19.3 矩形、菱形、正方形 暑假巩固练习 2024-2025学年沪科版八年级数学下册

沪科版八年级下册 19.3 矩形、菱形、正方形 暑假巩固 一、根据直角三角形的性质求角 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若∠CDA＝120°，则∠B的度数是（　　） A.30° B.45° C.50° D.60° 2.如图，a∥b，Rt△ABC的顶点C在直线a上，∠ACB＝90°，AB交直线a于点D，点B在直线b上，∠1＝23°，若点D恰好为AB的中点，则∠ACD的度数为（　　） A.44° B.46° C.56° D.67° 3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD的度数是（　　） A.40° B.50° C.60° D.70° 4.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为　  　． 5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD＝56°，则∠EDB的度数为 　　度． 6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是BC的中点，∠A＝55°，求∠DEC的度数． 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若∠B＝33°，求∠ACD的度数． 二、根据矩形的性质求边长 1.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（　　） A.4 B. C.3 D.5 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝60°，BD＝8cm，则CD的长度为（　　） A.8cm B.6cm C.4cm D.2cm 3.点P是矩形内一点，且满足，，，则的值为（    ） A.3 B.5 C. D. 4.线段AC，BD为矩形ABCD的对角线，若AC＝6，则BD的长为 　　． 5.如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　  　． 6.如图，在中，，点D为边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连结． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的最小值． 7.如图，在矩形 中，，E为的中点，F是对角线上一动点（），为矩形内下方一点，连接与交于点G，已知，当为直角三角形时，求 三、根据正方形的性质求线段长 1.已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（    ） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　） A.7 B.3 C.8 D.3 3.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） A.2.5 B. C. D.2 4.如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E， 于点F．在点G的运动过程中，的值为       ． 5.如图等边与正方形的顶点B、C、D三点共线，动点P沿着由C向A运动．连接、，与交于点G．其中，． （1）若点P为中点，则      ． （2）点P沿着运动过程中，的最小值是      ． 6.[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 7.如图，点E是正方形的对角线上一点，的延长线交于点G，过点E作的垂线交线段于点F，交线段于点H． (1)证明：； (2)若，求的长． 四、根据矩形性质求角的度数 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOD＝120°，则∠OAB的度数是（　　） A.15° B.30° C.60° D.120° 2.如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（    ）    A. B. C. D. 3.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE．若∠ADB＝40°，则∠E的度数为（　　） A.10° B.20° C.25° D.30° 4.如图，在矩形ABCD中，连接AC，延长AB至点E，使BE＝AC，连接DE，若∠E＝20°，则∠BAC的度数是 　 　°． 5.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为 　 　． 6.如图，矩形ABCD的对角线的交点是O，CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE．求：∠DCE的度数． 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAD＝3∠BAE，求∠EAD的度数． 五、矩形的翻折变换问题 1.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上．现将矩形沿BN折叠，点A对应的点记为点M，点M恰好落在边DC上．若AB＝10，BC＝8，则图中DN的长为（　　） A.3 B. C.4 D.5 2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　） A.25° B.40° C.50° D.65° 3.在矩形中，，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如图所示，则的长为（    ） A. B. C. D. 4.如图，在矩形中，，，H是边上的点，将沿折叠，点B落在矩形内点P处，连接．    ①若，则的度数为               ． ②当点H是中点时，的长为               ． 5.如图，在矩形中，，P为边上一动点，连接，把沿BP折叠使A落在处，当为等腰三角形时，的长为           .    6.如图，将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，已知AF∥BE，DF∥CE，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H． （1）判断∠CGH与∠DFE是否相等，并说明理由； （2）①判断GH是否平分∠AGE，并说明理由； ②若∠DFA＝52°，求∠HGE的度数． 7.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD交于G点． （1）求证：AP＝DG； （2）求线段CG的长． 六、正方形的判定 1.已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（　　） A.∠D＝90° B.AB＝CD C.AB＝BC D.AC＝BD 2.如图，把▱ABCD补充条件（　　），可以得到正方形ABCD． A.AB＝AD B.AC＝BD C.AC⊥BD D.AC⊥BD且AC＝BD 3.如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的是（　　） A.AC＝BD，AC⊥BD B.AC＝BD，∠ABC＝90° C.BD平分∠ABC，AB＝BC D.AB＝BC，AC⊥BD 4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，这个条件可以是 　               　（写出一个条件即可）． 5.如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件 是　                 　（只需添加一个即可） 6.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB和∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CEDF正方形． 7.在筝形ABCD中，AD＝CD，AB＝BC，若∠ADC＝∠ABC，∠DAC＝45°，求证：筝形ABCD是正方形． 七、菱形性质和判定的综合 1.如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝3cm，四边形AOBC的面积为12cm2，则OC的长为（　　） A.5cm B.8cm C.10cm D.4cm 2.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（    ） A.， B. C.， D. 3.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　） A. B. C. D.5 4.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是 　     　． 5.如图，矩形的对角线于相交于点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接、．      （1）线段与的位置关系是      ； （2）若，，则四边形的周长为      ． 6.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E，F分别为，的中点，若连接，，，求四边形的周长． 7.如图，在中，，点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，，连接，． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，求四边形的周长． 八、坐标系中的菱形问题 1.在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A在x轴上，顶点B，C在y轴上，若点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，3），则顶点D的坐标为（　　） A.（﹣4，5） B.（﹣4，﹣2） C.（﹣4，5）或（﹣4，﹣5） D.（﹣4，5）或（﹣4，﹣2） 2.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A.（3，1） B.（3，﹣1） C.（1，﹣3） D.（1，3） 3.菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 4.菱形ABCD平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），则EP+BP的最小值是　      　． 5.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，﹣3），B（4，0），则点C的坐标为 　   　． 6.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标为（0，﹣4），顶点A、B分别在第二、三象限，AB交x轴负半轴于点D，∠B＝120°，求顶点A的坐标． 7.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0），点D在y轴上．求点D的坐标和对角线AC的长． 九、根据菱形的性质求线段长 1.在菱形ABCD中，AB＝4，菱形的周长为（　　） A.8 B. C.16 D. 2.如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线BD的长是（    ） A. B. C.6 D.3 3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．若AC＝8，则菱形ABCD的周长为（　　） A.32 B. C.16 D. 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，AC＝2cm，则BD的长为 　  　cm． 5.已知，如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE∥CD交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为 　 　． 6.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB＝6cm，∠BAO＝30°，点F为AB的中点． （1）求OF的长度； （2）求AC的长． 7.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DB＝2，AC＝4，求菱形的周长． 十、添加条件使四边形为菱形 1.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，添加下列条件后，▱ABCD不一定是菱形的为（　　） A.AC＝BD B.AC平分∠BAD C.AB＝BC D.AC⊥BD 2.若四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，再添加一个下列条件能使其成为菱形的是（　　） A.∠A＝∠B B.AC⊥BD C.∠A＝∠C D.AC＝BD 3.在▱ABCD中，AC、BD是对角线，补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（　　） A.AC＝BD B.AB＝AC C.AC⊥BD D.∠ABC＝90° 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是 　               　（写出一个即可）． 5.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　                  　，使四边形ABCD成为菱形． 6.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件 　        　，使得四边形ABCD是菱形，并说明理由． 7.数学课上，王老师出示了一道例题：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交BC，AD于E，F两点，连接AE，CF． 求证：四边形AECF是菱形． 全班同学经过分组讨论后认为：四边形AECF一定是平行四边形，要想证明该四边形是菱形还应当添加一个条件．小明认为：应当添加AE＝AF．小刚认为：应当添加EF⊥AC．请你从小明和小刚添加的条件中选一个完成该题的证明． （1）添加的条件是 　              　． （2）证明：　                  　． 十一、根据正方形的性质求角的度数 1.如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，若△PAB是等边三角形，则∠DPA的度数是（　　） A.60° B.75° C.80° D.90° 2.三个正方形的位置如图所示，若，则 (     ) A. B. C. D. 3.如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则（　　）    A.60° B.65° C.70° D.75° 4.已知正方形ABCD中，P为直线AD上一点，以PD为边做正方形PDEF，使点E在线段CD的延长线上，连接AC、AF．若，则的度数为        . 5.如图，在正方形中，点E是上一点，的垂直平分线交对角线于点N，交于点M，连接、．    （1）∠EBN＝    °； （2）若正方形边长为4，CE＝1，则AN＝    ． 6.在正方形中，点E，F分别是边 上的中点，点 P是一动点，记，，．    (1)如图1，若点P运动到线段的中点时， ， ． (2)如图2，若点P在线段上运动时，，和之间有何关系? (3)当点在直线上（在线段之外且与不重合）运动时，，和间又有何关系? 说明理由． 7.如图，正方形ABCD中，点E在正方形ABCD外，△AEB为等边三角形，求∠BED的度数． 十二、根据直角三角形的性质求边 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若BD＝3，则AC的长是（　　） A.4 B.5 C.6 D.8 2.在直角三角形中，两直角边的长分别为6和12，则斜边上中线的长为（　　） A.3 B.3 C.6 D.6 3.如图，在中，于点D，且是的中点，若则的长等于（     ） A.5 B.6 C.7 D.8 4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，BC＝6，则AC的长是 　　． 5.如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F．若AB＝10，则EF的长为 　　． 6.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，求CD． 7.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是AC，BD的中点． （1）证明：EF⊥BD； （2）若AC＝10，BD＝8，求EF的长． 十三、正方形性质的综合运用 1.如图，四边形ABCD为正方形，在AB、AD上分别取一点E和H，其中DHAD，BEAB，分别以BE和DH在正方形ABCD内部作正方形BEFG、正方形DHIJ，记多边形ELIMGB为图形①，多边形DJMFLH为图形②，若要求图形①和②的周长差，则需要知道（　　） A.BE和AB的差 B.MJ和IJ的差 C.AH和AE的差 D.AD和HD的差 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　） A.7 B.3 C.8 D.3 3.如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　　） A. B. C.12 D.16 4.如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A'B'C'D'，此时阴影部分的面积为 　     　cm2． 5.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC．则图中阴影部分的面积是 　   　． 6.已知：如图，正方形ABCD中，点E，M，N分别在AB，BC，AD边上，CE＝MN，求证：CE⊥MN． 7.如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O． （1）求证：△DAF≌△ABE； （2）写出线段AE、DF的数量和位置关系，并说明理由． 十四、根据菱形的性质求角的度数 1.如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝100°，BA＝BE，则∠EAD的度数为（　　） A.45° B.40° C.35° D.30° 2.在菱形ABCD中，如果∠B＝110°，那么∠D的度数是（　　） A.35° B.70° C.110° D.130° 3.如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，若∠ABC＝∠EAD＝70°，则∠CED的度数是（　　） A.70° B.60° C.55° D.50° 4.如图菱形ABCD中，∠B＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，连接DE，则∠ADE的度数是 　  　． 5.如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边，在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为　  　． 6.如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数． 7.如图所示，等边三角形AEF内接于菱形ABCD，若AE＝AB，求∠C的度数． 十五、根据菱形的性质求面积 1.已知菱形的周长为20cm，两条对角线的比为3：4，则菱形的面积为（　　） A.48 B.24 C.12 D.384 2.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边DC，AD的中点，连接BE，EF，BF．若菱形ABCD的面积为16，则△BEF的面积为（　　） A.8 B.7 C.6 D.5 3.在菱形ABCD中，AC＝CB＝4，则菱形ABCD的面积为（ㅤㅤ） A.16 B.4 C.8 D.8 4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝6，则菱形ABCD的面积为 　 　． 5.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是菱形ABCD内一点，连接BP、CP，且∠ABP+∠DCP＝90°，连接AP、DP，则△APD面积的最小值为 　 　． 6.如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)长为的线段AB，且A，B为格点； (2)边长为、面积为6的菱形CDEF，且菱形CDEF的顶点均为格点． 7.已知一个菱形的对角线的长分别是2+和2-. （1）求这个菱形的面积; （2）设菱形的边长为x ，求这个菱形的周长， 十六、矩形的性质和判定的综合运用 1.在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝11，过D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　） A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5 2.如图， 在中，，，，为边上一个动点，于点，上于点，为的中点，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 3.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　） A. B. C. D. 4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，且AD∥BC，AC的长为16，则DO的长为 　 　． 5.在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S▱ABCD＝　  　． 6.如图所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′＝B′D′． 7.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）已知∠DAB＝60°，若AD＝3，求DE的长度． 十七、坐标系中的正方形 1.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　） A.（，1） B.（﹣1，） C.（，1） D.（，﹣1） 2.如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（　　） A.（2，2） B.（﹣2，2） C.（﹣2，﹣2） D.（2，﹣2） 3.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C的坐标是（　　） A.（1，1） B.（﹣1，﹣1） C.（1，﹣1） D.（﹣1，1） 4.