13.3.1　三角形的内角 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 13.3.1 三角形的内角 学习目标 1.如何证明三角形内角和是180°？ 2.能运用三角形内角和定理解决相关的求角度问题. 3.探索并掌握直角三角形两个锐角之间的关系 4.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形 重点：三角形内角和 难点：直角三角形的判定和性质 复习导入 想一想：关于角涉及到180°的有哪些知识？ A B C 我们怎么发现“三角形三个内角的和等于180°”的呢 ？ 感悟新知 知识点1 三角形的内角和定理 如何证明“三角形内角和等于180°”呢？ A B C l 3 2 1 过点A 作直线l ，使l ∥BC. 三角形内角和定理三角形的内角和等于1800 已知：△ABC. 求证：∠A +∠B +∠C =180° 证明： ∴∠B=∠3 ∠C=∠2 (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠3=180° ∴∠B+∠BAC+ ∠C=180° (平角的定义) (等量代换) 即：∠A+∠B+∠C=180° 证明方法还有那些？ 典例解析 题型1 三角形的内角和定理 例1在△ABC中,∠A=70°,∠A比∠B大10°,则∠C=　 　;  例2如图,在△ABC 中,∠B=32°,∠C=48°,AD 平分∠BAC,则∠ADC的度数是(　 　) A.80° B.82° C.98° D.100° 50° B 针对训练 1.如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,∠A=65°. (1)求∠BFC的大小; (2)若将题目中“∠A=65°”改为“∠A=α”, 则∠BFC的大小是多少? 解:(1)∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB, ∴∠FBC=∠ABC,∠FCB=∠ACB. ∵∠A=65°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-65°=115°. ∴∠FBC+∠FCB=(∠ABC+∠ACB)=57.5°. ∴∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=122.5°. (2)由(1)中推理易知:∠BFC=90°+α. 针对训练 2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于(　 　) A.45° B.60° C.75° D.90° 3.如图为两直线l,m与△ABC相交的情形,其中l,m分别与BC,AB平行.根据图中标示的角度,则∠B的度数为(　 　) A.55° B.60° C.65° D.70° C A 典例解析 题型1 三角形的内角和定理 例3 如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 解：∵∠DAB＝80°，∠DAC＝50°， ∴∠CAB＝∠DAB－∠DAC＝30° 由题意知AD∥BE，∠DAB＝80°， ∴∠EBA＝180°－∠DAB＝180°－80°＝100° ∵∠EBC＝40°， ∴∠ABC＝∠EBA－∠EBC＝60°. 在△ABC中，∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC ＝180°－30°－60°＝90° 北 北 C A B D E 50° 40° 针对训练 4.如图,B处在A处的南偏西42°方向,C处在A处的南偏东30°方向,C处在B处的北偏东72°方向,则∠ACB的度数是　 　.  78° 感悟新知 知识点2 直角三角形的判定 A B C 在△ABC 中， 若∠A +∠B =90°，这个三角形是什么三角形？ 直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 解：在△ABC 中， ∵　 ∠A +∠B =90° ∴　 ∠C =90° 　 典例解析 题型2 直角三角形的判定 例4在下列条件中: ①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=2∠C;⑤∠A=2∠B=3∠C中,能判定△ABC是直角三角形的条件有(　 　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 B 针对训练 在△DBC中，∠DBC＝180°－∠BDC－∠C ＝180°－80°－70°＝30°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°. 在△ABD中， ∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°， ∴△ABD是直角三角形． 解： 5.如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状. 感悟新知 知识点3 直角三角形的性质 A B C 解：在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90° 　　 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余.　　 在△ABC 中，若∠C =90°，求∠A +∠B 的度数吗？ 典例解析 题型3 直角三角形的性质 例5如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC, AD,BE相交于点F. (1)若∠CAD=36°,求∠AEF的度数; (2)求证:∠AEF=∠AFE. (1)解:∵AD⊥BC,∴∠ABD+∠BAD=90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠CAD=90°,∴∠ABD=∠CAD=36°. ∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠ABC=18°, ∴∠AEF=90°-∠ABE=72°. 典例解析 题型3 直角三角形的性质 例5如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC, AD,BE相交于点F. (1)若∠CAD=36°,求∠AEF的度数; (2)求证:∠AEF=∠AFE. (2)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE. ∵∠ABE+∠AEF=90°,∠CBE+∠BFD=90°, ∴∠AEF=∠BFD. ∵∠AFE=∠BFD,∴∠AEF=∠AFE. 针对训练 6.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于点E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的大小是(　 　) A.15° B.20° C.25° D.30° 7.如图,在△ABC中,AD是角平分线,AE是高.已知∠BAC=2∠B,∠B=2∠DAE,那么∠ACB的度数为　 　.  B 72° 典例解析 题型3 直角三角形的性质 例6如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？ C D E A B C D E A B 解：在Rt △ ACE中， ∠ CAE=90°－∠ AEC, 在 Rt △ BDE 中， ∠ DBE =90° －∠ BED. ∵ ∠ AEC = ∠ BED ， ∴ ∠ CAE= ∠ DBE . 针对训练 8.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°. 求∠ABE的度数. 解： ∵CD是AB上的高， ∴∠DBC＝90°－∠DCB＝90°－45°＝45°. ∵BE是AC上的高， ∴∠EBC＝90°－∠ECB＝90°－67°＝23°。 ∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝45°－23°＝22°。 模型归纳 数量关系: 如图1,∠1+∠2=∠3+∠4; 如图2,∠1+∠2=∠3+∠ACB; 如图3,∠1+∠2=∠3+∠4; 如图4,∠A+∠B=∠C+∠D. 归纳总结 1.三角形内角和定理 符号语言:如图,在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°. 2.三角形内角和定理的推论 (1)推论一: 符号语言:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∴∠A+∠B=90°. (2)推论二: 符号语言:如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°, ∴△ABC是直角三角形. 作业布置 课堂作业:P16习题13.3的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $$