第13章 三角形相关基础图形 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 【专题】三角形相关基础图形 典例解析 题型1 双(三)垂直模型 例1.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,CF⊥AB于点F,AD⊥BC于点D,AD与CF交于点E,∠B=46°. (1)求∠AEC的度数; (2)若AD=6,求CF的长. 解:(1)∵CF⊥AB,∴∠CFB=90°. ∵∠B=46°,∴∠BCF=44°. ∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°, ∴∠AEC=∠ADC+∠BCF=90°+44°=134°. (2)∵S△ABC=BC·AD=AB·CF,∴CF===. 针对训练 1.已知,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B. (1)如图1,求证:CD⊥AB; (2)将△ADC沿CD所在直线翻折,点A落在BD边所在直线上,记为点A'. ①如图2,若∠B=34°,求∠A'CB的度数; ②若∠B=n°,请直接写出∠A'CB的度数(用含n的代数式表示). 针对训练 (1)证明:∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCD=90°. ∵∠ACD=∠B,∴∠B+∠BCD=90°, ∴∠BDC=90°,∴CD⊥AB. (2)解:①当∠B=34°时,∴∠ACD=34°. 由折叠知,∠A'CD=∠ACD=34°, ∴∠A'CB=∠ACB-2∠ACD=90°-68°=22°; ②当∠B=n°,n≤45时,同①可得,∠A'CB=∠ACB-2∠ACD=90°-2n°; 当n>45时,由折叠知,∠ACD=∠A'CD=∠B=n°, ∴∠BCD=90°-n°, ∴∠A'CB=∠A'CD-∠BCD=n°-(90°-n°)=2n°-90°. 综上,∠A'CB的度数为90°-2n°或2n°-90°. 典例解析 题型2 角平分线与高线(或垂线)夹角模型 例2(1)如图1,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线.若∠B=38°,∠C=70°,则∠DAE 的度数为　 　;  (2)若(1)中∠B>∠C,其余条件不变,请直接写出∠DAE,∠B,∠C之间的数量关系; 解:(2)∠DAE=(∠B-∠C). 16° 针对训练 2.如图2,∠B=x,∠C=y,若把(1)中“AD是BC边上的高”改为“F是AE上一点,FD⊥BC于点D”,其余条件不变,试用含x,y的式子表示∠DFE的大小; 解∵∠EAC=∠BAC=(180°-x-y), ∴∠AEC=180°-∠C-∠EAC=180°-y-(180°-x-y) =90°+x-y, ∴∠DFE=90°-∠AEC=(y-x). 针对训练 3.如图3,若把(3)中“F是AE上一点”改为“F是AE的延长线上一点”,其余条件不变,试用含x,y的式子表示∠DFE的大小. 解∵∠EAC=∠BAC=(180°-x-y), ∴∠AEC=180°-∠C-∠EAC=90°+x-y, ∴∠DEF=∠AEC=90°+x-y, ∴∠DFE=90°-∠DEF=(y-x). 典例解析 题型3 双角平分线模型 例3如图,∠CBF,∠ACG是△ABC的外角,∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC,∠CBF的平分线BD,BE交于点D,E. (1)求∠DBE的度数; (2)若∠A=70°,求∠D的度数. 解:(1)∵∠DBG=∠ABC,∠EBG=∠CBF, ∴∠DBE=∠DBG+∠EBG=(∠ABC+∠CBF)=90°. (2)∵∠ACG-∠ABC=∠A=70°, ∠DBG=∠ABC,∠DCG=∠ACG, ∴∠D=∠DCG-∠DBG=(∠ACG-∠ABC)=35°. 针对训练 4.如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,CF平分△ABC的外角∠ACD,CF交BE的延长线于点F,直线CF与直线AB交于点P. (1)如图1,当∠BAC>90°时,已知∠CEF+∠P=90°. ①当∠P=48°,∠ACB=28°时,∠ABC=　 　°;  ②探究∠ABC与∠ACB的数量关系,并说明理由; 28 解:(1)②∠ABC=∠ACB.理由如下: 设∠CBE=x,∠ACB=y,则∠ABC=2x. ∵∠CEF=∠CBE+∠ACB,∴∠CEF=x+y. ∵∠CEF+∠P=90°,∴∠P=90°-x-y. ∵∠PCD=∠P+∠ABC,∴∠PCD=90°-x-y+2x=90°+x-y. ∵∠ACB+∠ACD=180°,∴∠ACD=180°-y. ∵CF平分∠ACD,∴∠PCD=∠ACD=(180°-y),则90°+x-y=(180°-y), ∴y=2x,即∠ABC=∠ACB. 针对训练 4.