精品解析：四川省内江市隆昌市知行中学2024-2025学年下学期九年级第一次核心素养测试数学学科试题

隆昌市知行中学2025年春季学期初2025届第一次核心素养 数 学 试 题 本试卷分为A卷和B卷两部分．A卷满分100分；B卷满分60分．全卷满分160分，考试时间120分钟． A卷（共100分） 注意事项： 1、答题前，考生务必将将自己的姓名学号班级等填写好． 2、答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．） 1. 的相反数是（ ） A 2025 B. C. D. 2. 气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 用5个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，则从左面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 6. 对于函数自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 7. 为了培养学生的阅读兴趣和提升文学素养，某市举行了一场中学生文学知识竞赛．经过激烈角逐，决赛成绩揭晓，以下是决赛成绩的分布情况： 成绩/分 人数 则本次文学知识竞赛决赛成绩的中位数和众数分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ） A B. C. D. 9. 某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，相交于点F，过F作的平行线交于点G，若，则的值是（　　） A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 11. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 12. 如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 因式分解4x2－64＝_____________． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为________． 15. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为______． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABCOA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，，反比例函数与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若的面积为，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17. 计算： 18. 如图，在四边形中，，点E在的延长线上，，连接，交边于点F，且，连接． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为菱形； （3）在（2）的条件下，若，，求菱形的面积． 19. 第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； （2）求A所在扇形的圆心角度数； （3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 20. 如图，小明所在的数学小组测量计算学校国旗旗杆的高度，小明先在教学楼前台阶的底部点C处，测得旗杆顶端A的仰角为，然后他上到台阶顶端点D处，再测旗杆顶端A的仰角为，已知教学楼前台阶的斜坡的坡度为，台阶斜坡的铅直高度为2米，求旗杆的高度．（参考数据：，，） 21. 如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC（）放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为，点A的坐标为，一次函数的图象经过点B，C，反比例函数图象也经过点B （1）求反比例函数的关系式； （2）直接写出当时的解集； （3）若P是y轴上一点，当是等腰三角形时，求出点P的坐标． B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22. 已知三个数x，y，z满足，，，则的值为__________． 23. 若，则值是__________ 24. 如图，矩形中，，，是边上的一个动点，将沿折叠，得到，则当最小时，折痕长为______． 25. 对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，，所以． （1）计算：=____． （2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y(，，x，y都是正整数)，规定：，当时，求k的最小值是____． 二、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 26. （2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元． （1）今年甲型号手机每台售价为多少元？ （2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ （3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？ 27. 如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，①求的半径；②求线段的长． 28. 如图，抛物线过点，，． （1）求抛物线的表达式； （2）设P是直线上方抛物线上一点，求出最大面积及此时点P的坐标； （3）若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 隆昌市知行中学2025年春季学期初2025届第一次核心素养 数 学 试 题 本试卷分为A卷和B卷两部分．A卷满分100分；B卷满分60分．全卷满分160分，考试时间120分钟． A卷（共100分） 注意事项： 1、答题前，考生务必将将自己的姓名学号班级等填写好． 2、答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．） 1. 的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键，根据相反数的定义直接进行判断即可． 【详解】解： 相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数 的相反数是 故选：A． 2. 气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：A． 3. 用5个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，则从左面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解左视图的定义，即从几何体的左面观察所得到的平面图形． 根据左视图的定义，从几何体的左面去观察这个由5个小立方块搭成的组合体，确定看到的小正方形的个数和排列方式，从而选出正确选项． 【详解】从左面看这个几何体，有两列．左边一列能看到上2个小正方形，右边一列只能看到1个小正方形，且在下方，符合这种情况的是选项B． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂除法、平方差公式、完全平方公式等知识点，掌握同底数幂的相关运算法则成为解题的关键． 根据幂的乘方、同底数幂除法、平方差公式、完全平方公式逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故A正确，符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D不正确，不符合题意． 故选：A． 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； 故选D． 6. 对于函数自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故选：C． 7. 为了培养学生阅读兴趣和提升文学素养，某市举行了一场中学生文学知识竞赛．经过激烈角逐，决赛成绩揭晓，以下是决赛成绩的分布情况： 成绩/分 人数 则本次文学知识竞赛决赛成绩的中位数和众数分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数定义，熟练掌握其定义是解题的关键．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，众数是在一组数据中出现次数最多的数据．根据众数，中位数的定义计算即可． 【详解】∵出现的次数最多， ∴众数为； ∵数据有个， ∴中位数是第个和第个数据的平均数， 即． 故选：A． 8. 如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解决本题的关键． 先把时间化为小时，设甲车的速度为，则乙车的速度为，表示出两车的时间，再根据时间相差5分钟建立方程即可． 【详解】解：，设甲车的速度为，根据题意可列方程： ， 故选：D． 10. 如图，已知四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，相交于点F，过F作的平行线交于点G，若，则的值是（　　） A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，由四边形是平行四边形，得，再证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵是的中点, ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴，， ∴， 解得： 故选: A． 11. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 12. 如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式组，正确求解方程与不等式组是关键；先解分式方程，根据解为正数求得a的范围；再解不等式组，根据解集为可求得a的范围，最后求得所有整数a并相加即可． 【详解】解：解得：， 则有， ∴； 但，即， ∴且； 解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 由题意知，， 综上，a的取值范围为且， ∴a取整数，，0，1，3，4，5， 其和为10． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 因式分解4x2－64＝_____________． 【答案】4（x+4）（x-4） 【解析】 分析】先提取公因式4，再利用平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），进行分解，即可求出答案． 【详解】解：4x2-64 =4（x2-16） =4（x+4）（x-4）． 故答案为：4（x+4）（x-4）． 【点睛】本题考查了提公因式法及公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程（为常数，且）的两个根时，，，也考查了一元二次方程的解． 先根据一元二次方程的解的定义得到，根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r． 【详解】解：由题意得：母线长l为，， ， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，，反比例函数与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若的面积为，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的的意义，得到点的坐标为，设，，根据列方程求出或（不合题意，舍去），得到反比例函数，则，，作点D关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接，则为最小值，利用勾股定理求出答案即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 则点的坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴反比例函数， ∴，， 作点D关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接， 则为最小值， ∴， 即的最小值是． 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及乘方、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握各运算法则进行计算． 分别根据乘方、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则，逐步计算各项，再算乘法，后算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在四边形中，，点E在的延长线上，，连接，交边于点F，且，连接． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为菱形； （3）在（2）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据可证，，再证，推出，等量代换可得； （2）先根据，证明四边形为平行四边形，再根据直角三角形斜边中线的性质推出，即可证明四边形为菱形； （3）先求出菱形的边长，作于点H，根据含30度角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，通过底乘高即可求出菱形的面积． 【小问1详解】 证明：，点E在的延长线上， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：，， 四边形为平行四边形， ，， 是斜边的中线， ， 四边形为菱形； 【小问3详解】 解：如图，作于点H， ，， ， 四边形为菱形， ， ，， ， ， ， 菱形的面积． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，难度不大，综合应用上述知识点是解题的关键． 19. 第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； （2）求A所在扇形的圆心角度数； （3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】（1）500，补全图形见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键． （1）用的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数，用调查总人数减去A（非常关注）、C（很少关注）、D（没有关注）三个选项的人数即可得到B（比较关注）选项的人数，即可补全条形图； （2）用乘以的人数所占比例即可解答； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； 【小问1详解】 解：本次调查共抽取了（名）． 选项B的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． 【小问2详解】 解：A所在扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由表格可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙同时被选中的概率为． 20. 如图，小明所在的数学小组测量计算学校国旗旗杆的高度，小明先在教学楼前台阶的底部点C处，测得旗杆顶端A的仰角为，然后他上到台阶顶端点D处，再测旗杆顶端A的仰角为，已知教学楼前台阶的斜坡的坡度为，台阶斜坡的铅直高度为2米，求旗杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】旗杆的高度为13.6米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交的延长线于点F，分别解直角三角形，直角三角形和直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：延长交的延长线于点F， ∵斜坡的坡度为， ∴， ∴， ∵斜坡的铅直高度为2米， ∴，米， ∵在端点D处，测得顶端A的仰角为， ∴， ∴，， ∵点C处，测得旗杆顶端A的仰角为， ∴ 在中，， 即：， ∴ 答：旗杆的高度为13.6米． 21. 如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC（）放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为，点A的坐标为，一次函数的图象经过点B，C，反比例函数图象也经过点B （1）求反比例函数的关系式； （2）直接写出当时的解集； （3）若P是y轴上一点，当是等腰三角形时，求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点P坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理和性质，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数和一次函数综合，等腰三角形的定义，正确应用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． （1）过点B作轴于点F．根据题意得，，再由各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出点B的坐标为，即可求解； （2）结合点B的坐标及图象可知在的情况下，当时，反比例函数图象在一次函数图象的上方即可求解； （3）分三种情况求解，①当时，②当时，则，③当时，设；结合图象利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点B作轴于点F． ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴点B的坐标为． 将点B的坐标代入反比例函数解析式可得， 解得 ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：结合点B的坐标及图象可知在的情况下，当时，反比例函数图象在一次函数图象的上方． 所以当时，的解集为：． 