已知一个边长为4的正方形OABC，按如图所示的方式放在平面直角坐标系中，其中的一个顶点与原点重合，两边分别与x轴、y轴重合．则顶点A的坐标是　        　． 5.如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系．点A的坐标为（1，1），写出点B，C，D的坐标：B 　         　，C 　          　，D 　         　． 6.如图，正方形ABCD的边长为4，如果以AD的中点为原点，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，那么AB与x轴的位置关系是什么？BC与x轴的位置关系怎样？并写出A，B，C，D各点的坐标． 7.平面直角坐标系中，A（﹣1，3），C（2，﹣1），则以AC为对角线的正方形ABCD的顶点B、D坐标分别为多少？ 沪科版八年级下册 19.3 矩形、菱形、正方形 暑假巩固（参考答案） 一、根据直角三角形的性质求角 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若∠CDA＝120°，则∠B的度数是（　　） A.30° B.45° C.50° D.60° 【答案】D 【解析】∵∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC的中线， ∴CDAB＝AD＝DB， ∴∠B＝∠DCB， ∵∠CDA＝∠B+∠DCB＝120°， ∴∠B＝60°． 故选：D． 2.如图，a∥b，Rt△ABC的顶点C在直线a上，∠ACB＝90°，AB交直线a于点D，点B在直线b上，∠1＝23°，若点D恰好为AB的中点，则∠ACD的度数为（　　） A.44° B.46° C.56° D.67° 【答案】D 【解析】∵∠ACB＝90°，点D恰好为AB的中点， ∴CD＝BDAB， ∴∠1＝∠DCB＝23°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝67°， 故选：D． 3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD的度数是（　　） A.40° B.50° C.60° D.70° 【答案】D 【解析】在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴CD， ∴∠DCA＝∠A＝20°， ∴∠BCD＝90°﹣∠DCA＝70°， 故选：D． 4.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为　  　． 【答案】15°． 【解析】连接DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC的中点， ∴DEAC，BEAC，AE＝CE＝DE，AE＝BE＝CE， ∴DE＝BE， ∵∠DAC＝45°，∠BAC＝30°， ∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∠BAC＝∠EBA＝30°， ∴∠DEC＝∠ADE+∠DAC＝90°，∠BEC＝∠BAC+∠EBA＝60°， ∴∠DBE＝∠EDB（180°﹣∠DEB）（180°﹣90°﹣60°）＝15°， 故答案为：15°． 5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD＝56°，则∠EDB的度数为 　　度． 【答案】34． 【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点， ∴EA＝EB＝EC＝DE， ∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA， 在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE， 同理可得到：∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝2×56°＝112°， ∴∠EDB（180°﹣112°）＝34°． 故答案为：34． 6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是BC的中点，∠A＝55°，求∠DEC的度数． 【答案】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝55°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣55°＝35°， ∵CD⊥AB，E是BC的中点， ∴DE＝BEBC， ∴∠B＝∠BDE＝35°， ∴∠DEC＝∠B+∠BDE＝35°+35°＝70°． 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若∠B＝33°，求∠ACD的度数． 【答案】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线， ∴， ∴∠DCB＝∠B＝33°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝57°． 二、根据矩形的性质求边长 1.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（　　） A.4 B. C.3 D.5 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴OAAC，OBBD＝4，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB＝4； 故选：A． 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝60°，BD＝8cm，则CD的长度为（　　） A.8cm B.6cm C.4cm D.2cm 【答案】C 【解析】∵四边形ABD是矩形， ∴BD＝AC，OA＝OC，OB＝OD， ∵BD＝8cm， ∴OD＝4cm， ∵∠DOC＝∠AOB＝60°， ∴△DOC是等边三角形， ∴CD＝OD＝4cm， 故选：C． 3.点P是矩形内一点，且满足，，，则的值为（    ） A.3 B.5 C. D. 【答案】D 【解析】过点向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为，如图， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设， 则， ， ，，， ． 故选：D． 4.线段AC，BD为矩形ABCD的对角线，若AC＝6，则BD的长为 　　． 【答案】6． 【解析】∵线段AC，BD为矩形ABCD的对角线，AC＝6， ∴BD＝AC＝6； 故答案为：6． 5.如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　  　． 【答案】12． 【解析】∵M、N分别为BC、OC的中点， ∴BO＝2MN＝6． ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝2BO＝12． 故答案为12． 6.如图，在中，，点D为边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连结． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的最小值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示，连接 ∵四边形是矩形 ∴ ∴当最小时，最小 ∴当时，取得最小值 ∵，， ∴ ∴当时， ∴ ∴ ∴的最小值为，即的最小值为． 7.如图，在矩形 中，，E为的中点，F是对角线上一动点（），为矩形内下方一点，连接与交于点G，已知，当为直角三角形时，求 【答案】解：∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵为的中点， ∴． 当为直角三角形时，分为或， 当时，如解图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 在中，； 当时，如解图②，连接， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，． 综上所述，当为直角三角形时，的值为或． 三、根据正方形的性质求线段长 1.已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（    ） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】∵四边形是正方形 ∴ ∵正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根， ∴， ∴ ∴正方形的周长为． 故选：B． 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　） A.7 B.3 C.8 D.3 【答案】D 【解析】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为3， ∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF+∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab， 又∵a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15， 即（a+b）2＝15， ∴a+b，即BG+CG， ∴△BCG的周长3， 故选：D． 3.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） A.2.5 B. C. D.2 【答案】B 【解析】连接AC、CF，如图， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， ∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，ACBC，CFCE＝3， ∴∠ACF＝45°+45°＝90°， 在Rt△ACF中，AF2， ∵H是AF的中点， ∴CHAF． 故选：B． 4.如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E， 于点F．在点G的运动过程中，的值为       ． 【答案】4 【解析】正方形的边长为4， ， 于点E， 于点F． 四边形是矩形，且是等腰三角形， ， 故答案为：4 5.如图等边与正方形的顶点B、C、D三点共线，动点P沿着由C向A运动．连接、，与交于点G．其中，． （1）若点P为中点，则      ． （2）点P沿着运动过程中，的最小值是      ． 【答案】 【解析】解：（1）过点P作于点Q， ∵等边，，点P为中点， ∴，， ∴， ∴，， ∵正方形，， ∴，，， ； 故答案为： （2）当时，取得最小值， ，， ， ∵， ∴， 设，则， 由得， 解得， ，，， ． 故答案为： 6.[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1）解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3）解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图：    当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 7.