N*)项，则可设为a-(2n-1)d，…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，a+(2n-1)d，数列的公差为2d；若所给等差数列有(2n+1)(n∈N*)项，则可设为a-nd，a-(n-1)d，…，a-d，a，a+d，…，a+(n-1)d，a+nd，数列的公差为d. 题型方法 【题型一】等差中项及其应用 【例1】在等差数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】若是与的等差中项，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．5 【变式2】在等差数列中，已知，则 ． 【变式3】已知数列是等差数列，，则（    ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 【题型二】 利用等差数列的性质计算 【例2】（24-25高二上·江苏常州·期末）等差数列中，若，则等于（ ） A． B．0 C． D．1 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知各项均为正数的等差数列的前n项和为，，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【变式2】（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知等差数列中，，则的值为 . 【变式3】（22-23高二上·江苏扬州·期中）在等差数列中，，则 . 【题型三】 由递推关系证明数列是等差数列 【例3】（22-23高二上·江苏扬州·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列. 【变式1】（23-24高二上·江苏常州·期末）设是正项数列的前项和，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）设是数列的前项和. 已知，当时，满足 . (1)若，求数列的通项公式； (2)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【题型四】 利用定义求等差数列通项公式 【例4】设是等差数列，且，，则数列的通项公式为 ． 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 【变式2】已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）数列的首项，且对任意，恒成立，则 ． 【题型五】 等差数列通项公式的基本量计算 【例5】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列是等差数列，，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知数列是首项为3，公差为2的等差数列，则（　　） A． B． C．23 D．25 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列中，若，，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式3】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为（   ） A．10.5尺 B．11.5尺 C．12.5尺 D．13.5尺 【题型六】 利用等差数列通项公式求数列中的项 【例6】（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知数列的通项公式，记数列落在区间内项的个数为，则 ． 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）等差数列中，若，则等于（    ） A． B．0 C． D．1 2．（22-23高三上·江苏·期末）“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（24-25高二上·江苏淮安·期末）《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共6升，下面3节的容积共12升，则第5节的容积为（    ）升. A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高二上·江苏苏州·期末）在1和7之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为x，第m个为y，则的最小值是（   ） A． B．4 C．3 D． 二、多选题 5．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知在等差数列中，，且，则公差等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 6．已知等差数列，下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 7．（22-23高二上·江苏南通·期中）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知该卫生纸的厚度为0.1mm，为了求出满盘时卫生纸的总长度，下列做法正确的是（    ） A．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.0，21.1，…，59.9 B．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.05，20.15，…，59.95 C．同心圆由内向外各圈周长组成一个首项为，公差为的等差数列 D．设卷筒的高度为，由等式可以求出卫生纸的总长 三、填空题 8．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）等差数列中，若，则的值为 ． 9．数列满足，则 . 10．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 11．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 12．①在数列中，若是常数，，则数列是等差数列；②设数列是等差数列，若，则；③数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；④若数列是等差数列，则，…也成等差数列，上述命题中，其中正确的命题的序号为 . 四、解答题 13．（23-24高二上·江苏·课前预习）在等差数列中， (1)已知，求与； (2)已知，，求. 14．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式. 15．（2023高二上·江苏·专题练习）已知数列满足，（）． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求的通项公式． 16．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知数组，，…，和，，…，，若，且（，3，…，），则称为的“应联数组”. (1)写出数组，3，1的“应联数组”； (2)若的“应联数组”是，证明：，，成等差数列； (3)若为偶数，且的“应联数组”是，求证：. 17．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知数列满足. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列； (3)令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 18．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知数列共有项，且各项均为正整数，设集合，记的元素个数为. (1)若为1，2，3，5，求及； (2)若是单调数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”； (3)若是由这个数组成，且这个数在中都至少出现一次，，求的所有可能值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 等差数列的概念及通项公式 内容预览 知识清单 知识点01等差数列的概念 知识点02等差中项 知识点03等差数列的常用性质 知识点04等差数列的判定与证明 知识点05等差数列通项公式的概念、求解及应用 题型讲解 【题型一】等差中项及其应用 【题型二】 利用等差数列的性质计算 【题型三】 由递推关系证明数列是等差数列 【题型四】 利用定义求等差数列通项公式 【题型五】 等差数列通项公式的基本量计算 【题型六】 利用等差数列通项公式求数列中的项 好题必刷 知识清单 知识点01等差数列的概念 　　一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用d表示. 