22.2 二次函数与一元二次方程同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习 一、选择题 1．二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象如下图所示，若一元二次方程ax2+bx-m=0有实数根，则m的最小值为(　　) A．-3 B．3 C．-6 D．9 2．已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 3．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根. 则实数a 的取值范围是(　　). A．-1<a<0 B．a<-1 C． D． 4．二次函数中，自变量与函数的对应值如下表： 若，则下面叙述正确的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与轴的交点在轴的下方 C．对称轴是直线 D．若是方程的正数解，则 5．如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论： ；；方程有两个相等的实数根；抛物线与轴的另一个交点是；当时，有其中正确个数是 A． B． C． D． 二、填空题 7．二次函数 的图象如图所示， 若一元二次方程 有实数根， 则 的最大值为　 　. 8．下列表格是二次函数 中x，y的部分对应值，则一元二次方程 的一个近似解是　 　.（精确度0.1） 9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣3，2）、B（9，2）两点，下列四个结论： ①一元二次方程ax2+bx+c＝2＝0的根为x1＝﹣3，x2＝9； ②若点C（5，y1）、D（，y2）在该抛物线上，则y1＜y2； ③对于任意实数t，总有at2﹣9a≥3b﹣bt； ④对于a的每一个确定值（a＞0），若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则p≥2﹣36a． 其中正确的结论是　 　.（填写序号） 10．已知关于x的一元二次方程的两根分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则实数a的取值范围是　 　． 11．已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过两点，且．下列四个结论： ①；②若，则； ③若两点在抛物线上，，且，则； ④当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 其中正确的是　 　（填写序号）． 12．关于 的方程 的解是 = ， = （ 、 、 为常数， 0），则方程 的解是　 　． 三、解答题 13．已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围． （2）已知二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 14．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为___________，___________； （2）当时，直接写出的取值范围为___________； （3）当时，直接写出的取值范围是___________． 15．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 16．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝；x1•x2＝． 应用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1•x2＝　 　． （2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值． 17．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数． （1）当，时，请求出该函数图象上的完美点坐标； （2）已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，请求出该函数的解析式； （3）在（2）的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为1，求的取值范围． 18．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数， （1）当，时，请求出该函数的完美点； （2）已知二次函数的图像上有且只有一个完美点，请求出该函数； （3）在（2）的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 参考答案 1．A 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．7 8．6.2 9．①③④ 10． 11．①③④ 12． 13．（1）解：一元二次方程有实数根， ，即， ， 的取值范围为； （2）解：二次函数图象的对称轴为直线， 抛物线与轴两个交点关于直线对称， 由图可知抛物线与轴一个交点为， 另一个交点为， 一元二次方程的解为，． 14．（1），； （2）； （3） 15．（1）解：设二次函数的解析式为， ∵ 二次函数（b，c为常数）的图象经过点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵点B平移后的点的坐标为， ∴， 解得：或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 16．（1）2，1；（2）m≥﹣；（3）m的值为﹣ 17．（1）解：当a=1，c=2时，y=x2+4x+2， 令y=x，则x2+3x+2=0， 解得：x1=-1，x2=-2， ∴该函数的完美点为P1(-1，-1)，P2(-2，-2) （2）解：令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0， 由题意可得，图象上有且只有一个完美点， ∴Δ=9-4ac=0，则4ac=9. 又方程根为， ∴a=-1， ∴该二次函数的解析式为 （3）解：∵， ∴该二次函数图象如图所示，顶点坐标为(2，1)， 与y轴交点为(0，-3)，根据对称规律，点(4，-3)也是该二次函数图象上的点.在x=2左侧，y随x的增大而增大；在x=2右侧，y随x的增大而减小； ∵当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1， ∴2≤m≤4 18．解：（1）设该完美点的坐标为（m，m），∵a=1，c=2， ∴二次函数解析式为y=x2+4x+2， ∴m2+4m+2=m， 解得：m1=-1，m2=-2， ∴该函数的完美点为（-1，-1）和（-2，-2）． （2）∵二次函数的图像上有且只有一个完美点， ∴方程ax2+4x+c=x即ax2+3x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=9-4ac=0，即4ac=9， ∵完美点坐标为， ∴方程ax2+3x+c=0的根为=， 解得：a=-1， ∴c=， ∴该函数解析式为y=-x2+4x． （3）∵y=-x2+4x-=-x2+4x-3=-（x-2）2+1， ∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1）， ∵-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∴x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x的增大而增大， 当y=-3时，-x2+4x-3=-3， 解得：x1=0，x2=4， ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴m的取值范围为：2≤m≤4． 学科网（北京）股份有限公司 $$