如图，点E是正方形的对角线上一点，的延长线交于点G，过点E作的垂线交线段于点F，交线段于点H． (1)证明：； (2)若，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 四、根据矩形性质求角的度数 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOD＝120°，则∠OAB的度数是（　　） A.15° B.30° C.60° D.120° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2OA，BD＝2BO，AC＝BD， ∴OB＝OA， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB为等边三角形， ∴∠OAB＝60° 故选：C． 2.如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵正五边形内角和为：， ∴， ∵ ∴ 故选：B 3.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE．若∠ADB＝40°，则∠E的度数为（　　） A.10° B.20° C.25° D.30° 【答案】B 【解析】连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OD， ∵∠ADB＝40°， ∴∠ADB＝∠CAD＝40°， ∴∠E＝∠DAE， 又∵BD＝CE， ∴CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E＝40°，即∠E＝20°． 故选：B． 4.如图，在矩形ABCD中，连接AC，延长AB至点E，使BE＝AC，连接DE，若∠E＝20°，则∠BAC的度数是 　 　°． 【答案】40° 【解析】连接BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OBBD，OAAC， ∴OA＝OB， ∴∠BAC＝∠ABD， ∵BE＝AC， ∴BE＝BD， ∴∠BDE＝∠E＝20°， ∴∠ABD＝∠E+∠BDE＝20°+20°＝40°， ∴∠BAC＝40°． 故答案为：40． 5.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为 　 　． 【答案】28°． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠AOD＝124°， ∴， ∵DE⊥AC， ∴∠CDE＝90°﹣∠OCD＝28°， 故答案为：28°． 6.如图，矩形ABCD的对角线的交点是O，CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE．求：∠DCE的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD＝90°，OC＝OD， ∵CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE， ∴∠DOC＝∠ECO＝45°， ∴∠DCO67.5°， ∴∠DCE＝∠DCO﹣∠OCE＝22.5°， 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAD＝3∠BAE，求∠EAD的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAD＝3∠BAE， ∴∠EAD∠BAD90°＝67.5°． 五、矩形的翻折变换问题 1.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上．现将矩形沿BN折叠，点A对应的点记为点M，点M恰好落在边DC上．若AB＝10，BC＝8，则图中DN的长为（　　） A.3 B. C.4 D.5 【答案】A 【解析】由折叠的性质得到：MB＝AB＝10，MN＝AN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝8，CD＝AB＝10， ∴MC6， ∴MD＝CD﹣MC＝4， 令DN＝x， ∴MN＝AN＝8﹣x， ∵MN2＝DN2+DM2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， ∴x＝3， ∴DN＝3． 故选：A． 2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　） A.25° B.40° C.50° D.65° 【答案】C 【解析】由折叠可知，∠DEF＝∠D'EF， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝65°， ∴∠AED'＝180°﹣∠DEF﹣∠EFB＝50°， 故选：C． 3.在矩形中，，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如图所示，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由折叠的性质可得出， 设， 则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 即， 解得：， 故的长为10． 故选：C． 4.如图，在矩形中，，，H是边上的点，将沿折叠，点B落在矩形内点P处，连接．    ①若，则的度数为               ． ②当点H是中点时，的长为               ． 【答案】 /64度 【解析】解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠，点B落在矩形内点P处，， ∴， ∴， ∴； ②连接，交于E，如下图所示，    ∵沿折叠， ∴垂直平分，，， 又∵点H是中点， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴，解得， 在中，由勾股定理得，． 5.如图，在矩形中，，P为边上一动点，连接，把沿BP折叠使A落在处，当为等腰三角形时，的长为           .    【答案】或/3和 【解析】①如图，当时，过作，交于E，交于F，则垂直平分，垂直平分，    ∴， 由折叠得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； ②如图，当时， 由折叠得，， ∴， 连接，则中，， ∴（不合题意）， 故这种情况不存在； ③如图，当时，    由折叠得，， ∴， ∴点落在上的中点处， 此时，， ∴． 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或． 故答案为：或． 6.如图，将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，已知AF∥BE，DF∥CE，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H． （1）判断∠CGH与∠DFE是否相等，并说明理由； （2）①判断GH是否平分∠AGE，并说明理由； ②若∠DFA＝52°，求∠HGE的度数． 【答案】解：（1）∠CGH＝∠DFE， 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴CG∥DF，∵GH∥EF， ∴∠AGC＝∠AFD，∠AGH＝∠AFE， ∵∠CGH＝∠AGC+∠AGH，∠DFE＝∠DFA+∠AFE， ∴∠CGH＝∠DFE； （2）①GH平分∠AGE； 理由如下： ∵GH∥EF， ∴∠AGH＝∠AFE，∠HGE＝∠GEF， ∵CE∥DF， ∴∠1＝∠GEF， ∵∠1＝∠GFE， ∴∠GFE＝∠GEF， ∴∠AGH＝∠EGH， ∴GH平分∠AGE； ②∵将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠， ∴∠EFG＝∠1， ∵∠DFG＝52°， ∴∠EFG＝64°， ∵GH∥EF， ∴∠AGH＝∠AFE＝64°， ∵∠EGF＝∠DFG＝52°， ∴∠HGE＝64°． 7.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD交于G点． （1）求证：AP＝DG； （2）求线段CG的长． 【答案】（1）证明∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8， 根据题意得：△ABP≌△EBP， ∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8， 在△ODP和△OEG中，， ∴△ODP≌△OEG（ASA）， ∴OP＝OG，PD＝GE， ∴DG＝EP， ∴AP＝DG； （2）解：设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x， ∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x， 根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2， 即62+（8﹣x）2＝（x+2）2， 解得：x＝4.8， ∴AP＝4.8， ∴CG＝8﹣4.8＝3.2． 六、正方形的判定 1.已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（　　） A.∠D＝90° B.AB＝CD C.AB＝BC D.AC＝BD 【答案】C 【解析】由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定四边形ABCD为矩形， 因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形， 故选：C． 2.如图，把▱ABCD补充条件（　　），可以得到正方形ABCD． A.AB＝AD B.AC＝BD C.AC⊥BD D.AC⊥BD且AC＝BD 【答案】D 【解析】根据正方形的判别方法知，可添加对角线互相垂直且相等，即：AC⊥BD且AC＝BD，故选D． 3.如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的是（　　） A.AC＝BD，AC⊥BD B.AC＝BD，∠ABC＝90° C.BD平分∠ABC，AB＝BC D.AB＝BC，AC⊥BD 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， 添加AC＝BD，可得平行四边形ABCD是矩形，再由AC⊥BD可得平行四边形ABCD是正方形，故A选项符合题意； 添加AC＝BD，∠ABC＝90°，可得平行四边形ABCD是矩形，得不到是正方形，故B选项不合题意； 添加BD平分∠ABC，AB＝BC，可得平行四边形ABCD是菱形，得不到是正方形，故C选项不合题意； 添加AB＝BC，AC⊥BD，可得平行四边形ABCD是菱形，得不到是正方形，故D选项不合题意； 故选：A． 4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，这个条件可以是 　               　（写出一个条件即可）． 【答案】AB＝AD（答案不唯一）． 【解析】这个条件可以是AB＝AD（答案不唯一）， 理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 5.如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件 是　                 　（只需添加一个即可） 【答案】∠ABC＝90°或AC＝BD． 【解析】条件为∠ABC＝90°或AC＝BD， 理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ABC＝90°或AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD． 6.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB和∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CEDF正方形． 