如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,CF平分△ABC的外角∠ACD,CF交BE的延长线于点F,直线CF与直线AB交于点P. (2)如图2,当∠BAC<90°时,已知∠CEF-∠P=90°.请问(1)中∠ABC与∠ACB的数量关系还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (2)∠ABC=∠ACB仍然成立.证明如下: 设∠CBE=m,∠ACB=n,则∠ABC=2m. ∵∠CEF=∠CBE+∠ACB,∴∠CEF=m+n. ∵∠CEF-∠P=90°,∴∠P=m+n-90°. ∵∠ABC+∠PBC=180°,∴∠PBC=180°-2m. ∵∠ACB+∠ACD=180°,∴∠ACD=180°-n. ∵CF平分∠ACD,∴∠ACF=∠ACD=(180°-n), ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°+n. ∵∠BCF=∠P+∠PBC,∴∠BCF=m+n-90°+180°-2m=90°-m+n, 则90°+n=90°-m+n,∴n=2m,即∠ABC=∠ACB. 典例解析 题型4 8字模型 例4如图1,线段AB,CD相交于点O,连接AD,BC. (1)求证:∠A+∠D=∠B+∠C; (2)如图2,延长AD,CB交于点E,分别在CD,AB的延长线上取点F,G,连接FG,分别交AE,CE于点M,N.求∠A+∠C+∠G+∠E+∠F的度数; (3)如图3,若将图2的每个角都截去,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+ ∠G+∠H+∠M+∠N=　 度.  1 080　 典例解析 题型4 8字模型 (1)证明:易知∠A+∠D+∠AOD =∠B+∠C+∠BOC=180°. ∵∠AOD=∠BOC, ∴∠A+∠D=∠B+∠C. (2)解:如答案图,连接AC. ∵∠F+∠G+∠FOG=∠OAC+∠OCA+∠AOC=180°, ∠AOC=∠FOG, ∴∠F+∠G=∠OAC+∠OCA. ∵∠EAC+∠ECA+∠E=180°, ∴∠EAO+∠ECO+∠G+∠E+∠F=180°. 针对训练 5.【模型】如图1,AD,BC交于点O,则∠A+∠B=∠C+∠D. 【模型应用】如图2,∠BAD和∠BCD的平分线交于点E. (1)若∠B=40°,∠D=30°,求∠E的度数; (2)直接写出∠E与∠B,∠D之间的数量关系是　 　.  解:(1)设AD与CE交于点M,AE与BC交于点N,如答案图. 易证∠D+∠MCD=∠E+∠MAE,∠E+∠NCE=∠B+∠NAB, ∴∠D+∠MCD+∠B+∠NAB=2∠E+∠MAE+∠NCE. ∵AE,CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线, ∴∠MCD=∠NCE,∠NAB=∠MAE, ∴∠B+∠D=2∠E, 即∠E=(∠B+∠D)=×(40°+30°)=35°. ∠E=(∠B+∠D) 典例解析 题型5 飞镖模型 例5如图,∠ABD,∠ACD的平分线交于点P.若∠A=48°,∠D=10°,求∠P的度数. 解:法一:如图,延长PC交BD于点E,设AC,PB交于点F. 易得∠A+∠ABF=∠P+∠PCF. ∵∠P+∠PBE=∠PED,∠PED=∠PCD-∠D, ∴∠P+∠PBE=∠PCD-∠D, ∴2∠P+∠PCF+∠PBE=∠A-∠D+∠ABF+∠PCD. ∵PB,PC分别平分∠ABD,∠ACD, ∴∠ABF=∠PBE,∠PCF=∠PCD, ∴2∠P=∠A-∠D. ∵∠A=48°,∠D=10°, ∴∠P=19°. 典例解析 题型5 飞镖模型 例5如图,∠ABD,∠ACD的平分线交于点P.若∠A=48°,∠D=10°,求∠P的度数. 法二:如图2,延长DC交AB于点E,设AC,PB交于点F. ∵∠ACD=∠A+∠AEC=48°+∠AEC, ∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°, ∴∠ACD=48°+∠ABD+10°, ∴∠ACD-∠ABD=58°. 易得∠P+∠PCF=∠A+∠ABF. 又∵BP,CP分别平分∠ABD,∠ACD, ∴∠P+∠ACD=∠A+∠ABD, ∴∠P=∠A-(∠ACD-∠ABD)=19°. 针对训练 6.如图1所示的图形,像我们常见的符号——箭号,我们不妨把这样的图形叫作“箭头四角形”. (1)【探究】观察“箭头四角形”,试探究∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的关系,并说明理由; (2)【应用】请你直接利用(1)问结论,解决下列两个问题: ①如图2,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY,XZ恰好经过点B,C.若∠A=60°,则∠ABX+∠ACX=　 　;  ②如图3,∠ABE,∠ACE的2等分线(即角平分线)BF,CF相交于点F.