1.3正方形的性质与判定 同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定 同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册 一、单选题 1．如图所示的推理中，在①②③④处可以添上条件“对角线互相垂直”的是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 2．下列说法正确的是（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是正方形 3．正方形的对角线长为，则其面积为（    ） A．24 B．72 C．36 D．24 4．如图，在正方形中，点为正方形内一点，连接、、、．若为等边三角形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，点在边上，连接，过点作于点，过点作于点，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．7 D．11 6．如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，点F是的中点，连接并延长，交边于点G，点H在边上，已知，则的长为（    ） A．4 B． C． D．6 7．如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，正方形的面积为18，点E在正方形内，是等边三角形，在对角线上有一点P，使的值最小，则这个最小值为（   ） A． B． C．9 D． 二、填空题 9．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需添加的一个条件是 ． 10．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ． 11．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ． 12．如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为 ． 13．如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为 ． 14．如图，正方形中，点E是边的中点，交于点H，交于点G，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （填序号） 三、解答题 15．如图，点,,分别是,,的中点，连接,,,．    (1)求证：,互相平分； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 16．如图，已知正方形,点在边上，射线交于点,交射线于点,过点作,交于点. （1）求证：. （2）判断的形状，并说明理由. （3）作的中点,连结,若,求的长. 17．如图，在正方形中，对角线、相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接、．将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．    (1)请补全图形，并证明：； (2)当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 18．如图，正方形的对角线，相交于点O，点E是边上的一动点，连接交于点M，过点B作于点P，交于点，交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当点E运动到使平分时，与是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．【答案】A 【分析】根据菱形与矩形的判定方法可得答案． 【详解】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴空格①②③④处可以添上条件“对角线互相垂直”的是①④， 故选A． 2．【答案】B 【分析】根据正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A. 有一个角是直角的菱形是正方形，此选项错误； B. 有一组邻边相等的矩形是正方形，此选项正确； C. 对角线相等且互相垂直的矩形是正方形，此选项错误； D. 四条边都相等的矩形是正方形，此选项错误； 故选B． 3．【答案】C 【分析】正方形也是一个特殊的菱形，则正方形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形的对角线长为， ∴其面积为， 故选C． 4．【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，然后根据等边对等角求出，最后根据余角的定义即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形， ，， 四边形为正方形， ，， ，， ， ， 故选A． 5．【答案】B 【分析】由正方形的性质得再证明，根据证明，得，，从而可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选B． 6．【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及中点的性质可证明，再利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 7．【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，即，然后根据题目中的条件，可以得到，再根据，和勾股定理，可以求出的长，本题得以解决． 【详解】解；∵绕点A顺时针旋转得到， ， ，， 三点共线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， 则， ， ， ， 解得：， 的长为2． 故选B． 8．【答案】D 【分析】利用正方形的对称性将转化为，再根据两点之间线段最短求解．利用正方形的对称性，将进行转化，再根据两点之间线段最短求出的最小值． 【详解】解：连接，如图 四边形是正方形，所以点D关于对角线的对称点是点B， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，的值最小，即的长度就是的最小值， 是等边三角形， ， 又正方形的面积为， ， ． 故选D． 9．【答案】AC=BD（或四边形ABCD中任一个内角等于直角） 【分析】 根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】 解：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 ∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD． 故答案为：AC=BD（或四边形ABCD中任一个内角等于直角）． 【点睛】 解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形． 10．【答案】1 【分析】过点E作于点P，于点Q，则可证明，得出，根据得出答案即可． 【详解】解：如图，过点E作于点P，于点Q， 则， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．【答案】 【分析】 先证明，再利用全等角之间关系得出，再由H为BF的中点,又为直角三角形,得出，为直角三角形再利用勾股定理得出BF即可求解. 【详解】 , . ∴∠BEA=∠AFD， 又∵∠AFD＋∠EAG=90°， ∴∠BEA＋∠EAG=90°， ∴∠BGF=90°. H为BF的中点,又为直角三角形, . ∵DF=2， ∴CF=5-2=3. ∵为直角三角形. ∴BF===． 【点睛】 本题主要考查全等三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半知识点，熟悉掌握是关键. 12．【答案】2 【分析】 过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长． 【详解】 过点E作EM⊥BD于点M，如图所示． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°， ∴△DEM为等腰直角三角形． ∴EM＝DE， ∵BE平分∠DBC，EM⊥BD， ∴EM＝EC， 设EM＝EC＝x， ∵CD＝2， ∴DE＝2﹣x， ∴x＝（2﹣x）， 解得x＝2﹣2， ∴EM＝2﹣2， 由旋转的性质可知：CF＝CE＝2﹣2， ∴BF＝BC+CF＝2+2﹣2＝2． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是求出线段CF的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合角平分线以及等腰直角三角形的性质求出线段的长度是关键． 13．【答案】9﹣5 【分析】 根据旋转的想知道的PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=2-2，PE=4-2，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论． 【详解】 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB=2，∵AD=2，∴AE=4，DE=2，∴CE=2﹣2，PE=4﹣2，过P作PF⊥CD于F，∴PF=PE=2﹣3，∴三角形PCE的面积=CE•PF=×（2﹣2）×（2﹣3）=9-5，故答案为9-5． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．【答案】①③④ 【分析】①证明，再根据全等三角形的性质即可对结论①进行判断；②假设，则，进而得，再根据点E是的中点得，由此得，在中，，则，这与相矛盾，由此得假设是错误的，据此即可对结论②进行判断；③由三角形的面积公式得，进而得，则，据此即可对结论③进行判断；④先证明和全等得，再根据即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； ②假设， ∴， 在中，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴，这与相矛盾， ∴假设是错误的， 故结论②不正确； ③由三角形的面积公式得：，， ∴， ∴， ∴， 故结论③正确； ④在正方形中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论有①③④． 15．【答案】(1)见解析 (2)①②（或①③），见解析 【分析】（1）由三角形中位线定理得，再证四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）可以选①②（或①③），根据平行四边形的性质与判定、矩形的判定定理、三角形中位线的性质及正方形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：证明：,,分别为,,的中点， ，， 四边形为平行四边形． ,互相平分； （2）方法1：选①②平分， 证明：四边形为平行四边形，， 是矩形 平分， ， ， ， ， ， 矩形为正方形． 方法2：选①；③； 证明：四边形为平行四边形， 是矩形 ， 点是的中点， 矩形为正方形． 16．【答案】见详解 【分析】（1）由可证; （2）由全等三角形的性质可得,由余角的性质可得,可得结论； （3）由三角形中位线定理可求,由勾股定理可求解. 【详解】（1）证明：四边形是正方形， 在和中， （2）解：是等腰三角形，理由如下： 又, 又, 是等腰三角形； （3）解：如图，连接, 又点是的中点， 17．【答案】(1)见解析 (2)的大小不发生变化，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到、互相垂直平分，即可得到结论； （2）作，垂足分别为点、，可得，证明四边形是矩形，推出，再证明， 得出，进而求出可得结论； （3）作交于点，作于点， 证明，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：补全图形如下：    在正方形中，对角线、相交于点， 、互相垂直平分， ； （2）的大小不发生变化，， 理由：如图，作，垂足分别为点、，      四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形，， ， ，， ， ， ， ，即， 的大小不发生变化，；    （3）， 证明：如图，作交于点，作于点，              四边形是正方形， ，， ，四边形是矩形， ，， ， ，， ， 作于点，则，， ， ，， ， ．    18．【答案】(1)证明见详解 (2)3 (3)，理由见详解 【分析】（1）由正方形的性质得出，，结合直角三角形的性质推出，即可证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）根据正方形的性质，证明，根据全等三角形的性质即可得解； （3）过点作于点，先证明，利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：在正方形中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （3）解：与存在一定的数量关系，，理由如下： 如图，过点作于点， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$