【答案】证明：如图： 过D作DG⊥AB，交AB于点G， ∵∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°， ∴四边形CEDF为矩形， ∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB， ∴DF＝DG； ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC， ∴DE＝DG， ∴DE＝DF， ∴四边形CEDF为正方形． 7.在筝形ABCD中，AD＝CD，AB＝BC，若∠ADC＝∠ABC，∠DAC＝45°，求证：筝形ABCD是正方形． 【答案】证明：∵AD＝DC，∠DAC＝45°， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°， ∴筝形ABCD是矩形， 又∵AD＝DC， ∴筝形ABCD是正方形． 七、菱形性质和判定的综合 1.如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝3cm，四边形AOBC的面积为12cm2，则OC的长为（　　） A.5cm B.8cm C.10cm D.4cm 【答案】B 【解析】根据作图，AC＝BC＝OA， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝BC＝AC， ∴四边形OACB是菱形， ∵AB＝3cm，四边形OACB的面积为12cm2， ∴AB•OC3×OC＝12， 解得OC＝8cm． 故选：B． 2.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（    ） A.， B. C.， D. 【答案】D 【解析】解四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形， ∴，， 四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）； 过点分别作，边上的高为，．则 （两纸条相同，纸条宽度相同）； 平行四边形中，，即， ，即．故B正确； 平行四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）． ，（菱形的对角相等），故A正确； ，（平行四边形的对边相等），故C正确； 如果四边形是矩形时，该等式成立．故D不一定正确． 故选：D． 3.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　） A. B. C. D.5 【答案】A 【解析】过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O， ∵两条纸条宽度相同， ∴AE＝AF． ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE． 又∵AE＝AF． ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD， ∴BO2， ∴BD＝4， ∴四边形ABCD的面积4， 故选：A． 4.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是 　     　． 【答案】24． 【解析】∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA， ∴DF＝AF， ∴平行四边形AEDF为菱形． ∴AE＝DE＝DF＝AF＝6， ∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24， 即四边形AEDF的周长是24， 故答案为：24． 5.如图，矩形的对角线于相交于点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接、．      （1）线段与的位置关系是      ； （2）若，，则四边形的周长为      ． 【答案】 【解析】（1）由折叠知，在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在矩形中，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 在中，∵，， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的周长为． 6.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E，F分别为，的中点，若连接，，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：平行四边形中， 四边形是菱形， ； （2）解：点E，F分别为，的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为： ． 7.如图，在中，，点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，，连接，． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】（1）证明∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是平行四边形，， ∴，，，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， ∴四边形的周长为． 八、坐标系中的菱形问题 1.在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A在x轴上，顶点B，C在y轴上，若点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，3），则顶点D的坐标为（　　） A.（﹣4，5） B.（﹣4，﹣2） C.（﹣4，5）或（﹣4，﹣5） D.（﹣4，5）或（﹣4，﹣2） 【答案】C 【解析】如图， ∵A（﹣4，0），B（0，3），点B，C在y轴上， ∴OA＝4，OB＝3， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC， ∵0+5＝5，0﹣5＝﹣5， ∴D点的坐标为（﹣4，﹣5）或（﹣4，5）， 故选：C． 2.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A.（3，1） B.（3，﹣1） C.（1，﹣3） D.（1，3） 【答案】B 【解析】连接AB交OC于点D， ∵四边形OACB是菱形， ∴AB⊥OC，AD＝BD＝1，OD＝CD＝3， ∴点B的坐标是（3，﹣1）． 故选：B． 3.菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：作轴于点D， 则， ∵四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴ 则点C的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为 故选：D． 4.菱形ABCD平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），则EP+BP的最小值是　      　． 【答案】 【解析】连接ED，如图， ∵点B的对称点是点D， ∴DP＝BP， ∴ED即为EP+BP最短， ∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB＝60°， ∴点D的坐标为（1，）， ∵点E的坐标为（0，﹣1）， ∴ED， 故答案为： 5.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，﹣3），B（4，0），则点C的坐标为 　   　． 【答案】（4，5）． 【解析】∵A（0，﹣3），B（4，0）， ∴AO＝3，BO＝4， ∴AB5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝5，BC∥AD， ∴点C（4，5）， 故答案为：（4，5）． 6.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标为（0，﹣4），顶点A、B分别在第二、三象限，AB交x轴负半轴于点D，∠B＝120°，求顶点A的坐标． 【答案】解：∵四边形OABC是菱形，点C的坐标为（0，﹣4）， ∴OA＝OC＝4，AO∥BO， ∵∠B＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠AOD＝30°， ∴， 在Rt△AOD中，AD2+DO2＝AO2， ∴， ∵点A在第二象限， ∴A的坐标为． 7.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0），点D在y轴上．求点D的坐标和对角线AC的长． 【答案】解：∵A（0，4），B（﹣3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB5， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝BC＝AB＝5，BC∥AD， ∴D（0，﹣1），C（﹣3，﹣5）， ∴AC3． 九、根据菱形的性质求线段长 1.在菱形ABCD中，AB＝4，菱形的周长为（　　） A.8 B. C.16 D. 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∴菱形的周长＝4×4＝16， 故选：C． 2.如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线BD的长是（    ） A. B. C.6 D.3 【答案】B 【解析】解：连接AC，交BD于点O， ∵菱形ABCD中∠ABC=60°，AB=3， ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=AC ∴AO=×3=， ∴BO=， ∴BD=2BO=2×=， 故选B 3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．若AC＝8，则菱形ABCD的周长为（　　） A.32 B. C.16 D. 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD， ∴∠B+∠BAD＝180°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝8， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝32， 故选：A． 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，AC＝2cm，则BD的长为 　  　cm． 【答案】4． 【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC＝2cm， ∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝1cm， ∵ABcm， ∵BO2cm， ∴DO＝BO＝2cm， ∴BD＝4cm， 故答案为：4． 5.已知，如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE∥CD交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为 　 　． 【答案】3cm． 