在等差数列{an}中，始终有an+1-an=d. 知识点02等差中项 　　如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A=，我们把A=叫作a和b的等差中项. 知识点03等差数列的常用性质 性质1：若{an}是公差为d的等差数列，则an=am+(n-m)d(n，m∈N*)，d=. 性质2：若{an}为等差数列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则ak+al=am+an，特别地，若k+l=2p，则ak+al=2ap. 性质3：若{an}是等差数列，其公差为d，则{a2n}也是等差数列，其公差为2d. 性质4：若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列. 性质5：若{an}是等差数列，其公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列. 性质6：若{an}是等差数列，其公差为d，则当d>0时，数列{an}为递增数列；当d<0时，数列{an}为递减数列；当d=0时，数列{an}为常数列. 知识点04等差数列的判定与证明 (1)定义法：an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法：2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列. (3)通项公式法：数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列(注意此方法一般不用作证明). 知识点05等差数列通项公式的概念、求解及应用 1.定义：一般地，对于等差数列{an}的第n项an，有an=a1+(n-1)d. 这就是等差数列{an}的通项公式，其中a1为首项，d为公差. 2. 求等差数列通项公式的常见方法 (1)基本量法：设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1，d，即可得数列的通项公式； (2)待定系数法：设通项公式为an=An+B，利用条件构建方程组，求出A，B，即可得数列的通项公式； (3)利用等差数列的性质：若{an}为等差数列，则可利用d= (n，m∈N*，m≠n)求出公差d，即可得出数列的通项公式，一般已知数列中的两项时用这种方法较简便. 3. 利用递推关系进行转化，构造等差数列，常见的转化形式如下 (1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数，则数列{an+1-an}是等差数列. (2)转化为-=常数，则数列是等差数列. (3)转化为-=常数，则数列是等差数列，其中c为常数. (4)转化为-=常数，则数列{}是等差数列. (5)转化为-=常数，则数列{}是等差数列. 4. 已知数列是等差数列，设数列中的项时通常有以下技巧： 若所给等差数列有2n(n∈N*)项，则可设为a-(2n-1)d，…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，a+(2n-1)d，数列的公差为2d；若所给等差数列有(2n+1)(n∈N*)项，则可设为a-nd，a-(n-1)d，…，a-d，a，a+d，…，a+(n-1)d，a+nd，数列的公差为d. 题型方法 【题型一】等差中项及其应用 【例1】在等差数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求等差中项 【分析】利用等差中项的性质可求得的值，进而可求得的值. 【详解】由等差中项的性质可得，则. 故选：B. 【变式1】若是与的等差中项，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【知识点】等差中项的应用 【分析】根据等差中项的概念，列式即可求得答案. 【详解】由题意知是与的等差中项， 故，则. 故选：D 【变式2】在等差数列中，已知，则 ． 【答案】20 【知识点】等差中项的应用 【分析】运用等差中项的性质即可求解. 【详解】∵为等差数列， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20. 【变式3】已知数列是等差数列，，则（    ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 【答案】B 【知识点】等差中项的应用 【分析】 由于数列是等差数列，根据其性质可知，即可求得. 【详解】数列是等差数列 又 故选：B. 【题型二】 利用等差数列的性质计算 【例2】（24-25高二上·江苏常州·期末）等差数列中，若，则等于（ ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为为等差数列，且， 所以，所以， 所以. 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知各项均为正数的等差数列的前n项和为，，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质可得，运算得解. 【详解】因为，可得， 因为，解得. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知等差数列中，，则的值为 . 【答案】8 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列性质计算即可求得. 【详解】根据等差数列性质可得，可得； 所以可得. 故答案为：8 【变式3】（22-23高二上·江苏扬州·期中）在等差数列中，，则 . 【答案】6 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质可得，又，代入即可得解. 【详解】根据等差数列的性质可得：， 所以 又， 所以， 故答案为： 【题型三】 由递推关系证明数列是等差数列 【例3】（22-23高二上·江苏扬州·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）利用赋值法，由递推关系式依次求得； （2）将推递关系式进行变形，得到，从而得证. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以， 则， 故， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 【变式1】（23-24高二上·江苏常州·期末）设是正项数列的前项和，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由题中的递推公式可得，从而可求解. （2）由（1）可得，当时，求得，再验证，从而可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列． （2），且，所以． 当时，，． 时，不满足上式， 所以． 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）设是数列的前项和. 已知，当时，满足 . (1)若，求数列的通项公式； (2)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在且 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）求出、、，借助等差中项的性质有，可计算出，借助所得验证数列是否为等差数列即可得. 【详解】（1）由，可得，故， ， 由，故， 当时，由， 有，即， 所以 ； （2）当时，有，即， 当时，，即， 若数列为等差数列，则有， 即，解得， 故有，即， 又因为 ，所以，即数列为等差数列， 故存在，使得数列为等差数列. 【题型四】 利用定义求等差数列通项公式 【例4】设是等差数列，且，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由，，可求出，再求出公差，从而可求出数列的通项公式. 【详解】由题意，等差数列中，，， 所以，公差，所以. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 【答案】116 【知识点】判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】为首项为2，公差为6的等差数列，利用等差数列求通项公式求出答案. 【详解】与的所有公共项由小到大构成一个新的数列为， 故为首项为2，公差为6的等差数列， 所以， 所以. 