20.1《锐角三角函数 》正弦函数 课件2024-2025学年京改版九年级数学上册

——正弦 20.1 锐角三角函数 学习目标 1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系； 2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算； 导入新课 情景引入 比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于1174年动工兴建，1350年完工，是8层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成，塔高AB=54.5米，塔体总重量达1.42万吨.由于地面塌陷，该塔逐渐倾斜，现在塔顶偏离“自然姿势”的水平距离BC=5.2米.仔细看下图，你能求出比萨斜塔现在的倾斜角α是多少吗？ A B C “斜而未倒” BC=5.2m AB=54.5m α 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？ 情境引入 30° 已知直角三角形的边长求正弦值 从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ ? 合作探究 A B C 35m 30° A B C 30° 35m 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB. 根据“在直角三角形中，30°角所对的 边等于斜边的一半”, 即 可得 AB = 2BC =2×35=70 (m). 也就是说，需要准备 70 m 长的水管. 如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对 边与斜边的比都等于 . 归纳小结： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 因此 结论：在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？ A B C 综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值. 一般地，当∠A 为取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 问题 归纳： 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？ A B C A' B' C' 活动2：探究直角三角形中任意度数锐角对应边与斜边关系 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值． 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A ，即 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 归纳： ∠A的对边 斜边 sin A = ∵ ∠A=∠A’=α，∠C=∠C’=90° 证明： ∴Rt△ABC∽Rt△A’B’C’ BC·A′B′=AB·B′C′ 如图，△ABC和△A’B’C’都是直角三角形，其中∠A=∠A’=α， ∠C=∠C’=90°，则 成立吗？为什么？ ' ' ' ∴ ∴ BC·A'B'=B'C'·AB ∴ ∴ （两个相似三角形的对应边成比例） 也就是说？ 含有α角的直角三角形中，∠α的对边与斜边的比值是不变的。 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3,AB=5. （1）求 sinA 的值； （2）求sinB 的值. A B C 5 3 解： (1) (2) sinA = ( ) 1. 判断对错 √ sinB = ( ) × sinA= m ( ) 10 6 × 2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C ' ' 总结： 正弦是一个常量，与直角三角形的大小无关。 如图在Rt△ABC中，∠C=90°， , BC=3 ，求sinB的值。 60° 解：∵ ∠C=90°， ∴ ∵ BC=3 ∴ ∴ 4、如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4),连接OP,求OP与x轴正方向所夹锐角的正弦值为_____。 解： 过p点做一条垂直x轴的直线， 相交于点Q，构成Rt△OPQ，∠PQO=90° Q ∵P的坐标为（3，4）， ∴ OQ=3,PQ=4, 由勾股定理得 OP 2=OQ 2+PQ 2=3 2+4 2 5 2,  ∴ OP=5. 4 5 ∴ ∠POQ= d 解： 已知AB=220m,可设灵犀塔的高度为 X m 11X=10 X 220 11X=2200 X=200 答：灵犀塔的高度为200m。 当堂练习 1.在直角三角形ABC中，若三边长都扩大二倍，则锐角A的正弦值（ ) A.扩大2倍 B.不变 C.缩小2倍 D.无法确定 B 2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA=_____,sinB=_____, sinC=____. 3.如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=___________. 解析：连接CD，可得出∠OBD =∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OCD即可． 4.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值． 解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM= 2x，CD=4x. A D M E ∴EM2+CM2=CE2，∴△CEM是直角三角形， 课堂小结 2.注意： 1.定义： 在______三角形中，把锐角 α的______与_____的比叫做角α的_____，记作:______ 公式： 直角 对边 斜边 角α的对边 斜边 sin α = 正弦 sin α sin α的值与直角三角形的_______________无关，与___________有关。 大小（三边长度） 锐角的大小 斜边 对边 $$