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD＝6cm，BO＝DO， ∵OE∥CD， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OECD＝3cm， 故答案为：3cm． 6.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB＝6cm，∠BAO＝30°，点F为AB的中点． （1）求OF的长度； （2）求AC的长． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 在Rt△AOB中 OF为斜边AB边上的中线 ∴OFAB＝3（cm）． （2）在Rt△AOB中∠OAB＝30°， ∴OBAB＝3（cm）， 由勾股定理得OA3 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO＝6． 7.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DB＝2，AC＝4，求菱形的周长． 【答案】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OAAC4＝2，OBBD2＝1，AC⊥BD， ∴AB， ∴菱形的周长为4． 十、添加条件使四边形为菱形 1.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，添加下列条件后，▱ABCD不一定是菱形的为（　　） A.AC＝BD B.AC平分∠BAD C.AB＝BC D.AC⊥BD 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，要是其成为一菱形， A中对角线相等不能满足条件，A错误， 而B，C，D均可使在四边形是平行四边形的基础上满足其为菱形 故选：A． 2.若四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，再添加一个下列条件能使其成为菱形的是（　　） A.∠A＝∠B B.AC⊥BD C.∠A＝∠C D.AC＝BD 【答案】B 【解析】再添加一个下列条件能使其成为菱形的是AC⊥BD，理由如下： ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故选：B． 3.在▱ABCD中，AC、BD是对角线，补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（　　） A.AC＝BD B.AB＝AC C.AC⊥BD D.∠ABC＝90° 【答案】C 【解析】添加一个条件为AC⊥BD，理由如下： ∵四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 故选：C． 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是 　               　（写出一个即可）． 【答案】AE＝AB（答案不唯一）． 【解析】这个条件可以是AE＝AB，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∵AE＝FB， ∴四边形AEFB是平行四边形， 又∵AE＝AB， ∴平行四边形AEFB是菱形， 故答案为：AE＝AB（答案不唯一）． 5.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　                  　，使四边形ABCD成为菱形． 【答案】AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD 或ADB＝∠CBD 等）． 【解析】当添加“AD∥BC”时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加：“AB＝CD”时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加“OB＝OD”时， ∵AD＝BC，AC⊥BD， ∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL）， ∴AO＝CO，DO＝BO， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加：“∠ADB＝∠CBD”时， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD 或ADB＝∠CBD等 ）． 6.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件 　        　，使得四边形ABCD是菱形，并说明理由． 【答案】解：AB＝AD． 理由：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠ABE＝∠CDF， ∴AB∥CD， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 7.数学课上，王老师出示了一道例题：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交BC，AD于E，F两点，连接AE，CF． 求证：四边形AECF是菱形． 全班同学经过分组讨论后认为：四边形AECF一定是平行四边形，要想证明该四边形是菱形还应当添加一个条件．小明认为：应当添加AE＝AF．小刚认为：应当添加EF⊥AC．请你从小明和小刚添加的条件中选一个完成该题的证明． （1）添加的条件是 　              　． （2）证明：　                  　． 【答案】解：（1）添加的条件是AE＝AF或EF⊥AC， 故答案为：AE＝AF或EF⊥AC； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF与△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝AF或EF⊥AC， ∴▱AECF是菱形， 故答案为：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF与△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝AF或EF⊥AC， ∴▱AECF是菱形． 十一、根据正方形的性质求角的度数 1.如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，若△PAB是等边三角形，则∠DPA的度数是（　　） A.60° B.75° C.80° D.90° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝∠CBA＝90°，∵△PAB是等边三角形， ∴∠PAB＝∠PBA＝60°，PA＝PB＝AB， ∴∠DAP＝∠CBP＝30°，AP＝DA， ∴∠DPA75°． 故选：B． 2.三个正方形的位置如图所示，若，则 (     ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图： ∵三个图形都是正方形 ∴∠4＝∠5＝∠6＝90° ∵∠3＝30° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360° ∴∠1＋∠2＝360°－∠3－∠4－∠5－∠6＝360°－30°－90°－90°－90°＝60° 故选：A 3.如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则（　　）    A.60° B.65° C.70° D.75° 【答案】C 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°． 又AE＝AE， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°． ∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°． 故选C． 4.已知正方形ABCD中，P为直线AD上一点，以PD为边做正方形PDEF，使点E在线段CD的延长线上，连接AC、AF．若，则的度数为        . 【答案】或 【解析】解：（1）当点P在DA的延长线上时，AD<PD，不符合，故这种情况不成立； （2）当点P在线段DA上时，如图： 连接FD，∵正方形PDEF中，FD=PD, ，∠ADF=45°， ∴FD=AD，∠DAF=∠AFD=（180°-45°）÷2=67.5°， ∴=∠CAD+∠DAF=45°+67.5°=； （3））当点P在AD的延长线上时，如图： 连接FD，∵正方形PDEF中，FD=PD, ，∠PDF=45°=∠FAD+∠DFA， ∴AD=DF，∠FAD=∠DFA =45°÷2=22.5°， ∴=∠CAD+∠DAF=45°+22.5°=67.5°； 故答案为或 5.如图，在正方形中，点E是上一点，的垂直平分线交对角线于点N，交于点M，连接、．    （1）∠EBN＝    °； （2）若正方形边长为4，CE＝1，则AN＝    ． 【答案】 【解析】解：（1）过点N作于点F，作于点G，    ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设，则,， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6.在正方形中，点E，F分别是边 上的中点，点 P是一动点，记，，．    (1)如图1，若点P运动到线段的中点时， ， ． (2)如图2，若点P在线段上运动时，，和之间有何关系? (3)当点在直线上（在线段之外且与不重合）运动时，，和间又有何关系? 说明理由． 【答案】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，即． （3）解：①如图3-1，当点在延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即； ②如图3-2，当点在延长线上，且在直线上方时， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即； ③如图3-3，当点在延长线上，且在直线下方时， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，即．    7.如图，正方形ABCD中，点E在正方形ABCD外，△AEB为等边三角形，求∠BED的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，△AEB为等边三角形， ∴AD＝AB＝AE，∠DAB＝90°，∠BAE＝∠AEB＝60°， ∴∠DAE＝90°+60°＝150°， ∴∠AED＝∠ADE15°， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°． 即∠BED的度数45°． 十二、根据直角三角形的性质求边 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若BD＝3，则AC的长是（　　） A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】C 【解析】∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，BD＝3， ∴BDAC， ∴AC＝2BD＝2×3＝6， 故选：C． 2.在直角三角形中，两直角边的长分别为6和12，则斜边上中线的长为（　　） A.3 B.3 C.6 D.6 【答案】B 【解析】解：∵，，∠BAC=90°， ∴， ∴， 故选B． 3.如图，在中，于点D，且是的中点，若则的长等于（     ） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5， ∴DE= AC=5， ∴AC=10. 