故答案为：116 【变式2】已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】在等式两边取到数，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式. 【分析】因为数列满足，且，则， ，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边取倒数可得，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，，所以，. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）数列的首项，且对任意，恒成立，则 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据题意先求得，再将原条件转化为，再由递推关系可推导出是为等差数列，从而求得求得其通项公式，进而求解即可． 【详解】依题意可得，得， 又，则， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 所以． 故答案为：． 【题型五】 等差数列通项公式的基本量计算 【例5】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列是等差数列，，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出. 【详解】等差数列中，由，得公差， 所以. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知数列是首项为3，公差为2的等差数列，则（　　） A． B． C．23 D．25 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意，求得，即得，代入即得. 【详解】由题意，， 则，故. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列中，若，，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据给定条件，求出数列的公差即可计算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，，得， 所以. 故选：C 【变式3】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为（   ） A．10.5尺 B．11.5尺 C．12.5尺 D．13.5尺 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出立春的影子长即可. 【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列， 故可设该等差数列为，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别计为，，， ，，公差为，由题可得： ，即，解之得：， 所以立春的日影子长为：（尺）. 故选：C 【题型六】 利用等差数列通项公式求数列中的项 【例6】（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】首先由等差数列的通项公式求出公差d，则可求. 【详解】设等差数列的公差为d， 则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断等差数列、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】确定数列为等差数列，根据等差数列的通项公式，即可得答案. 【详解】因为，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故选：C． 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知数列的通项公式，记数列落在区间内项的个数为，则 ． 【答案】23 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由题意令，即该不等式的正整数解的个数即为所求. 【详解】由题意为数列落在区间内项的个数， 所以令，解得， 所以. 故答案为：23. 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列． 【答案】或 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】设这四个数依次为，由题意列方程组，解方程求出，即可得出答案. 【详解】设这四个数依次为(公差为)． 因为四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40， 所以，解得：或， ∴这个数列为或 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）等差数列中，若，则等于（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质和通项公式即可求解. 【详解】在等差数列中，有，所以， 公差， 所以， 故选：C. 2．（22-23高三上·江苏·期末）“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案. 【详解】如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有， 反之成立，不一定有数列是等差数列， 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏淮安·期末）《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共6升，下面3节的容积共12升，则第5节的容积为（    ）升. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】该等差数列为，公差为，由题意，结合等差数列下标之和的性质，即可求解. 【详解】记该等差数列为，公差为， 由题意可得，，， 因此，解得， 即第5节的容积为升. 故选：A 4．（24-25高二上·江苏苏州·期末）在1和7之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为x，第m个为y，则的最小值是（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，利用基本不等式1的代换，可求的最小值. 【详解】由等差数列的性质得，且， 则=≥=， 当且仅当，即时取等号，即的最小值是 故选：A. 二、多选题 5．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知在等差数列中，，且，则公差等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AB 【分析】结合等差数列的方程求解． 【详解】∵，，∴，解得或． 故选：AB． 6．已知等差数列，下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】CD 【分析】根据等差数列的定义和通项公式，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，又由， 因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以A不一定正确； 对于B中，由，又由， 因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以B不一定正确； 对于C中，因为，可得，且， 又因为，所以 又由，所以等号不成立，即，所以C正确. 对于D中，由等差数列的定义知，所以D正确. 故选：CD. 7．（22-23高二上·江苏南通·期中）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知该卫生纸的厚度为0.1mm，为了求出满盘时卫生纸的总长度，下列做法正确的是（    ） A．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.0，21.1，…，59.9 B．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.05，20.15，…，59.95 C．同心圆由内向外各圈周长组成一个首项为，公差为的等差数列 D．设卷筒的高度为，由等式可以求出卫生纸的总长 【答案】BCD 【分析】把绕在盘上的纸近似地看作是一组同心圆，从内到外，半径依次组成等差数列，分别计算出各圆的周长，再由体积求总长即可． 