【小问3详解】 解：分三种情况求解，如下图所示． ①当时 ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ②当时，则 ∴ ∴ ③当时，设． ∴ ∴ ∵ ∴ ， 解得． ∴ 综上所述，点P坐标为或或或． B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22. 已知三个数x，y，z满足，，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由给定的三个等式可得其倒数，，，再将三个分式的分子拆分后相加可得的值，因所求式子的倒数为，所以求得的倒数即可解答； 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， ，， ①+②+③，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，当分式的分子较简单，分母中的各项与分子存在一定的倍数关系时，可利用取倒数的方法（即将分式的分子和分母的位置颠倒），将繁杂的分式化成简单的式子，使问题化难为易，从而降低解题难度． 23. 若，则的值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，分母有理化，先分母有理数化得出，求出，将原式变形为再将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 24. 如图，矩形中，，，是边上的一个动点，将沿折叠，得到，则当最小时，折痕长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系得出：当最小时的图形，利用勾股定理列出方程，求出的长度，进行解答即可． 【详解】连接AC，依题意可知：， 如图，当A、C、F三点共线时，取得最小值， 在矩形中，，，, ∴， 由折叠可知：,设， ∴,， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，二次根式的运算，掌握勾股定理进行求线段长度是解题的关键． 25. 对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，，所以． （1）计算：=____． （2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y(，，x，y都是正整数)，规定：，当时，求k的最小值是____． 【答案】 ①. 10 ②. ． 【解析】 【分析】（1）根据“相异数”定义列式计算即可； （2）由s=100x+32，t=150+y结合，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合的定义式，即可求出、的值，将其代入中，即可求出最小值． 【详解】解：（1）根据“相异数”的定了可得127的三个新三位数为：217，721，172， ∴， 故答案为：10； （2）∵s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵，，x，y都是正整数， ∴或或或或或， ∵s“相异数”， ∴且， ∵t是“相异数”， ∴且， ∴或或， ①当时，，则， ②当时，，则， ③当时，，则， ∴当时，k取得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算和二元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列式计算和列出关于未知数的方程． 二、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 26. （2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元． （1）今年甲型号手机每台售价为多少元？ （2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ （3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？ 【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x元，由题意得， =, 解得x=1500， 经检验x=1500是方程的解, 故今年甲型号手机每台售价为1500元； （2）设购进甲型号手机m台，由题意得， 17600≤1000m+800（20-m）≤18400， 8≤m≤12， 因为m只能取整数，所以m取8、9、10、11、12，共有5种进货方案； （3）方法一： 设总获利W元，购进甲型号手机m台，则 W=（1500-1000）m+（1400-800-a）（20-m）， W=（a-100）m+12000-20a， 所以当a=100时，（2）中所有的方案获利相同； 方法二： 由（2）知，当m=8时，有20-m=12， 此时获利y1=（1500-1000）×8+（1400-800-a）×12=4000+（600-a）×12， 当m=9时，有20-m=11， 此时获利y2=（1500-1000）×9+（1400-800-a）×11=4500+（600-a）×11， 由于获利相同，则有y1= y2．即4000+（600-a）×12=4500+（600-a）×11， 解之得a=100 ， 所以当a=100时，（2）中所有方案获利相同． 【解析】 【分析】（1）设今年甲型号手机每台售价为x元，根据：去年的销售量=今年的销售量，列方程求解； （2）设购进甲型号手机m台，则购进乙型号手机（20﹣m）台，根据：用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，列不等式组，求正整数m的可能取值； （3）根据总利润W=甲型号利润+乙型号利润，列出一次函数关系式，再求利润相同时，a的取值． 【详解】（1）设今年甲型号手机每台售价为x元，由题意得， ， 解得x=1500， 经检验x=1500是方程的解，且符合题意， 故今年甲型号手机每台售价为1500元． （2）设购进甲型号手机m台，由题意得， 17600≤1000m+800（20﹣m）≤18400， 8≤m≤12， 因为m只能取整数，所以m取8、9、10、11、12，共有5种进货方案． （3）设总获利W元，购进甲型号手机m台，则 W=m+（20﹣m）， W=（a﹣100）m+12000﹣20a， 所以当a=100时，（2）中所有的方案获利相同． 【点睛】本题考查的分别是：一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式组的应用． 27. 如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，①求的半径；②求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）①3；②2 【解析】 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到，推出，进而得到，再利用圆的切线的判定定理即可证明结论； （2）①连接，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到，进而得到，再利用锐角三角函数，求得，即可求出的半径； ②利用锐角三角函数，分别求出和的长，即可得到线段的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 点C是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：①如图，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为； ②由（1）可知，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键． 28. 如图，抛物线过点，，． （1）求抛物线的表达式； （2）设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标； （3）若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）的最大面积为，此时点P的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． （1）利用待定系数法可求解析式； （2）由待定系数法求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线，交于Q，设，则，则， ，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，过点M作于点N，证得是等腰直角三角形，可得，从而得到，当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长，再由，解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 将，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 如图，过点P作y轴的平行线，交于Q， 设，则，则， ∴ ， 即当时，的面积最大，最大为， 即的最大面积为，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，连接，过点M作于点N， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$