在直角△ACD中,∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得 CD=  =8. 故选D 4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，BC＝6，则AC的长是 　　． 【答案】8． 【解析】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴， ∵CD＝5， ∴AB＝10， ∴， 故答案为：8． 5.如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F．若AB＝10，则EF的长为 　　． 【答案】5． 【解析】∵DE⊥AC，∠ACB＝90°， ∴∠AED＝90°＝∠ACB， ∴DE∥CF， 又∵DC∥EF， ∴四边形EDCF为平行四边形， ∴EF＝DC， 又∵DC为直角三角形斜边中线， ∴， ∴EF＝DC＝5． 故答案为：5． 6.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，求CD． 【答案】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE＝5， ∴DEAC＝5， ∴AC＝10． 在直角△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10， 则根据勾股定理，得 CD8． 7.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是AC，BD的中点． （1）证明：EF⊥BD； （2）若AC＝10，BD＝8，求EF的长． 【答案】（1）证明：连接EB，ED， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴BEAC，DEAC， ∴EB＝ED，又F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：BEAC＝5，BFBD＝4， 由勾股定理得，EF3． 十三、正方形性质的综合运用 1.如图，四边形ABCD为正方形，在AB、AD上分别取一点E和H，其中DHAD，BEAB，分别以BE和DH在正方形ABCD内部作正方形BEFG、正方形DHIJ，记多边形ELIMGB为图形①，多边形DJMFLH为图形②，若要求图形①和②的周长差，则需要知道（　　） A.BE和AB的差 B.MJ和IJ的差 C.AH和AE的差 D.AD和HD的差 【答案】C 【解析】∵四边形BEFG和四边形DHIJ都是正方形， ∴图形①的周长为4BE，图形②的周长为4DH， ∴图形①和②的周长差为|4BE﹣4DH|＝4|BE﹣DH|＝4|AB﹣AE﹣AD+AH|， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， ∴图形①和②的周长差为4|AH﹣AE|， 故选：C． 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　） A.7 B.3 C.8 D.3 【答案】D 【解析】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为3， ∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF+∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab， 又∵a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15， 即（a+b）2＝15， ∴a+b，即BG+CG， ∴△BCG的周长3， 故选：D． 3.如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　　） A. B. C.12 D.16 【答案】B 【解析】∵四边形AMEF是正方形， 又∵S正方形AMEF＝16， ∴AM2＝16， ∴AM＝4， 在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点， ∴， 即BC＝2AM＝8， 在Rt△ABC中，AB＝4， ∴， ∴， 故选：B． 4.如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A'B'C'D'，此时阴影部分的面积为 　     　cm2． 【答案】40． 【解析】∵四边形ABCD为正方形且边长为8cm， ∴AD＝CD＝8cm，S正方形ABCD＝82＝64cm2，设A'B与AD交于点E，CD与B'C'交于点F， 由平移的性质得：四边形B'FDE为矩形，AE＝2cm，CF＝4cm， ∴DE＝AD﹣AE＝6cm，DF＝CD﹣CF＝4cm， ∴S矩形B'FDE＝DE•DF＝24cm2， ∴S阴影＝S正方体ABCD﹣S矩形B'FDE＝40cm2． 故答案为：40． 5.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC．则图中阴影部分的面积是 　   　． 【答案】2． 【解析】过点E作EF⊥BC于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝2，AD∥BC， ∴EF＝AB＝2， ∴， ∵， ∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△BCE＝4﹣2＝2， 故答案为：2． 6.已知：如图，正方形ABCD中，点E，M，N分别在AB，BC，AD边上，CE＝MN，求证：CE⊥MN． 【答案】证明：作NF⊥BC于F，如图所示： 则∠NFM＝90°，四边形CDNF是矩形， ∴NF＝CD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠ABC＝90°， ∴BC＝NF， 在Rt△BCE和Rt△NFM中，， ∴Rt△BCE≌Rt△NFM（HL）， ∴∠1＝∠2， ∵∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠4＝90°， ∴CE⊥MN． 7.如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O． （1）求证：△DAF≌△ABE； （2）写出线段AE、DF的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB，∠DAF＝∠ABE＝90°， ∵AF＝BE， ∴△DAF≌△ABE（SAS）； （2）AE＝DF，AE⊥DF，理由如下： 由（1）得：△DAF≌△ABE， ∴DF＝AE，∠ADF＝∠BEA， ∵∠DAO+∠EAB＝∠DAF＝90°， ∴∠DAO+∠ADF＝90°， ∴∠DOA＝90°， ∴AE⊥DF． 十四、根据菱形的性质求角的度数 1.如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝100°，BA＝BE，则∠EAD的度数为（　　） A.45° B.40° C.35° D.30° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，∠ABD＝∠CBD，∠BCD＝∠BAD， ∵∠BCD＝100°， ∴∠BAD＝100°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠ABC＝80°， ∴∠ABD＝∠CBD＝40°， ∵BA＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA70°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝100°﹣70°＝30°， 故选：D． 2.在菱形ABCD中，如果∠B＝110°，那么∠D的度数是（　　） A.35° B.70° C.110° D.130° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴∠D＝∠B， ∵∠B＝110°， ∴∠D＝110°． 故选：C． 3.如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，若∠ABC＝∠EAD＝70°，则∠CED的度数是（　　） A.70° B.60° C.55° D.50° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AB＝AD， ∴∠AEB＝∠EAD＝70°， ∵∠ABC＝∠EAD＝70°， ∴AB＝AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE55°， ∴∠CED＝180°﹣∠AEB﹣∠AED＝180°﹣70°﹣55°＝55°， 故选：C． 4.如图菱形ABCD中，∠B＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，连接DE，则∠ADE的度数是 　  　． 【答案】55°． 【解析】如图，连接BE， ∵菱形 ABCD中，∠ABC＝70°， ∴AD∥BC，∠DAC＝∠BAC， ∴∠DAB＝180°﹣70°＝110°，∠DAC＝∠BAC＝55°， ∵AB的垂直平分线交对角线AC于点E， ∴EA＝EB， ∴∠EAB＝∠EBA＝55°， ∴由菱形的轴对称的性质可得： ∠ADE＝∠ABE＝55°， 故答案为：55° 5.如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边，在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为　  　． 【答案】36°． 【解析】∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BAE＝∠ABC＝108°， ∵四边形ABCF是菱形， ∴∠ABC+∠BAF＝180°， ∴∠BAF＝180°﹣108°＝72°， ∴∠FAE＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣72°＝36°． 故答案为：36°． 6.如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数． 【答案】解：在菱形ABCD中，AB＝AD， ∵AE＝AD， ∴AB＝AE， 设∠BAE＝x， 则∠EAD＝2x，∠ABE（180°﹣x）， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABE＝180°， ∴x+2x（180°﹣x）＝180°， 解得x＝36°， 即∠BAE＝36°． 7.如图所示，等边三角形AEF内接于菱形ABCD，若AE＝AB，求∠C的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD， 设∠B＝∠D＝x，BC∥AD， ∵AE＝AF＝AB＝AD， ∴∠B＝∠AEB＝∠D＝∠AFD， ∴∠BAE＝∠DAF＝180°﹣2x， ∵BC∥AD， ∴∠B+∠BAD＝180°， ∴x+2（180°﹣2x）+60°＝180°， ∴x＝80°， ∴∠C＝∠BAD＝100°． 十五、根据菱形的性质求面积 1.已知菱形的周长为20cm，两条对角线的比为3：4，则菱形的面积为（　　） A.48 B.24 C.12 D.384 【答案】B 【解析】 如图所示： 设菱形的对角线分别为AC＝3a，BD＝4a， 则OAa，OB＝2a，AC⊥BD， ∵菱形的周长为20， ∴AB＝5， ∴（a）2+（2a）2＝52， ∴a2＝4， ∴菱形的面积3a×4a＝6a2＝24． 故选：B． 2.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边DC，AD的中点，连接BE，EF，BF．若菱形ABCD的面积为16，则△BEF的面积为（　　） A.8 B.7 C.6 D.5 【答案】C 【解析】 连接AC和BD， 则AC⊥BD，DO＝OB， 又∵点E，F分别是边DC，AD的中点， ∴，EF∥AC， ∴， ∵点E，F分别是边DC，AD的中点， ∴， ∴S△BEF＝S△DBF+S△DBE﹣S△DEF＝4+4﹣2＝6， 故选：C． 3.在菱形ABCD中，AC＝CB＝4，则菱形ABCD的面积为（ㅤㅤ） A.16 B.4 C.8 D.8 【答案】D 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形，AC＝4， ∴OA＝OCAC＝2，OB＝OD，AB＝CB＝4，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴OB2， ∴BD＝2OB＝4， ∴菱形ABCD的面积AC•BD4×48 故选：D． 4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝6，则菱形ABCD的面积为 　 　． 【答案】 96． 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD， ∴AC＝2OA＝16， ∵DH⊥BC， ∴∠BHD＝90°， ∴BD＝2OH＝2×6＝12， ∴菱形ABCD的面积AC•BD16×12＝96， 故答案为：96． 5.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是菱形ABCD内一点，连接BP、CP，且∠ABP+∠DCP＝90°，连接AP、DP，则△APD面积的最小值为 　 　． 【答案】 ． 【解析】 在菱形ABCD中，∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABP+∠DCP＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴BP⊥PC， ∴当△APD面积的最小时，P到AD的距离最小，即P到BC的距离最大， ∴当Rt△BPC是等腰直角三角形时，即P到BC的距离最大， 过C作CF⊥AD于F，PE⊥BC于E， 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴CFCD，PEAB＝1， ∴P到AD的距离1， ∴△APD面积的最小值为， 故答案为：． 6.如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)长为的线段AB，且A，B为格点； (2)边长为、面积为6的菱形CDEF，且菱形CDEF的顶点均为格点． 【答案】（1）解：如图，线段AB即为所求； （2）如图，菱形CDEF即为所求． 7.已知一个菱形的对角线的长分别是2+和2-. （1）求这个菱形的面积; （2）设菱形的边长为x ，求这个菱形的周长， 【答案】(1)这个菱形的面积为=1 （2）因为x2==3， 所以x=或x=-(不合题意，舍去)， 所以菱形的周长为4x=4. 十六、矩形的性质和判定的综合运用 1.在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝11，过D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　） A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5 【答案】A 【解析】过C作DH的垂线CE交DH于E， ∵DH⊥AB，CB⊥AB， ∴CB∥DH又CE⊥DH， ∴四边形BCEH是矩形． ∴HE＝BC＝2，在Rt△AHD中，∠A＝60°， ∴∠ADH＝30°， 又∵∠ADC＝90° ∴∠CDE＝60°， ∴∠DCE＝30°， ∴在Rt△CED中，DECD＝5.5， ∴DH＝2+5.5＝7.5． 故选：A． 2.如图， 在中，，，，为边上一个动点，于点，上于点，为的中点，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5， ∴AB2+AC2=BC2， 即∠BAC=90°． 又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF=AP． ∵M是EF的中点， ∴AM=EF=AP． 因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于 ， ∴AM的最小值是 故选A． 3.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设Rt△ABC的斜边BC上的高为h． ∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴h， ∴AB2+AC2＝BC2， 即∠BAC＝90°． 又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP． ∵M是EF的中点， ∴AMEFAP． 因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于， ∴AM的最小值是． 故选：D． 4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，且AD∥BC，AC的长为16，则DO的长为 　 　． 【答案】8． 【解析】∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC＝2OD＝16， ∴OD＝8， 故答案为：8． 5.在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S▱ABCD＝　  　． 【答案】42cm2 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴S四边形ABCD＝AB×AD＝7cm×6cm＝42cm2， 故答案为：42cm2． 6.如图所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′＝B′D′． 【答案】证明：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′， ∵A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线． ∴A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ， ∴四边形A′B′C′D′是平行四边形． 由于四边形ABCD是矩形，四边形PCBQ是平行四边形， ∴AB⊥BC，BC∥PQ． 从而AB⊥PQ， ∴A′B′⊥B′C′， ∴四边形A′B′C′D′是矩形， ∴A′C′＝B′D′． 7.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）已知∠DAB＝60°，若AD＝3，求DE的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵CF＝AE， ∴DF＝BE， 又∵DF∥BE， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形DFBE是矩形； （2）解：∵∠DAB＝60°，DE⊥AB， ∴∠ADE＝30°， ∴AEAD， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE． 十七、坐标系中的正方形 1.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　） A.（，1） B.（﹣1，） C.（，1） D.（，﹣1） 【答案】C 【解析】作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示： 则∠ADO＝∠OEC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵点A的坐标为（1，）， ∴OD＝1，AD， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠AOC＝90°，OC＝AO， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠3＝∠2， 在△OCE和△AOD中， ， ∴△OCE≌△AOD（AAS）， ∴OE＝AD，CE＝OD＝1， ∴点C的坐标为（，1）； 故选：C． 2.如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（　　） A.（2，2） B.（﹣2，2） C.（﹣2，﹣2） D.（2，﹣2） 【答案】B 【解析】如图所示：∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（2，2）， ∴点B、C、D的坐标分别为：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）． 故选：B． 3.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C的坐标是（　　） A.（1，1） B.（﹣1，﹣1） C.（1，﹣1） D.（﹣1，1） 【答案】C 【解析】连接AC， ∵四边形OABC是正方形， ∴点A、C关于x轴对称， ∴AC所在直线为OB的垂直平分线，即A、C的横坐标均为1， 根据正方形对角线相等的性质，AC＝BO＝2， 又∵A、C关于x轴对称， ∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为﹣1， 故C点坐标（1，﹣1）， 故选：C． 4.已知一个边长为4的正方形OABC，按如图所示的方式放在平面直角坐标系中，其中的一个顶点与原点重合，两边分别与x轴、y轴重合．则顶点A的坐标是　        　． 【答案】（4，0）． 【解析】∵四边形OABC是正方形，且一个顶点与原点重合，两边分别与x轴、y轴重合， ∴OA＝4， ∴点A坐标为（4，0）， 故答案为：（4，0）． 5.如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系．点A的坐标为（1，1），写出点B，C，D的坐标：B 　         　，C 　          　，D 　         　． 【答案】（1，﹣1），（﹣1，﹣1），（﹣1，1）． 【解析】∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（1，1）， ∴点B、C、D的坐标分别为：（1，﹣1），（﹣1，﹣1），（﹣1，1）； 故答案为：（1，﹣1），（﹣1，﹣1），（﹣1，1）． 6.如图，正方形ABCD的边长为4，如果以AD的中点为原点，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，那么AB与x轴的位置关系是什么？BC与x轴的位置关系怎样？并写出A，B，C，D各点的坐标． 【答案】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴AB⊥AD，BC∥AD ∵AD⊥x轴 ∴AB∥x轴，BC⊥x轴， ∵AB＝BC＝CD＝AD，点O是AD中点， ∴AO＝OD＝2 ∴点A（0，2），点D（0，﹣2），点B（4，2），点C（4，﹣2） 7.平面直角坐标系中，A（﹣1，3），C（2，﹣1），则以AC为对角线的正方形ABCD的顶点B、D坐标分别为多少？ 【答案】解：如图，过点E作FK∥x轴，BF⊥FK于F，DK⊥FK于K，AM⊥FK于M． ∵四边形ABCD是正方形，A（﹣1，3），C（2，﹣1）， ∴EA＝EC＝EB＝ED，E（，1）， ∴AM＝2，EM， 由△AME≌△EKD≌△EFB，可得EK＝EF＝AM＝2，DK＝BF＝EM， ∴D（，），B（，）或B（，），D（，）． 学科网（北京）股份有限公司 $$