【详解】卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作一组同心圆，取半径时从每层纸的中间开始算，则由内向外各圈的半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，A选项错误，B选项正确； 这个等差数列首项，公差，由，得，解得； 设各圈周长的，则，，， 所以各圈的周长组成一个首项为，公差为，项数为400的等差数列，C选项正确； 利用体积相等，可得，D选项正确． 故选：BCD 三、填空题 8．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）等差数列中，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，再根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得，即， 所以. 故答案为：. 9．数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用来求得，进而求得正确答案. 【详解】，， 是数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以. 故答案为： 10．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 11．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得. 【详解】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 12．①在数列中，若是常数，，则数列是等差数列；②设数列是等差数列，若，则；③数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；④若数列是等差数列，则，…也成等差数列，上述命题中，其中正确的命题的序号为 . 【答案】①②③④ 【分析】对于①：利用等差数列的定义直接判断； 对于②：利用通项公式分别计算出左、右两边，即可证明； 对于③：由等差中项的定义进行判断； 对于④：利用等差数列的定义直接证明. 【详解】对于①：根据等差数列的定义，后一项与前一项的差为同一个常数，即是常数，，故①正确； 对于②：若数列是等差数列，则，所以，，，所以，. 因为，所以.故②正确； 对于③：由等差中项的定义可知：数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；故③正确； 对于④：若数列是等差数列，则. 令，则，，所以为同一个常数， 所以是等差数列，所以，…也成等差数列.故④正确. 故答案为：①②③④. 四、解答题 13．（23-24高二上·江苏·课前预习）在等差数列中， (1)已知，求与； (2)已知，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解； （2）利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】（1）由题意知，解得. （2）由题意知，即，解得， 所以， 即. 14．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题设递推式写出，； （2）根据递推式变形得，结合等差数列的定义即可证结论； （3）由（2）写出的通项公式，即可得通项公式. 【详解】（1）解：由题设，，. （2）证明：因为， 所以，即， 所以数列是首项，公差的等差数列. （3）由（2）得：， 所以. 15．（2023高二上·江苏·专题练习）已知数列满足，（）． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求的通项公式． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【详解】（1）当时，，即， 而不满足，所以不是等差数列． （2）由题，当时，是等差数列，且公差为2， 所以（），又不适合上式， 所以的通项公式为. 【点睛】数列从第2项起成等差，写通项公式时注意第n项是等差数列中的第几项. 16．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知数组，，…，和，，…，，若，且（，3，…，），则称为的“应联数组”. (1)写出数组，3，1的“应联数组”； (2)若的“应联数组”是，证明：，，成等差数列； (3)若为偶数，且的“应联数组”是，求证：. 【答案】(1)，6，. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用“应联数组”的定义，求出，，，得； （2）由“应联数组”的定义，有，化简得证，，成等差数列； （3）由“应联数组”的定义，有，化简可得. 【详解】（1）数组，3，1，，，， ，，得，，得， 所以，6，. （2）证明：由定义知，，，， ，…，， 所以， 即， 即，所以，，成等差数列. （3）证明：，，，…，， 由于为偶数， ， 即，所以. 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 17．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知数列满足. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列； (3)令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据递推关系求值即可； （2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列是以0为首项，以为公差的等差数列； （3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围． 【详解】（1）， ，，，， ，， （2）证明：由题可知：①， ②， ②-①得，即：， 所以，， 即，又， ∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列. （3）由（2）可得，，， 则， 由可得；由可得， ∴， 故有最大值，∴对任意，有，                如果对任意，都有成立， 则，∴ ，解得或， ∴实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：（1）本题的突破口是通过与的关系得到和的关系，进而通过构造等差数列或等比数列进行求解； （2）本题求解中巧妙地将恒成立问题转化为数列的最值问题求解．而求数列项的最值时，又通过判断数列的单调性进行，解题时可通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列项的最值． 18．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知数列共有项，且各项均为正整数，设集合，记的元素个数为. (1)若为1，2，3，5，求及； (2)若是单调数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”； (3)若是由这个数组成，且这个数在中都至少出现一次，，求的所有可能值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为，，，，所以，的可能情况有： ，，，，，， 所以，故. （2）不妨设为递增数列. 必要性：若是递增等差数列，设公差为，则. 则当时，，所以，则. 充分性：若. 因为是递增数列，所以， 所以，且互不相等，正好满足， 所以. 又， 所以，且互不相等. 所以， 即，所以为等差数列. 当为递减数列时，同理可证. 综上所述，“为等差数列”的充要条件是“”. （3）因为数列由这个数组成，任意两个不同的数作差， 差值只可能为和， 共个不同的值；且对任意的，和这两个数中至少有一个在中. 又因为这个数在数列中共出现次， 所以数列中存在，所以. 综上，. 设数列：. 此时，. 现对数列分别作如下变换： 把一个1移动到3，5之间，得到数列：. 此时，. 把一个1移动到5，7之间，得到数列：. 此时，.…… 把一个1移动到，之间，得到数列： . 此时，. 把一个1移动到，之间，得到数列：. 此时，. 再对数列依次作如下变换： 把一个1移为的后一项，得到新数列：. 此时，； 再把一个3移为的后一项：得到新数列：. 此时，； 依此类推，最后把一个移为的后一项： 得到新数列：. 此时，，. 综上所述，可以取到从到的所有个整数值， 故的所有可能值为. 【点睛】方法点睛：这类问题首先要会用特殊到一般的思想，从列举证明到归纳推理证明，从而来得到解答. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$