若∠BAC=60°,∠BEC=130°,求∠BFC的度数; 30° 针对训练 解:(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.理由如下: 如答案图,连接AD并延长至点E. ∵∠BDE=∠BAD+∠B,∠CDE=∠CAD+∠C, ∠BDC=∠BDE+∠CDE,∠BAC=∠BAD+∠CAD, ∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. (2)②由(1)知,∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE. ∵∠BAC=60°,∠BEC=130°, ∴∠ABE+∠ACE=∠BEC-∠BAC=70°. ∵BF平分∠ABE,CF平分∠ACE, ∴∠ABF=∠ABE,∠ACF=∠ACE, ∴∠BFC=∠BAC+∠ABF+∠ACF=∠BAC+ (∠ABE+∠ACE)=95°. 针对训练 (3)【拓展】如图4,BOi,COi分别是∠ABO,∠ACO的2 025等分线(i=1,2,3,…,2 023,2 024),它们的交点从上到下依次为O1,O2,O3,…,O2 024.已知∠BOC=m°,∠BAC=n°,则∠BO1 000C=  　(用含m,n的式子表示).  典例解析 题型6 风筝模型 例6如图,∠1,∠2,∠3分别是∠BAD,∠ABC,∠BCD的邻补角,判定下列大小关系:①∠1+∠3=∠ABC+∠D;②∠1+∠3<∠ABC+∠D; ③∠1+∠2+∠3=360°;④∠1+∠2+∠3>360°. 其中正确的是　 　.(填序号)  ① 针对训练 7.如图1,点D,E分别是四边形ABPC的边AB,AC的延长线上一点. (1)若∠A=80°,∠P=150°,则∠DBP+∠ECP=　 　; (2)如图2,分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM,CN.若BM∥CN,则∠A和∠BPC的关系为　 ;   230° ∠A=∠BPC　 针对训练 (3)如图3,分别作∠DBP和∠ECP的平分线,它们交于点O,请求出∠A,∠O和∠P之间的数量关系,并说明理由. (3)∠A+2∠O=∠P.理由如下: 易知∠DBP+∠ECP=∠A+∠P, ∴(∠DBP+∠ECP)=(∠A+∠P). ∵OB,OC分别平分∠DBP和∠ECP, ∴∠OBP+∠OCP=(∠DBP+∠ECP), ∴∠OBP+∠OCP=(∠A+∠P). 易知∠OBP+∠OCP+(∠360°-∠P)+∠O=360°, ∴(∠A+∠P)+∠O=∠P, ∴∠A+2∠O=∠P. 典例解析 题型7 角翻折模型 例7如图,把△ABC沿EF翻折,翻折后的图形如图.若∠A=60°,∠1=95°,则∠2的度数是(　 　) A.15° 　　　 B.20° C.25° 　　　 D.35° C 针对训练 8.如图,在△ABC中,∠B=28°.将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,则∠1-∠2=　 　.  56° 针对训练 9.(1)如图1,将∠BAC沿DE折叠,使点A落在∠BAC内部的点M处,当∠A=50°,∠BDM=30°时,求∠CEM的度数; 解:(1)如答案图1,连接AM. 根据折叠的性质,得∠DAE=∠DME=50°. ∵∠BDM=∠DAM+∠DMA, ∠CEM=∠EAM+∠EMA, ∴∠BDM+∠CEM=(∠DAM+∠EAM)+(∠DMA+∠EMA) =∠DAE+∠DME=100°, ∴∠CEM=100°-∠BDM=70°. 归纳总结 (2)如图2,将∠BAC沿DE折叠,使点A落在∠BAC外部的点M处,求图中∠A,∠BDM,∠CEM之间的数量关系; (2)如答案图2,设AC与DM交于点F. 根据折叠的性质,得∠A=∠M. ∵∠BDM=∠A+∠AFD, ∠AFD=∠CEM+∠M, ∴∠BDM=∠A+∠CEM+∠M=2∠A+∠CEM, ∴2∠A=∠BDM-∠CEM. 归纳总结 (3)如图3,将∠A,∠B一起沿EF折叠,使点A,B的对应点M,N分别落在射线BD的左右两侧.试探索∠A,∠B,∠CEM,∠DFN之间的数量关系,并证明. (3)2(∠A+∠B)=∠CEM-∠DFN+360°.证明如下: 法一:如答案图3,延长CA,DB交于点P. 由(2)知,2∠P=∠1-∠2,∴2(180°-∠PAB-∠PBA)=∠1-∠2, 即2(∠CAB+∠ABD-180°)=∠1-∠2, ∴2(∠CAB+∠ABD)=∠CEM-∠DFN+360°. 法二:如答案图3.根据折叠的性质,得 ∠3=∠FEM=(180°-∠1),∠4=∠NFE=(180°+∠2). 易知∠A+∠B+∠3+∠4=360°, ∴∠A+∠B+(180°-∠1)+(180°+∠2)=360°. 整理,得2(∠A+∠B)=∠1-∠2+360°, ∴2(∠A+∠B)=∠CEM-∠DFN+360°. 作业布置 课堂作业:P21复习题13的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $$