专题2.3两直线的位置关系（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

第 1 页 共 12 页 专题 2.3 两直线的位置关系 教学目标 1、理解并掌握两直线平行、垂直的判断及应用； 2、理解并掌握两直线交点坐标的求法； 3、掌握点关于点的对称点、点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线、直线关于直 线的对称直线的求法； 教学重难点 1、重点：两直线的平行、垂直的判断及应用； 2、难点：点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线. 1.平行条件 (1)斜截式方程： 11:1 bxkyl  ， 22:2 bxkyl  ，�1//�2 ⇔ k1 = k2, b1 ≠ b2, (2)一般式方程： 0: 1111  CyBxAl ， 0: 2222  CyBxAl ，�1//�2 ⇔ A1B2 = A2B1, A1C2 ≠ A2C1, 2.重合的条件 (1)斜截式方程： 11:1 bxkyl  ， 22:2 bxkyl  ，�1//�2重合 ⇔ k1 = k2, b1 = b2, (2)一般式方程： 0: 1111  CyBxAl ， 0: 2222  CyBxAl ，�1//�2重合 ⇔ A1B2 = A2B1, A1C2 = A2C1, 3.平行直线系 与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程为 Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； 【即学即练 1-1】(2025·宁夏中卫·三模)若直线 1l ：  2 3 3 0m x y    与直线 2l ：  2 1 2 0x m y    平行， 则m  ( ) A．4 B．1 C．1 或-4 D．-1或 4 第 2 页 共 12 页 【即学即练 1-2】(2025·上海·模拟预测)“ 4m   ”是“直线  1 : 2 3 1 0l m x y    与直线  2 : 2 1 0l mx m y    相互平行”的( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【即学即练 1-3】(24-25 高二下·云南玉溪·期中)若点  3,4A ，  5,3B 到直线 : 2 1 0l x ay   的距离相等，则 a  ( ) A．4 B． 4 C．4 或 18 7  D． 4 或 18 7 1.两直线垂直的条件 (1)斜截式方程： 11:1 bxkyl  ， 22:2 bxkyl  ， 12121  kkll (2)一般式方程：�1: �1� + �1� + �1 = 0, �2: �2� + �2� + �2 = 0,则�1 ⊥ l2 ⇔ A1A2 + B1B2 = 0 提醒 当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略. 2.垂直直线系 与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程为 Bx－Ay＋C1＝0； 【即学即练 2-1】(24-25 高二下·河南南阳·期末)已知直线 2 0ax y   与直线  1 2 0x a y    垂直，则实数 a的值为( ) A．1 5 2  B． 12 C． 1 5 2  D． 12 【即学即练2-2】(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线 1l 经过    3,2 1,A B m ， 两点，直线 2l 的倾斜角为 45 ， 若 1l 与 2l 平行，则m  ( ) A． 1 B．2 C．3 D．6 【即学即练 2-3】(24-25 高二下·河南濮阳·期中)经过点  1,2 且与直线 2 7 0x y   垂直的直线方程为( ) A． 2 5 0x y   B． 2 4 0x y   C． 2 5 0x y   D． 2 4 0x y   1.两条直线的交点坐标：已知两条直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交， 则交点 P的坐标是方程组 �1� + �1� + �1 = 0, �2� + �2� + �2 = 0 的解． 2.两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组 �1� + �1� + �1 = 0, �2� + �2� + �2 = 0 的解 一组 无数组 无解 直线 l1与 l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线 l1与 l2的位置关系 相交 重合 平行 第 3 页 共 12 页 3.交点直线系 过直线 A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不 包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0). 【即学即练 3-1】(2025 高二·全国·专题练习)直线 2 5 7 0x y   和3 2 6 0x y   的交点坐标为( ) A．  4,3 B．  3,4 C．  4,3 D．  4, 3  【即学即练 3-2】(23-24 高二上·广东·阶段练习)已知直线 l经过两条直线 1l ： 2x y  ， 2l ：2 1x y  的交点， 且 l的一个方向向量为  3,2v    ，则直线 l的方程为( ) A． 2 3 1 0x y   B． 2 3 5 0x y   C．3 2 5 0x y   D． 2 3 1 0x y+ - = (1)点 P(x0，y0)关于点 A(a，b)的对称点为 P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点 P(x0，y0)关于直线 y＝kx＋b的对称点为 P′(x′，y′)， 则有 �'−�0 �'−�0 ∙ � =− 1, �'+�0 2 = � ∙ � '+�0 2 + �, 可求出 x′，y′. 【即学即练 4】(24-25 高二下·上海·阶段练习)点  2, 3P  关于直线 : 1l y x  的对称点为( ) A．  3,4 B．  4, 3  C．  4,3 D．  3, 4  若直线�1上的 A、B 关于直线�的对称点分别为�', �'，则�1关于直线�的对称直线�'必然经过点�', �'； 【即学即练 5】(24-25 高二上·天津红桥·阶段练习)直线 2 1 0x y   关于直线 1x  对称的直线方程是( ) A． 2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 3 0x y   D． 2 3 0x y   题型 01 两直线平行及应用 【典例 1-1】(24-25 高二上·四川乐山·期末)已知直线 1 : 1 0l ax y a    ，直线 2 2 (: 1) 3 0l x a y    平行，则 实数 a  ( ) A． 1 B． 2 C． 1 或 2 D．不存在 【典例 1-2】(24-25 高一下·重庆·期末)已知直线  1 : 1 1 0l a x y    ，    2 : 3 5 1 2 0l a x a y     ，则 1l ∥ 2l 的充要条件的是( ) A． 2a  B． 3a  C． 2a  或3 D． 4a  第 4 页 共 12 页 【典例 1-3】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知  3, 4A   ，  6,3B 两点到直线 l： 1 0ax y   的距离相等， 则 a的值为( ) A． 1 3 B． 7 9  C． 1 3  或 7 9  D． 1 3 或 7 9  【典例 1-4】(24-25 高二上·江西上饶·期末)“直线 2 3 0ax y   与直线  1 2 0x a y    平行”是“ 1a   ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式 1-1】(24-25 高二下·上海青浦·期中)若m、n为实数，则“ 1m   ”是“直线 2 0x my   与直线 0x y n   平行”的( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式 1-2】(2025·上海·三模)设 a为实数，直线 1 : 1l ax y  ，直线 2 : 2l x ay a  ，则“ 1a  ”是“ 1 2,l l 平行”的( ) 条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【变式 1-3】(24-25 高二下·广西南宁·期末)若 aR，直线 1 : 2 1 0l x ay   ，直线  2 : 3 1 1 0l a x ay    ，则 “ 1 2l l∥ ”的充分不必要条件是( ) A． 0a  B． 16a   C． 1a  D． 1 2 a  【变式 1-4】(2025·天津红桥·模拟预测)若直线 1l ： 1 0x y   与直线 2l ： 0x my  互相平行，则 m的值为( ) A． 2 B．1 C． 1 D．2 【变式 1-5】(24-25 高一下·上海·期末)“ 0  ”是“直线 ( 2) 3 0x y      与直线 2 1 0x y    平行”的( )． A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式 1-6】(24-25 高二上·吉林通化·阶段练习)“ 3m  ”是“直线 2 3 0mx y m   和直线  3 1 7 0x m y m     不重合而平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 02 两直线垂直及应用 【典例 2-1】(24-25 高二下·安徽·阶段练习)若直线 l经过点 (2,0)且与直线 1 2 y x 垂直，则 l的方程为( ) A． 2 4 0x y   B． 2 4 0x y   C． 2 2 0x y   D． 2 2 0x y   【典例 2-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)将直线 1 : 2 0  l x y 绕点 (2,0)顺时针旋转90得到直线 2l ，则直 第 5 页 共 12 页 线 2l 的方程是( ) A． 2 4 0x y   B． 2 0x y   C． 2 0x y   D． 2 4 0x y   【典例 2-3】(25-26 高二上·全国·单元测试)设 a，b，c分别是∆ABC中角 A，B，C的对边，则直线 sin 0A x ay c    与 sin sin 0bx B y C    的位置关系是( ) A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【变式 2-1】(24-25 高二下·山西·期中)若直线2 1 0x y   与直线 2 3 0ax y   垂直，则 a  ( ) A． 1 B． 12 C．1 D．2 【变式 2-2】(24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习)经过点  1,1A 且与直线 2 1y x   垂直的直线方程为( ) A． 2 3 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 0x y   D．2 3 0x y   【变式 2-3】(2025·山西·三模)已知直线 1 : 0l ax y a   与  2 : 4 5 4 0l a x y    ，则“ 5a  ”是“ 1 2l l ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式 2-4】(24-25 高二下·北京·期中)以    1,3 , 1,1A B  为端点的线段的垂直平分线的方程为( ) A． 2 0x y   B． 2 2 0x y   C． 2 0x y   D． 2 4 0x y   【变式 2-5】(24-25 高二下·河南·阶段练习)已知矩形 ABCD的边 AB所在直线的方程为 2 4 0x y   ，顶点  0, 1D  ，则顶点A的坐标为( ) A．  2,0 B．  1,0 C．  1,0 D．  2,0 题型 03 两直线的交点问题 【典例 3-1】(23-24 高二上·贵州遵义·阶段练习)直线 1l ： 2 3 5 0x y   与 2l ： 10 0x y   的交点坐标是( ) A．  5,5 B．  2,3 C．  3,7 D．  8,5 【典例 3-2】(24-25 高二上·云南曲靖·期中)已知直线 l过直线 1 : 0l x y  和 2 : 2 0l x y   的交点，且与 3 4 5 0x y   平行，则 l的方程是( ) A．3 4 7 0x y   B．3 4 7 0x y   C． 4 3 1 0x y   D． 4 3 1 0x y   【典例 3-3】(23-24 高二上·重庆·阶段练习)过直线 1 0x y   与 2 4 0x y   的交点，且一个方向向量  13v   ， 的直线方程为( ) A．3 1 0x y   B． 3 5 0x y   C．3 3 0x y   D． 3 5 0x y   第 6 页 共 12 页 【典例 3-4】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知∆ABC三边所在直线方程分别为 : 3AB x  4 12 0, : 4 3 16 0, : 2 2 0y BC x y AC x y        ，则 AC边上的高所在直线的方程是( ) A． 2 4 0x y   B． 2 4 9 0x y   C． 4 3 9 0x y   D．7 28 0x y   【变式 3-1】(23-24 高二上·江西南昌·阶段练习)直线 y x 与直线 2y x   的交点坐标为( ) A．  1, 1  B．  1,1 C．  1,1 D．( )1, 1- 【变式 3-2】(24-25 高二上·江苏宿迁·期末)已知直线 l过直线 2 0x y  与直线 3 0x y   的交点，且与直线 3 1 0x y   平行，则直线 l的方程为( ) A．3 7 0x y   B．3 7 0x y   C．3 3 0x y   D．3 3 0x y   【变式 3-3】(24-25 高二上·江苏连云港·期中)若直线 l与直线 3x  交于点 P，与直线 5 0x y   交于点Q， 且线段 PQ的中点是( )1, 1- ，则 l的斜率为( ) A． 5 2  B． 2 5  C． 5 2 D． 2 5 【变式 3-4】(22-23 高二上·广东深圳·期中)已知直线 1l ： 1 0ax y   与 2l ： 2 1 0x by   相交于点  1,1M ， 则a b  ( ) A． 1 B．1 C．2 D．－2 【变式 3-4】(24-25 高二上·黑龙江·阶段练习)若直线 1 0ax y a    与 2 4 0x y   的交点位于第一象限，则 实数 a的取值范围是( ) A． 1, (3, ) 3          B． 1 ,3 3      C． 1( , 3) , 3          D． 13, 3      题型 04 对称点问题 【典例 4-1】(24-25 高二下·湖北·期中)已知点  2,4A 关于直线 l对称的点为  1,2B  ，则直线 l的方程为( ) A． 4 6 15 0x y   B．6 4 15 0x y   C．6 4 15 0x y   D． 4 6 15 0x y   【典例 4-2】(22-23高二上·四川遂宁·期末)已知点 A与点 (2,1)B 关于直线 + 2 0x y   对称，则点 A的坐标为( ) A． ( 1, 4) B． (4,5) C． ( 3, 4)  D． ( 4, 3)  【典例 4-3】(24-25 高二上·上海·期末)在等腰直角∆ABC中， 3AB AC  ，点 P是边 AB上异于端点的一点， 光线从点 P出发经 BC，CA边反射后又回到点 P，若光线QR经过∆ABC的重心，则 PQR 的周长等于( ) A． 2 5 B． 2 7 C．3 2 D． 4 2 第 7 页 共 12 页 【变式 4-1】(22-23 高二下·河南安阳·开学考试)已知直线 : 5 2 0n x y   ，点 ( )1,0A 关于直线 3 0x y   的 对称点为 B，直线m经过点 B，且 //m n，则直线m的方程为( ) A．5 19 0x y   B． 5 17 0x y   C．5 5 0x y   D．5 10 0x y   【变式 4-2】(23-24 高二上·河南洛阳·期中)已知直线3 2 6 0x y   分别与 ,x y轴交于 ,A B两点，若直线 1 0x y   上存在一点C，使 CA CB 最小，则点C的坐标为( ) A．( 2 3 ， 1 3 ) B．( 6 5 ， − 1 5 ) C．( 4 3 ， − 1 3 ) D．( 6 5 ， 1 5 ) 【变式 4-3】(24-25 高二下·上海宝山·阶段练习)在等腰直角∆ABC中， 6AB AC  ，点 P是边 AB上异于端 点的一点，光线从点 P出发经 BC、CA边反射后又回到点 P，若光线QR经过∆ABC的重心，则 PQB△ 的面 积等于( ) A． 16 3 B． 4 C．5 D． 15 4 题型 05 对称直线问题 【典例 5-1】(23-24 高二上·河北石家庄·阶段练习)直线 1y x  关于直线 2y x 对称的直线方程为( ) A．3 1 0x y   B． 4 2 0x y   C．5 3 0x y   D．7 5 0x y   【典例 5-2】(23-24 高三上·广东·期末)直线 2 3 0x y   关于直线 y x  对称的直线方程是( ) A． 2 3 0x y   B．2 3 0x y   C． 2 3 0x y   D． 2 3 3 0x y   【典例 5-3】(24-25 高二上·江苏苏州·期末)直线 2 0x y   关于直线 l：3 3 0x y   对称的直线方程为( ) A．7 22 0x y   B．7 22 0x y   C．6 22 0x y   D．6 22 0x y   【变式 5-1】(24-25 高二上·内蒙古包头·期末)直线3 4 3 0x y   关于 x轴对称的直线方程为( ) 第 8 页 共 12 页 A． 3 4 3 0x y    B．3 4 3 0x y   C． 3 4 3 0x y    D．4 3 3 0x y   【变式 5-2】(2025 高三·全国·专题练习)与直线3 4 5 0x y   关于坐标原点对称的直线的方程为( ) A． 4 3 5 0x y   B．3 4 5 0x y   C． 4 3 5 0x y   D．3 4 5 0x y   【变式 5-3】(24-25 高二上·广东深圳·期末)已知直线 1 : 2 1 0l x y   与直线 2 : 2 2 0l x y   关于直线 : 2 4 0l x y C   对称，则C的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式 5-4】(24-25 高二上·天津·开学考试)已知点  3,6A  和  1,2B ，在 x轴上求一点M ，使 AM BM 最 小，那么点M 的坐标为( ) A．  2,0 B．  1,0 C．  4.4,0 D．  0,0 【变式 5-5】(24-25 高二上·广东清远·期中)已知直线 1 0: 3 0, : 1 0l x y l x y      ，若 1l 关于 0l 对称的直线为 2l ，则直线 2l 的方程是( ) A． 3 0x y   B． 5 0x y   C． 3 0x y   D． 5 0x y   1.(24-25 高二下·河南新乡·期中)若直线 1 : 1 0l x y   与 2 : (2 ) 1 0l x a y    互相垂直，则 a  ( ) A．0 B． 3 C． 1 D． 2 2.(24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习)经过点  1,1A 且与直线 2 1y x   垂直的直线方程为( ) A． 2 3 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 0x y   D．2 3 0x y   3.(2025·四川成都·模拟预测)“ 0a  ”是“直线 ( 2) 1 0a x y    与直线2 ( 1) 2 0x a y    互相平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.(2004·全国·高考真题)已知点  1,2A ，  3,1B ，则线段 AB的垂直平分线方程为( ) A． 4 2 5 0x y   B． 4 2 5 0x y   C． 2 5 0x y   D． 2 5 0x y   5.(2025 高三·全国·专题练习)已知直线  1 : 1 2l x a y a    与 2 : 2 4 16l ax y   ，则下列说法不正确的是( ) A．若 1a  时，则 1 2l l// B．若 2a   时，则 1l 与 2l 重合 第 9 页 共 12 页 C．若 2 3 a   时，则 1 2l l D．若 0a  时，则 1l 与 2l 交于点  6, 4 6.(24-25 高二上·北京丰台·期末)与直线2 1 0x y   关于 x轴对称的直线方程为( ) A． 2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 1 0x y   D． 2 1 0x y   7.(24-25 高二上·江苏南通·开学考试)点 P在直线 : 1 0l x y   上运动，    2,3 , 2,0A B ，则 PA PB 的最大 值是( ) A． 5 B． 6 C．3 D．4 8.(23-24 高二上·上海·阶段练习)若点  3,1P 既是    1 1 2 2, , ,A a b B a b 的中点，又是直线 1 1 1: 10 0l a x b y   与 2 2 2: 10 0l a x b y   的交点，则线段 AB的垂直平分线的方程是( ) A．3 10 0x y   B． 3 6 0x y   C． 3 0x y  D．3 8 0x y   9.(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线  1 2: 1 3 0m yl x m     ， 2 : 2 2 0l x my m    ，则下列说法正确 的是( ) A． 1 2l l∥ 的充要条件为 1m  或 2m   B．若 1 2l l ，则 2 3 m   C．若直线 1l 不经过第四象限，则 1m   D．若 2m  ，则将直线 2l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 π 2 ，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 1y x  10.(25-26 高二上·全国·期中)已知直线 1l ： 3 0ax y a   ，直线 2l ：  2 1 6 0x a y    ，则( ) A．当 3a  时， 1l 与 2l 的交点是  3,0 B．直线 1l 与 2l 都恒过  3,0 C．若 1 2l l ，则 1 3 a  D． Ra  ，使得 1 2l l// 11.(2025·河北秦皇岛·模拟预测)如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在A点平行于地面发出一条射线 ， 与 AB的夹角为，在 AB中点处有一个感应器 P (体积忽略不计)，已知 12AB  ，AD m ，则下列说法正确 的是( ) A．若 3m  ，射线 经过一次反射就被感应器捕捉到，则 π 3   B．若 8m  ，射线 第一个反射点在 BC边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论 AD长度如何变化，必定存在使得射线 反射两次就可以被感应器捕捉到 第 10 页 共 12 页 D．存在，使得射线 依次经过 BC， AD，CD三个面的反射后能被感应器捕捉到 12.(2025 高三·全国·专题练习)已知直线 l的方程为3 4 12 0x y   ，则与 l垂直，且过点  1,3 的直线方程 是 ． 13.(24-25 高二下·上海崇明·期末)已知点  0,1A 、  2,3B ，则线段 AB的垂直平分线方程为 ． 14.(24-25 高二上·广东清远·期中)已知点 P在直线 1 0x y   上，点 (1, 2), (2,6)A B ，则 | | | |PA PB 的最小值 为 15．(2025 高二·全国·专题练习)求过两条直线 2 0x y   和 2 4 0x y   的交点，且分别满足下列条件的直 线 l的方程： (1)与直线3 4 1 0x y   平行；(2)与直线5 3 6 0x y   垂直． 第 11 页 共 12 页 16.(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线 1 : 2 3 2 0l x y   ，  2 : 2 1 1 0l mx m y    ，其中m为实数． (1)当 1 2l l∥ 时，求m的值； (2)当 1m  时，求过直线 1 2,l l 的交点，且垂直于直线 2 4 0x y   的直线方程． 17．(24-25 高二上·广东清远·期中)已知直线 1 2: 2 3 0, : 2 3 8 0l x y l x y      ． (1)求经过点 (1, 4)A 且与直线 2l 垂直的直线方程； (2)求经过直线 1l 与 2l 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 第 12 页 共 12 页 18．(24-25 高二上·上海·阶段练习)分别求经过点  0, 1P  ，且满足下列条件的直线 l方程： (1)点  2,1A 与点  0,1B 到直线 l的距离相等； (2)直线 l被两条平行直线 2 6 0x y   和 4 2 5 0x y   截得的线段长为 7 2 ． 19．(24-25 高一上·四川·期中)已知∆ABC三个顶点分别为  1,1A ，  1, 3B   ，  3, 1C  . (1)求 AB边上的高线长；(2)过∆ABC内一点  1,0P 有一条直线 l与边 AB，AC分别交于点M ，N，且点 P平 分线段MN，求直线 l的方程. 第 1 页 共 28 页 专题 2.3 两直线的位置关系 教学目标 1、理解并掌握两直线平行、垂直的判断及应用； 2、理解并掌握两直线交点坐标的求法； 3、掌握点关于点的对称点、点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线、直线关于直 线的对称直线的求法； 教学重难点 1、重点：两直线的平行、垂直的判断及应用； 2、难点：点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线. 1.平行条件 (1)斜截式方程： 11:1 bxkyl  ， 22:2 bxkyl  ，�1//�2 ⇔ k1 = k2, b1 ≠ b2, (2)一般式方程： 0: 1111  CyBxAl ， 0: 2222  CyBxAl ，�1//�2 ⇔ A1B2 = A2B1, A1C2 ≠ A2C1, 2.重合的条件 (1)斜截式方程： 11:1 bxkyl  ， 22:2 bxkyl  ，�1//�2重合 ⇔ k1 = k2, b1 = b2, (2)一般式方程： 0: 1111  CyBxAl ， 0: 2222  CyBxAl ，�1//�2重合 ⇔ A1B2 = A2B1, A1C2 = A2C1, 3.平行直线系 与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程为 Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； 【即学即练 1-1】(2025·宁夏中卫·三模)若直线 1l ：  2 3 3 0m x y    与直线 2l ：  2 1 2 0x m y    平行， 则m  ( ) A．4 B．1 C．1 或-4 D．-1或 4 第 2 页 共 28 页 【答案】D【难度】0.85【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线一般方程的平行关系求m的值，并代入检验即可. 【详解】依题意得，    2 1 2 3m m    ，得 2 3 4 0m m   ，解得 4m  或 1m   ， 若 4m  时，直线 1 : 2 3 3 0l x y   与直线 2 : 2 3 2 0  l x y 平行，符合题意； 若 1m   时，直线 1 : 1 0l x y   与直线 2 : 1 0l x y   平行，符合题意； 综上所述： 4m  或 1m   ．故选：D 【即学即练 1-2】(2025·上海·模拟预测)“ 4m   ”是“直线  1 : 2 3 1 0l m x y    与直线  2 : 2 1 0l mx m y    相互平行”的( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C【难度】0.85【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出m，再检验即可得解. 【详解】若直线  1 : 2 3 1 0l m x y    与直线  2 : 2 1 0l mx m y    相互平行， 则      2 2 3m m m      ，即 2 3 4 0m m   ，解得 4m   或 1m  ， 当 4m   时，直线 1 : 6 3 1 0l x y    与直线 2 : 4 2 1 0l x y    相互平行，符合题意； 当 1m  时，直线 1 : 3 1 0l x y    即 3 1 0x y   ， 直线 2 : 3 1 0  l x y ，两直线重合，不符合题意； 所以“ 4m   ”是“直线  1 : 2 3 1 0l m x y    与直线  2 : 2 1 0l mx m y    相互平行”的充要条件.故选：C 【即学即练 1-3】(24-25 高二下·云南玉溪·期中)若点  3,4A ，  5,3B 到直线 : 2 1 0l x ay   的距离相等，则 a  ( ) A．4 B． 4 C．4 或 18 7  D． 4 或 18 7 【答案】C【难度】0.85【知识点】已知直线平行求参数、已知点到直线距离求参数 【分析】分 ,A B在直线 l的同侧和 ,A B分别在直线 l的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若A， B在直线 l的同侧，则 4 3 2 3 5 a     ，解得 4a  ； 若A， B分别在直线 l的两侧，则直线 l经过 AB的中点 74, 2       ，则 78 1 0 2 a   ，解得 18 7 a   ．故选：C 1.两直线垂直的条件 (1)斜截式方程： 11:1 bxkyl  ， 22:2 bxkyl  ， 12121  kkll (2)一般式方程：�1: �1� + �1� + �1 = 0, �2: �2� + �2� + �2 = 0,则�1 ⊥ l2 ⇔ A1A2 + B1B2 = 0 提醒 当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略. 2.垂直直线系 与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程为 Bx－Ay＋C1＝0； 第 3 页 共 28 页 【即学即练 2-1】(24-25 高二下·河南南阳·期末)已知直线 2 0ax y   与直线  1 2 0x a y    垂直，则实数 a的值为( ) A．1 5 2  B． 12 C． 1 5 2  D． 1 2  【答案】B【难度】0.85【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据直线垂直的充要条件可求解. 【详解】因为直线 2 0ax y   与直线  1 2 0x a y    垂直， 所以  1 1 1 0a a     ，解得 1 2 a  .故选：B. 【即学即练2-2】(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线 1l 经过    3,2 1,A B m ， 两点，直线 2l 的倾斜角为 45 ， 若 1l 与 2l 平行，则m  ( ) A． 1 B．2 C．3 D．6 【答案】D【难度】0.94【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率、已知直线平行求参数 【分析】根据 A，B两点坐标得出 1l 的斜率 1k ，根据直线 2l 的倾斜角为 45 得出 2l 的斜率 2k ， 由 1l 与 2l 平行得出 1 2k k ，可解出m . 【详解】直线 1l 的斜率  1 2 2 1 3 4 m mk      ，直线 2 l 的斜率 2 tan 45 1k   ． 1l 与 2l 平行， 1 2k k  ，即 2 1 4 m   ，解得 6m  ．故选：D. 【即学即练 2-3】(24-25 高二下·河南濮阳·期中)经过点  1,2 且与直线 2 7 0x y   垂直的直线方程为( ) A． 2 5 0x y   B． 2 4 0x y   C． 2 5 0x y   D． 2 4 0x y   【答案】D【难度】0.94【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】利用两直线垂直得出所求直线的斜率，再利用点斜式方程可得结果. 【详解】由题意可知 2 7 0x y   的斜率为 1 2 k   ，所以与其垂直的直线斜率为 2k  ， 由点斜式可知该直线方程为  2 1 2 2 4 0y x x y       ，故选：D 1.两条直线的交点坐标：已知两条直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交， 则交点 P的坐标是方程组 �1� + �1� + �1 = 0, �2� + �2� + �2 = 0 的解． 2.两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组 �1� + �1� + �1 = 0, �2� + �2� + �2 = 0 的解 一组 无数组 无解 直线 l1与 l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线 l1与 l2的位置关系 相交 重合 平行 3.交点直线系 过直线 A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不 第 4 页 共 28 页 包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0). 【即学即练 3-1】(2025 高二·全国·专题练习)直线 2 5 7 0x y   和3 2 6 0x y   的交点坐标为( ) A．  4,3 B．  3,4 C．  4,3 D．  4, 3  【答案】C【难度】0.94【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立方程求解即可. 【详解】由方程组 2 5 7 0 3 2 6 0 x y x y        ，得 4 3 x y     ，即交点为  4,3 ．故选：C． 【即学即练 3-2】(23-24 高二上·广东·阶段练习)已知直线 l经过两条直线 1l ： 2x y  ， 2l ：2 1x y  的交点， 且 l的一个方向向量为  3,2v    ，则直线 l的方程为( ) A． 2 3 1 0x y   B． 2 3 5 0x y   C．3 2 5 0x y   D． 2 3 1 0x y+ - = 【答案】B【难度】0.65【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】联立两直线求出交点坐标，根据 l的方向向量求出直线 l的斜率即可求出 l的方程. 【详解】联立 2 2 1 x y x y      ，解得 1 1 x y    ，即直线 1l ： 2x y  ， 2l ： 2 1x y  的交点为  1,1 ， 又直线 l的一个方向向量  3,2v    ，所以直线 l的斜率为 2 3  ， 故直线 l的方程为  21 1 3 y x    ，即 2 3 5 0x y   ，故选：B． (1)点 P(x0，y0)关于点 A(a，b)的对称点为 P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点 P(x0，y0)关于直线 y＝kx＋b的对称点为 P′(x′，y′)， 则有 �'−�0 �'−�0 ∙ � =− 1, �'+�0 2 = � ∙ � '+�0 2 + �, 可求出 x′，y′. 【即学即练 4】(24-25 高二下·上海·阶段练习)点  2, 3P  关于直线 : 1l y x  的对称点为( ) A．  3,4 B．  4, 3  C．  4,3 D．  3, 4  【答案】C【难度】0.85【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设点  2, 3P  关于直线 : 1l y x  的对称点为  ,Q x y ，列出方程组，即可求解. 【详解】设点  2, 3P  关于直线 : 1l y x  的对称点为  ,Q x y ， 则满足 3 1 1 2 3 2 1 2 2 y x y x            ，解得 4, 3x y   ，即  4,3Q  .故选：C. 若直线�1上的 A、B 关于直线�的对称点分别为�', �'，则�1关于直线�的对称直线�'必然经过点�', �'； 【即学即练 5】(24-25 高二上·天津红桥·阶段练习)直线 2 1 0x y   关于直线 1x  对称的直线方程是( ) 第 5 页 共 28 页 A． 2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 3 0x y   D． 2 3 0x y   【答案】D【难度】0.85【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为  ,P x y ，利用对称的性质得到点 P 关于直线 1x  对称的点为  2 ,P x y  代入直线 2 1 0x y   即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为  ,P x y ，该点关于直线 1x  对称的点的坐标为  0 0,P x y ， 则 0 0 1 2 y y x x      ,故对称点坐标为  2 ,P x y  ，代入直线 2 1 0x y   上， 2 2 1 0 2 3 0x y x y         ， 故选：D 题型 01 两直线平行及应用 【典例 1-1】(24-25 高二上·四川乐山·期末)已知直线 1 : 1 0l ax y a    ，直线 2 2 (: 1) 3 0l x a y    平行，则 实数 a  ( ) A． 1 B． 2 C． 1 或 2 D．不存在 【答案】A【难度】0.94【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线的位置关系，直接求解参数即可. 【详解】由题可得       1 2 0 1 1 3 a a a a         ，解得 1a   .故选：A 【典例 1-2】(24-25 高一下·重庆·期末)已知直线  1 : 1 1 0l a x y    ，    2 : 3 5 1 2 0l a x a y     ，则 1l ∥ 2l 的充要条件的是( ) A． 2a  B． 3a  C． 2a  或3 D． 4a  【答案】A【难度】0.85【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据两直线平行列方程求解 a，然后检验判断即可. 【详解】因为 1l ∥ 2l ，所以     1 1 3 5 1 0a a a      且     1 2 1 1 0a      ，解得 2a  ， 当 2a  时，直线 1 : 1 0l x y   ， 2 : 2 0l x y   ，显然 1l ∥ 2l ， 所以 1l ∥ 2l 的充要条件的是 2a  .故选：A 【典例 1-3】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知  3, 4A   ，  6,3B 两点到直线 l： 1 0ax y   的距离相等， 则 a的值为( ) A． 1 3 B． 7 9  C． 1 3  或 7 9  D． 1 3 或 7 9  【答案】C【难度】0.65【知识点】已知两点求斜率、求到两点距离相等的直线方程 【分析】两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点， 列方程求参数值. 第 6 页 共 28 页 【详解】若 / /AB l，由  3, 4A   ，  6,3B ，得直线 AB的斜率为    3 4 7 6 3 9      ，又直线 l的斜率为 a ，故 7 9 a   ； 若 ,A B在 l两侧，线段 AB的中点 3 1,2 2      ，代入直线 l： 1 0ax y   ，得 3 1 1 0 2 2 a    ，则 1 3 a   ． 经检验， 1 3 a   或 7 9 a   均符合题意.故选：C 【典例 1-4】(24-25 高二上·江西上饶·期末)“直线 2 3 0ax y   与直线  1 2 0x a y    平行”是“ 1a   ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知直线平行求参数 【分析】先根据直线 2 3 0ax y   与直线  1 2 0x a y    平行可得 2a  或 1a   ，进而可判断. 【详解】因为直线 2 3 0ax y   与直线  1 2 0x a y    平行， 直线 2 3 0ax y   的斜率为 2 a  ，则直线  1 2 0x a y    的斜率存在且为 1 1a   ，故 1a  ， 所以 1 12 a a     ，即 2 2 0 1 a a a       ，解得 2a  或 1a   ， 当 2a  时，两直线分别为 2 2 3 0x y   ， 2 0x y   ，不重合满足题意， 当 1a   时，两直线分别为 2 3 0x y    ， 2 2 0x y   ，不重合满足题意， 故由直线 2 3 0ax y   与直线  1 2 0x a y    平行可得 2a  或 1a   ， 故“直线 2 3 0ax y   与直线  1 2 0x a y    平行”是“ 1a   ”的必要不充分条件，故选：B 【变式 1-1】(24-25 高二下·上海青浦·期中)若m、n为实数，则“ 1m   ”是“直线 2 0x my   与直线 0x y n   平行”的( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知直线平行求参数 【分析】利用两直线平行求出实数m的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线 2 0x my   与直线 0x y n   平行，则 1m   且 2n   ， 因为“ 1m   ” “ 1m   且 2n   ”，但“ 1m   ” “ 1m   且 2n   ”， 因此，“ 1m   ”是“直线 2 0x my   与直线 0x y n   平行”的必要不充分条件.故选：B. 【变式 1-2】(2025·上海·三模)设 a为实数，直线 1 : 1l ax y  ，直线 2 : 2l x ay a  ，则“ 1a  ”是“ 1 2,l l 平行”的( ) 条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【详解】若 1a  ，则直线 1 : 1l x y  ，直线 2 : 2l x y  ，此时 1 2,l l 平行，则 2 1a  即 1a   ， 当 1a  时， 1 2,l l 平行， 当 1a   时，直线 1 : 1l x y   ，直线 2 : 2l x y   ，此时 1 2,l l 也平行， 第 7 页 共 28 页 故 1 2,l l 平行时推不出 1a  ，故“ 1a  ”是“ 1 2,l l 平行”的充分不必要条件，故选：A. 【变式 1-3】(24-25 高二下·广西南宁·期末)若 aR，直线 1 : 2 1 0l x ay   ，直线  2 : 3 1 1 0l a x ay    ，则 “ 1 2l l∥ ”的充分不必要条件是( ) A． 0a  B． 16a   C． 1a  D． 1 2 a  【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】由题可得 1 2l l∥ 的充要条件，据此可得答案. 【详解】因 1 2l l∥ ，则   22 3 1 6 0 0a a a a a a        或 1 6 a  . 当 0a  ， 1 : 1 0l x   ， 2 : 1 0l x   ，两直线平行，满足题意； 当 1 6 a  ， 1 1: 1 0 3 3 0 3 l x y x y       ， 2 1 1: 1 0 3 6 0 2 6 l x y x y        ，满足题意. 则 1 2l l∥ 的充要条件为 1 6 a  或 0a  . 则“ 1 2l l∥ ”的充分不必要条件可以是 1 6 a  ，也可以是 0a  .故选：A 【变式 1-4】(2025·天津红桥·模拟预测)若直线 1l ： 1 0x y   与直线 2l ： 0x my  互相平行，则 m的值为( ) A． 2 B．1 C． 1 D．2 【答案】C【难度】0.85【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据平行线的性质进行求解即可. 【详解】由题意，  1 1 1 0m     ，解得 1m   ， 此时 1 : 1 0l x y   ， 2 : 0l x y  ，满足题意.故选：C. 【变式 1-5】(24-25 高一下·上海·期末)“ 0  ”是“直线 ( 2) 3 0x y      与直线 2 1 0x y    平行”的( )． A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】当 0  时，两直线方程为 3 2 y  ， 1 2 y  ，所以两直线平行. 当直线 ( 2) 3 0x y      与直线 2 1 0x y    平行时， 2 ( 2) 0l l l- - = ，解得 0  或 4  ， 当 0  时，两直线方程为 3 2 y  ， 1 2 y  ，两直线平行， 当 4  时，两直线方程为 4 2 3 0x y   ， 4 2 1 0x y   ，两直线平行， 所以由直线 ( 2) 3 0x y      与直线 2 1 0x y    平行，得 0  或 4  . 综上，“ 0  ”是“直线 ( 2) 3 0x y      与直线 2 1 0x y    平行”的充分不必要条件.故选：B. 【变式 1-6】(24-25 高二上·吉林通化·阶段练习)“ 3m  ”是“直线 2 3 0mx y m   和直线  3 1 7 0x m y m     不重合而平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第 8 页 共 28 页 【答案】C【难度】0.94【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数 【分析】利用平行的位置关系可列出系数满足的关系式，从而求解进行判断即可. 【详解】当 3m  时，直线3 2 9 0x y   和直线3 2 +4 0x y  是不重合而平行关系，即满足充分性， 当直线 2 3 0mx y m   和直线  3 1 7 0x m y m     不重合而平行时， 有 3 2 1 3 7 2 1 m m m m m          ，解得 3m  ，故满足必要性，故选：C. 题型 02 两直线垂直及应用 【典例 2-1】(24-25 高二下·安徽·阶段练习)若直线 l经过点 (2,0)且与直线 1 2 y x 垂直，则 l的方程为( ) A． 2 4 0x y   B． 2 4 0x y   C． 2 2 0x y   D． 2 2 0x y   【答案】A【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析 因为直线 l与直线 1 2 y x 垂直，所以 l的斜率为-2， 所以 l的方程为 2( 2)y x   ，即 2 4 0x y   ．故选：A. 【典例 2-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)将直线 1 : 2 0  l x y 绕点 (2,0)顺时针旋转90得到直线 2l ，则直 线 2l 的方程是( ) A． 2 4 0x y   B． 2 0x y   C． 2 0x y   D． 2 4 0x y   【答案】C【难度】0.85【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】由题意知， 1 2l l ，所以 1 2,l l 的斜率之积为 1 ，可得到 2l 的斜率，再由 2l 过点 (2,0)，即可得到答案． 【详解】设直线 1 2,l l 的斜率分别为 1 2,k k ，由 1 : 2 0  l x y 可知， 1 1k   ， 由题意可知， 1 2l l ，所以 1 2 1k k× = - ，所以 2 1k  ． 因为 2l 过点 (2,0)，所以由直线的点斜式方程可知 2l 的方程为 0 1 ( 2)y x    ， 即 2 0x y   ．故选：C. 【典例 2-3】(25-26 高二上·全国·单元测试)设 a，b，c分别是∆ABC中角 A，B，C的对边，则直线 sin 0A x ay c    与 sin sin 0bx B y C    的位置关系是( ) A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【答案】C【难度】0.85【知识点】正弦定理及辨析、直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】由正弦定理结合两直线方程系数之间的关系进行判断. 【详解】由正弦定理 sin sin a b A B  ，得 sin sinb A a B ， 又两条直线的方程分别为 sin 0A x ay c    ， sin sin 0bx B y C    ， 因为两直线的系数满足  sin sin sin sin 0b A a B b A a B     ，所以两直线垂直．故选：C. 【变式 2-1】(24-25 高二下·山西·期中)若直线2 1 0x y   与直线 2 3 0ax y   垂直，则 a  ( ) 第 9 页 共 28 页 A． 1 B． 12 C．1 D．2 【答案】C【难度】0.94【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】利用两条直线互相垂直列式求解. 【详解】由直线2 1 0x y   与直线 2 3 0ax y   垂直，得 2 2 0a   ，所以 1a  .故选：C 【变式 2-2】(24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习)经过点  1,1A 且与直线 2 1y x   垂直的直线方程为( ) A． 2 3 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 0x y   D．2 3 0x y   【答案】B【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】由两直线垂直确定斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】直线 2 1y x   的斜率为 2 ，两直线垂直， 故所求直线方程为 11 (x 1) 2 y    ，则 2 1 0x y   .故选：B. 【变式 2-3】(2025·山西·三模)已知直线 1 : 0l ax y a   与  2 : 4 5 4 0l a x y    ，则“ 5a  ”是“ 1 2l l ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数 【分析】由 1 2l l ，得到  4 5 0a a    ，求解即可判断. 【详解】由 1 2l l ，则  4 5 0a a    ，解得 5a  或 1a   ， 所以“ 5a  ”是“ 1 2l l ”的充分不必要条件.故选：A. 【变式 2-4】(24-25 高二下·北京·期中)以    1,3 , 1,1A B  为端点的线段的垂直平分线的方程为( ) A． 2 0x y   B． 2 2 0x y   C． 2 0x y   D． 2 4 0x y   【答案】C【难度】0.85【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于 1 ，据此即可求出线段垂直 平分线方程. 【详解】因为    1,3 , 1,1A B  则   3 1 1 1 1AB k     ， 所以线段 AB的中垂线的斜率为 1 ， 又线段的中点为  1 1 3 1 2 2        ， ，即  0 2， ， 所以线段 AB中垂线方程为： 2 ( 0)y x    ，即 2 0x y   .故选：C． 【变式 2-5】(24-25 高二下·河南·阶段练习)已知矩形 ABCD的边 AB所在直线的方程为 2 4 0x y   ，顶点  0, 1D  ，则顶点A的坐标为( ) A．  2,0 B．  1,0 C．  1,0 D．  2,0 【答案】A【难度】0.85【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】由 AB AD ，求出边 AD所在的直线方程，再联立直线 AB， AD组成的方程组，方程组的解即为 顶点A的坐标. 第 10 页 共 28 页 【详解】因为 AB AD ，边 AB所在直线的方程为 2 4 0x y   ， 设 AD所在直线方程为 2 0x y m   ，因为过  0, 1D  ， 所以 2m  ，所以 AD所在直线方程为 2 2 0x y   ， 由 2 4 0 2 2 0 x y x y        解得 2 0 x y     ，即顶点A的坐标为  2,0 .故选：A. 题型 03 两直线的交点问题 【典例 3-1】(23-24 高二上·贵州遵义·阶段练习)直线 1l ： 2 3 5 0x y   与 2l ： 10 0x y   的交点坐标是( ) A．  5,5 B．  2,3 C．  3,7 D．  8,5 【答案】A【难度】0.94【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立两直线方程，求出交点坐标. 【详解】联立方程组 2 3 5 0 10 0 x y x y        解得 5 5 x y    ， 故 1l 与 2l 的交点坐标为  5,5 .故选：A 【典例 3-2】(24-25 高二上·云南曲靖·期中)已知直线 l过直线 1 : 0l x y  和 2 : 2 0l x y   的交点，且与 3 4 5 0x y   平行，则 l的方程是( ) A．3 4 7 0x y   B．3 4 7 0x y   C． 4 3 1 0x y   D． 4 3 1 0x y   【答案】B【难度】0.85【知识点】求直线交点坐标 【分析】求出直线 1l 、 2l 的交点坐标，根据题意，设直线 l的方程为3 4 0x y m   ，将交点坐标代入直线 l的 方程，求出实数m的值，即可得出直线 l的方程. 【详解】联立直线 1l 、 2l 的方程， 0 2 0 x y x y       ，解得 1x y  ， 故直线 1l 、 2l 的交点坐标为  1,1 ， 因为直线 l与直线3 4 5 0x y   平行，设直线 l的方程为3 4 0x y m   ， 将点  1,1 的坐标代入直线 l的方程可得3 4 0m   ，解得 7m   . 因此，直线 l的方程为3 4 7 0x y   .故选：B. 【典例 3-3】(23-24 高二上·重庆·阶段练习)过直线 1 0x y   与 2 4 0x y   的交点，且一个方向向量  13v   ， 的直线方程为( ) A．3 1 0x y   B． 3 5 0x y   C．3 3 0x y   D． 3 5 0x y   【答案】A【难度】0.85【知识点】求直线交点坐标、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线 的方程即可求解. 【详解】联立 1 0 2 4 0 x y x y        ，得交点坐标为  1, 2 ， 因为直线的一个方向向量  13v   ， ，所以直线的斜率为 3k   ， 第 11 页 共 28 页 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为  2 3 1y x    ，即3 1 0x y   .故选：A. 【典例 3-4】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知∆ABC三边所在直线方程分别为 : 3AB x  4 12 0, : 4 3 16 0, : 2 2 0y BC x y AC x y        ，则 AC边上的高所在直线的方程是( ) A． 2 4 0x y   B． 2 4 9 0x y   C． 4 3 9 0x y   D．7 28 0x y   【答案】A【难度】0.85【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】在∆ABC中， AC边上的高必过点 B，联立 AB、 BC得出交点 B，设 AC边上的高所在直线的斜率 为 k，根据互相垂直直线斜率乘积为 1 解出斜率 k，求出直线所在方程. 【详解】设 AC边上的高所在直线的斜率为 k，则有 2, 1 1, 2 AC AC k k k k        ， 联立 AB、 BC方程 3 4 12 0, 4 3 16 0, x y x y        ，得交点 ( 4,0)B  ， ABC 中 AC边上的高过点 ( 4,0)B  ，斜率为 1 2 k  ，所在直线的方程为 1 ( 4) 2 y x  ， 即 2 4 0x y   ．故选：A. 【变式 3-1】(23-24 高二上·江西南昌·阶段练习)直线 y x 与直线 2y x   的交点坐标为( ) A．  1, 1  B．  1,1 C．  1,1 D．( )1, 1- 【答案】B【难度】0.94【知识点】求直线交点坐标 【分析】通过联立方程组求得正确答案. 【详解】由 2 y x y x      解得 1x y  ，所以交点为  1,1 .故选：B 【变式 3-2】(24-25 高二上·江苏宿迁·期末)已知直线 l过直线 2 0x y  与直线 3 0x y   的交点，且与直线 3 1 0x y   平行，则直线 l的方程为( ) A．3 7 0x y   B．3 7 0x y   C．3 3 0x y   D．3 3 0x y   【答案】A【难度】0.65【知识点】由两条直线平行求方程、求直线交点坐标 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】直线 2 0x y  与直线 3 0x y   的交点为  2, 1  ， 又因为 l与直线3 1 0x y   平行，所以设直线 l为：3 0x y C   ， 代入  2, 1  得    3 2 1 0C      ，所以 7C  ， 所以直线 l的方程为3 7 0x y   .故选：A. 【变式 3-3】(24-25 高二上·江苏连云港·期中)若直线 l与直线 3x  交于点 P，与直线 5 0x y   交于点Q， 且线段 PQ的中点是( )1, 1- ，则 l的斜率为( ) A． 5 2  B． 2 5  C． 5 2 D． 2 5 【答案】A【难度】0.65【知识点】已知两点求斜率、求直线交点坐标 【分析】设 1 1 2 2 )( , ), ( ,P x y Q x y ，结合 P在 3x  上，Q在 5 0x y   上及中点坐标公式求解. 第 12 页 共 28 页 【详解】设 1 1 2 2 )( , ), ( ,P x y Q x y ，由题意得， 1 3x  ， 又 PQ的中点是  1, 1 ，则 1 2 1 2 x x  ，故 2 1x   ， 又Q在 5 0x y   上，则 2 2 5 0x y   ，故 2 4y  ， 又 1 2 1 2 y y   ，故 1 6y   ，于是    3, 6 , 1,4P Q  ， 根据斜率公式，  4 6 5 1 3 2l PQ k k         .故选：A 【变式 3-4】(22-23 高二上·广东深圳·期中)已知直线 1l ： 1 0ax y   与 2l ： 2 1 0x by   相交于点  1,1M ， 则a b  ( ) A． 1 B．1 C．2 D．－2 【答案】A【难度】0.94【知识点】求直线交点坐标 【分析】把点  1,1M 代入两直线方程求得 a b、 ，进而求得 a b ． 【详解】∵ 点  1,1M 在直线 1l 和 2l 上， ∴ 1 1 0 2 1 0 a b        ，解得 2 1 a b     ， 1a b    ．故选：A． 【变式 3-4】(24-25 高二上·黑龙江·阶段练习)若直线 1 0ax y a    与 2 4 0x y   的交点位于第一象限，则 实数 a的取值范围是( ) A． 1, (3, ) 3          B． 1 ,3 3      C． 1( , 3) , 3          D． 13, 3      【答案】A【难度】0.65【知识点】分式不等式、求直线交点坐标 【分析】求出两条直线的交点后可求 a的取值范围. 【详解】由 1 0 2 4 0 ax y a x y         可得3 1 (2 1)a a y   ， 因为两条直线的交点在第一象限，故 2 1 0a   且 3 1 2 1 ay a    ，故 2 6 2 1 ax a    ， 故 3 1 0 2 1 2 6 0 2 1 a a a a         ，解得 1 3 a   或 3a  .故选：A. 题型 04 对称点问题 【典例 4-1】(24-25 高二下·湖北·期中)已知点  2,4A 关于直线 l对称的点为  1,2B  ，则直线 l的方程为( ) A． 4 6 15 0x y   B．6 4 15 0x y   C．6 4 15 0x y   D． 4 6 15 0x y   【答案】C【难度】0.85【知识点】求两点的对称轴 【分析】分析可知，直线 l为线段 AB的垂直平分线，求出线段 AB的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线 l为线段 AB的垂直平分线，且 4 2 2 2 1 3AB k    ，所以直线 l的斜率为 3 2  ， 第 13 页 共 28 页 又因为线段 AB的中点为 1 ,3 2 M      ，所以直线 l的方程为 3 13 2 2 y x        ， 整理可得6 4 15 0x y   .故选：C. 【典例 4-2】(22-23高二上·四川遂宁·期末)已知点 A与点 (2,1)B 关于直线 + 2 0x y   对称，则点 A的坐标为( ) A． ( 1, 4) B． (4,5) C． ( 3, 4)  D． ( 4, 3)  【答案】C【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】因点 A与点 B关于直线对称，则 AB中点在直线 + 2 0x y   上且直线 AB与直线 + 2 0x y   垂直. 【详解】设  ,A x y ，因点 A与点 B关于直线对称， 则 AB中点在直线 + 2 0x y   上且直线 AB与直线 + 2 0x y   垂直， 则 2 1 2 0 32 2 1 41 2 x y x y y x               ，即点 A坐标为 ( 3, 4)  .故选：C 【典例 4-3】(24-25 高二上·上海·期末)在等腰直角∆ABC中， 3AB AC  ，点 P是边 AB上异于端点的一点， 光线从点 P出发经 BC，CA边反射后又回到点 P，若光线QR经过∆ABC的重心，则 PQR 的周长等于( ) A． 2 5 B． 2 7 C．3 2 D． 4 2 【答案】A【难度】0.4【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得 (3,0), (0,3)B C ，设 ( ,0)P a ，求出 P关于直线 BC的对称点 1P的坐标， P关于 y轴的对称点 2P 的坐标，由反射性质得 1 2, , ,P Q R P四点共线，求得直线QR方程，由G在直线QR上可 求得 a，然后计算 1 2PP 即可． 【详解】建立如图所求的直角坐标系，得 (3,0)B ， (0,3)C ， 则直线BC方程为 3x y  ， 且∆ABC的重心为 0 0 3 0 0 3, 3 3 G         ，即 (1,1)G ， 设 ( ,0)P a ， P关于直线 BC的对称点为 1( , )P x y ， 则 0 3 2 2 0 ( 1) 1 a x y y x a             ，解得 3 3 x y a     ，则 1(3,3 )P a ， 易知 P关于 y轴的对称点为 2 ( ,0)P a ， 根据光线反射原理知 1 2, , ,P Q R P四点共线，且 1PQ PQ ， 2PR P R ， 所以直线QR的方程为   3 0 ( ) 3 ( ) ay x a a        ，即 3 ( ) 3 ay x a a     ， 第 14 页 共 28 页 又直线QR过 (1,1)G ，所以 31 (1 ) 3 a a a     ，解得 1a  或 0a  (舍去)， 所以 (1,0)P ， 1( )3,2P ， 2 ( 1,0)P  ,所以 2 21 2 (3 1) (2 0) 2 5PP      ， 所以 PQR 的周长为 1 2 1 2 2 5PQ QR RP PQ QR RP PP       .故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把 PQR 的三边转化到同一条直线上，利用直线方程 求得点 P的坐标. 【变式 4-1】(22-23 高二下·河南安阳·开学考试)已知直线 : 5 2 0n x y   ，点 ( )1,0A 关于直线 3 0x y   的 对称点为 B，直线m经过点 B，且 //m n，则直线m的方程为( ) A．5 19 0x y   B． 5 17 0x y   C．5 5 0x y   D．5 10 0x y   【答案】A【难度】0.65【知识点】由两条直线平行求方程、求点关于直线的对称点 【分析】利用两点关于直线 3 0x y   对称可求得点 B的坐标，设直线m的方程为5 0x y c   ，将点 B的 坐标代入直线m的方程，求出 c的值，即可得出直线m的方程. 【详解】设点  ,B a b ，则   1 3 0 2 2 1 1 1AB a b bk a               ，解得 3 4 a b      ，即点  3, 4B   ， 因为 //m n，设直线m的方程为5 0x y c   ， 将点 B的坐标代入直线m的方程可得  5 3 4 0c     ，解得 19c  ， 所以，直线m的方程为5 19 0x y   .故选：A. 【变式 4-2】(23-24 高二上·河南洛阳·期中)已知直线3 2 6 0x y   分别与 ,x y轴交于 ,A B两点，若直线 1 0x y   上存在一点C，使 CA CB 最小，则点C的坐标为( ) A．( 2 3 ， 1 3 ) B．( 6 5 ， − 1 5 ) C．( 4 3 ， − 1 3 ) D．( 6 5 ， 1 5 ) 【答案】A【难度】0.65【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点 【分析】作点 B关于直线 1 0x y   对称的点 1B ，连接 1B A交直线 1 0x y   于点C，求出C坐标即可. 【详解】由题直线3 2 6 0x y   分别与 ,x y轴交于 ,A B两点，则    2,0 , 0,3A B ， 设点 B关于直线 1 0x y   对称的点为  1 0 0,B x y ， 则 0 00 00 0 3 1 2 13 1 0 2 2 y xx yx y            ，所以  1 2,1B  ，则直线  1 1 1 1: 2 4 4 2 AB y x y x      ， 第 15 页 共 28 页 联立 21 1 34 2 11 0 3 xy x x y y              ，所以 2 1, 3 3 C      .故选：A 【变式 4-3】(24-25 高二下·上海宝山·阶段练习)在等腰直角∆ABC中， 6AB AC  ，点 P是边 AB上异于端 点的一点，光线从点 P出发经 BC、CA边反射后又回到点 P，若光线QR经过∆ABC的重心，则 PQB△ 的面 积等于( ) A． 16 3 B． 4 C．5 D． 15 4 【答案】A【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】建立直角坐标系，设点 P的坐标，可得 P关于直线 BC的对称点 1P的坐标， 和 P关于 y轴的对称点 2P 的坐标，由 1 2, , ,P Q R P四点共线可得直线的方程， 由于过∆ABC的重心，代入可得关于 a的方程，解得 P的坐标， 即可求得 PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】建立直角坐标系，可得    6,0 , 0,6B C ,故直线 BC的方程为 6x y  ， 则∆ABC的重心为 0+0+6 0+0+6 3 3       ， ，即  2,2 ， 设  ,0P a ,其中0 6a  ，则点 P关于直线 BC的对称点  1 ,P x y ， 满足   0 6 2 2 0 1 1 a x y y x a             ，解得 6 6 x y a     ，即  1 6,6P a ， 易得 P关于 y轴的对称点  2 ,0P a ，由光的反射原理可知 1 2, , ,P Q R P四点共线， 直线QR的斜率为   6 0 6 6 6 a ak a a         ，故直线 QR的方程为  6 6 ay x a a     ， 由于直线QR过∆ABC的重心  2,2 ，代入得  62 2 6 a a a     ， 化简得 2a  或 0a  (舍去)，故  2,0P ,  1 6, 4P ,  2 ,2 0P  ,直线QR的方程为   1 2 2 y x  , 联立   6 1 2 2 x y y x       ,解得 10 3 8 3 x y       ,即点 Q 的坐标为 10 8, 3 3 Q     , 则三角形 PQB的面积  1 8 166 2 2 2 3 3Q S y       ，故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点 P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 1 2, , ,P Q R P 第 16 页 共 28 页 四点共线，进而求出点 1 2,P P 的坐标，和直线QR的方程，进而求出点 Q的坐标，即可求得结果. 题型 05 对称直线问题 【典例 5-1】(23-24 高二上·河北石家庄·阶段练习)直线 1y x  关于直线 2y x 对称的直线方程为( ) A．3 1 0x y   B． 4 2 0x y   C．5 3 0x y   D．7 5 0x y   【答案】D【难度】0.65【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线 1y x  上的点 ( 4, 3)  关于直线 2y x 的对称点即 可求解. 【详解】由 1 2 y x y x     ，解得 1 2 x y    ，则直线 1y x  与直线 2y x 交于点 (1,2)A ， 在直线 1y x  上取点 ( 4, 3)B   ，设点 B关于直线 2y x 的对称点 ( , )B a b ， 依题意， 3 1 4 2 3 42 2 2 b a b a           ，整理得 2 10 2 5 a b a b       ，解得 0 5 a b     ，即点 (0, 5)B  ， 直线BB的方程为 2 ( 5) 5 1 0 y x    ，即7 5 0x y   ， 所以直线 1y x  关于直线 2y x 对称的直线方程为7 5 0x y   .故选：D 【典例 5-2】(23-24 高三上·广东·期末)直线 2 3 0x y   关于直线 y x  对称的直线方程是( ) A． 2 3 0x y   B．2 3 0x y   C． 2 3 0x y   D． 2 3 3 0x y   【答案】B【难度】0.85【知识点】求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】作出图象，找出一个对称点和直线 2 3 0x y   与直线 y x  的交点，即可求出对称直线的方程. 【详解】由题意，在直线 2 3 0x y   中，作出图象如下图所示， 由图可知，点  3,0A  关于直线 y x  对称的点为  0,3B , 直线 2 3 0x y   与直线 y x  的交点为  3, 3C  , ∴关于直线 y x  对称的直线方程 BC为：  3 3 3 3 0 y x       ，即 2 3y x   ， ∴关于直线 y x  对称的直线方程是：2 3 0x y   .故选：B. 【典例 5-3】(24-25 高二上·江苏苏州·期末)直线 2 0x y   关于直线 l：3 3 0x y   对称的直线方程为( ) A．7 22 0x y   B．7 22 0x y   C．6 22 0x y   D．6 22 0x y   第 17 页 共 28 页 【答案】B【难度】0.65【知识点】直线点斜式方程及辨析、点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】先求两直线的交点 P，再在直线 2 0x y   取点  0, 2A  ，求点A关于直线 l的对称点 A，依据两 点 P， A，可得所求直线的方程. 【详解】联立 2 0 3 3 0 x y x y        ，解得 5 2 9 2 x y         .则交点坐标为 5 9, 2 2 P       . 取直线 2 0x y   上一点  0, 2A  ，设点A关于直线 l：3 3 0x y   的对称点为  ,A x y   ， 则由 1AA lk k    ，且线段 AA的中点在直线 l上， 得 2 3 1 0 23 3 0 2 2 y x x y                   ，解得 3 1 x y        .故所求直线过点 5 9, 2 2 P       ，  3, 1  . 所以所求直线方程为： 919 52 52 23 2 y x           ，即7 22 0x y   .故选：B 【变式 5-1】(24-25 高二上·内蒙古包头·期末)直线3 4 3 0x y   关于 x轴对称的直线方程为( ) A． 3 4 3 0x y    B．3 4 3 0x y   C． 3 4 3 0x y    D．4 3 3 0x y   【答案】B【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线关于直线对称问题 【分析】求出直线3 4 3 0x y   的斜率及与 x轴的交点，从而得到所求直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】直线3 4 3 0x y   斜率为 3 4  ，且过点  1,0 ， 则直线3 4 3 0x y   关于 x轴对称的直线的斜率为 3 4 ，且过点  1,0 ， 所以所求直线方程为  3 1 4 y x  ，即3 4 3 0x y   .故选：B 【变式 5-2】(2025 高三·全国·专题练习)与直线3 4 5 0x y   关于坐标原点对称的直线的方程为( ) A． 4 3 5 0x y   B．3 4 5 0x y   C． 4 3 5 0x y   D．3 4 5 0x y   【答案】D【难度】0.65【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线3 4 5 0x y   上一点  1 1,Q x y 关于坐标原点  0,0 对称的点为  ,P x y ， 则 1 0 2 x x  ， 1 0 2 y y  ，解得 1x x  ， 1y y  ， 代入3 4 5 0x y   ，得3 4 5 0x y   ， 即所求直线的方程为3 4 5 0x y   ．故选：D． 【变式 5-3】(24-25 高二上·广东深圳·期末)已知直线 1 : 2 1 0l x y   与直线 2 : 2 2 0l x y   关于直线 : 2 4 0l x y C   对称，则C的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.65【知识点】求平行线间的距离、直线关于直线对称问题 第 18 页 共 28 页 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线 1 2l l l  ，∴两直线 1 2,l l 与直线 l间的距离相等， ∵ 1 2,l l 方程可化为： 1 : 2 4 2 0l x y   ， 2 : 2 4 4 0l x y   ， ∴    2 22 2 2 4 2 4 2 4 C C       ，解得 3C  .故选：C. 【变式 5-4】(24-25 高二上·天津·开学考试)已知点  3,6A  和  1,2B ，在 x轴上求一点M ，使 AM BM 最 小，那么点M 的坐标为( ) A．  2,0 B．  1,0 C．  4.4,0 D．  0,0 【答案】D【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】先找到点 B关于 x轴的对称点 B，根据两点之间线段最短，连接 AB与 x轴的交点即为所求的点M . 【详解】对于点 ( , )x y 关于 x轴的对称点为 ( , )x y .已知 (1, 2)B ，那么 B关于 x轴的对称点 (1, 2)B  . 设直线 AB的方程为 y kx b  . 根据两点求斜率公式 2 1 2 1 y yk x x    ，可得 2 6 8 2 1 ( 3) 4 k         . 把 (1, 2)B  和 2k   代入 y kx b  得 2 2 1 b     ，解得 0b  . 所以直线 AB的方程为 2y x  . 因为点M 在 x轴上，令 0y  ，代入 2y x  得0 2x  ，解得 0x  . 所以点M 的坐标为 (0,0) .故选：D. 【变式 5-5】(24-25 高二上·广东清远·期中)已知直线 1 0: 3 0, : 1 0l x y l x y      ，若 1l 关于 0l 对称的直线为 2l ，则直线 2l 的方程是( ) A． 3 0x y   B． 5 0x y   C． 3 0x y   D． 5 0x y   【答案】D【难度】0.85【知识点】求平行线间的距离、直线关于直线对称问题 【分析】根据条件判断 2 0/ /l l ，可设 2 : 0l x y m   ，利用对称性可知 1l 与 0l 间的距离等于 2l 与 0l 间的距离， 列方程求解即得. 【详解】因为 1 0/ /l l ，所以 2 0/ /l l ，设直线 2l 的方程为 0( 3x y m m    且 1)m   . 因为直线 1 2,l l 关于直线 0l 对称，所以 1l 与 0l 间的距离等于 2l 与 0l 间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得 | 3 ( 1) | | ( 1) | 2 2 m     ，解得 5m   或 3m  (舍去). 所以直线 2l 的方程为 5 0x y   .故选：D. 1.(24-25 高二下·河南新乡·期中)若直线 1 : 1 0l x y   与 2 : (2 ) 1 0l x a y    互相垂直，则 a  ( ) A．0 B． 3 C． 1 D． 2 【答案】B【难度】0.94【知识点】已知直线垂直求参数 第 19 页 共 28 页 【分析】分类讨论直线 2l 的斜率，再利用 1 2 1k k× = - 即可. 【详解】由题意可知直线 1l 的斜率 1 1k  ， 当 2a   时，直线 2l 的斜率不存在，不满足 1 2l l ； 当 2a   时，直线 2l 的斜率 2 1 2 k a   ， 由 1 2l l ，得�1�2 =− 1，即 1 1 2 a    ，解得 3a   ．故选：B 2.(24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习)经过点  1,1A 且与直线 2 1y x   垂直的直线方程为( ) A． 2 3 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 0x y   D．2 3 0x y   【答案】B【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】由两直线垂直确定斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】直线 2 1y x   的斜率为 2 ，两直线垂直， 故所求直线方程为 11 (x 1) 2 y    ，则 2 1 0x y   .故选：B. 3.(2025·四川成都·模拟预测)“ 0a  ”是“直线 ( 2) 1 0a x y    与直线2 ( 1) 2 0x a y    互相平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.85【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出 a，再检验即可得解. 【详解】若直线 ( 2) 1 0a x y    与 2 ( 1) 2 0x a y    互相平行， 则    2 1 2a a    ，解得 0a  或 1a  ， 当 0a  时，符合题意；当 1a  时，两直线重合，不符合题意；故选：C. 4.(2004·全国·高考真题)已知点  1,2A ，  3,1B ，则线段 AB的垂直平分线方程为( ) A． 4 2 5 0x y   B． 4 2 5 0x y   C． 2 5 0x y   D． 2 5 0x y   【答案】B【难度】0.85【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】应用两点式求线段 AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合 AB中点坐标及点斜式写出垂直 平分线方程. 【详解】由题设， 1 2 1 3 1 2AB k     ，故线段 AB的垂直平分线的斜率为 2，又 AB中点为 3(2, ) 2 ， 所以线段 AB的垂直平分线方程为 3 2( 2) 2 y x   ，整理得： 4 2 5 0x y   .故选：B 5.(2025 高三·全国·专题练习)已知直线  1 : 1 2l x a y a    与 2 : 2 4 16l ax y   ，则下列说法不正确的是( ) A．若 1a  时，则 1 2l l// B．若 2a   时，则 1l 与 2l 重合 C．若 2 3 a   时，则 1 2l l D．若 0a  时，则 1l 与 2l 交于点  6, 4 【答案】B【难度】0.85【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线平行和垂直的充要条件，结合选项逐项计算判断即可. 第 20 页 共 28 页 【详解】对于 A，当 1a  时， 1 2: 2 3 : 2 4 16l x y l x y    ， ，即 2 : 2 8l x y   ，则 1 2l l// ，故 A 正确； 对于 B，当 2a   时， 1 2: 0 : 4 4 16l x y l x y     ， ，即 2 : 4l x y  ，则 1l 与 2l 不重合，故 B 错误； 对于 C，当 2 3 a   时， 1 2 1 4 4: : 4 16 3 3 3 l x y l x y     ， ， 因为 4 11 4 0 3 3          ，所以 1 2l l ，故 C 正确； 对于 D，当 0a  时， 1 2: 2 : 4 16l x y l y   ， ，即 2 : 4l y   ， 由 2 4 x y y      ，得 6 4 x y     ，所以 1l 与 2l 交于点  6, 4 ，故 D正确.故选：B. 6.(24-25 高二上·北京丰台·期末)与直线2 1 0x y   关于 x轴对称的直线方程为( ) A． 2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 1 0x y   D． 2 1 0x y   【答案】B【难度】0.94【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】设对称直线上的点为  ,P x y ，求它关于 x轴的对称点并代入已知直线的方程，所得方程即为所求 的直线方程. 【详解】设对称直线上的点为  ,P x y ，则其关于 x轴的对称点  ,Q x y 在直线上2 1 0x y   ， 所以  2 1 0x y    ，即 2 1 0x y   .故选：B. 7.(24-25 高二上·江苏南通·开学考试)点 P在直线 : 1 0l x y   上运动，    2,3 , 2,0A B ，则 PA PB 的最大 值是( ) A． 5 B． 6 C．3 D．4 【答案】A【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【详解】设 B关于 : 1 0l x y   的对称点为  ,C m n ， 则 1 2 2 1 0 2 2 n m m n           ，解得 1 1 m n    ，即  1,1C ; 故    2 22 1 3 1 5AC      , 5PA PB PA PC AC     , 当且仅当， , ,P A C三点共线时，等号成立.故选：A 8.(23-24 高二上·上海·阶段练习)若点  3,1P 既是    1 1 2 2, , ,A a b B a b 的中点，又是直线 1 1 1: 10 0l a x b y   与 2 2 2: 10 0l a x b y   的交点，则线段 AB的垂直平分线的方程是( ) 第 21 页 共 28 页 A．3 10 0x y   B． 3 6 0x y   C． 3 0x y  D．3 8 0x y   【答案】C【难度】0.65【知识点】由两条直线垂直求方程、由直线的交点坐标求参数 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将  3,1P 代入化简可求出直线 AB的斜率，从 而可求出线段 AB的垂直平分线的方程. 【详解】直线 1 1 1: 10 0l a x b y   与直线 2 2 2: 10 0l a x b y   的方程相减可得，    1 2 1 2 0a a x b b y    ， 把点  3,1P 代入可得    1 2 1 23 0a a b b    ， 所以 1 2 1 2 3AB b bk a a      ， 所以线段 AB的垂直平分线的方程是 11 ( 3) 3 y x   ，即 3 0x y  ，故选：C 9.(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线  1 2: 1 3 0m yl x m     ， 2 : 2 2 0l x my m    ，则下列说法正确 的是( ) A． 1 2l l∥ 的充要条件为 1m  或 2m   B．若 1 2l l ，则 2 3 m   C．若直线 1l 不经过第四象限，则 1m   D．若 2m  ，则将直线 2l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 π 2 ，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 1y x  【答案】BCD【难度】0.65【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线一般式方程与其他 形式之间的互化 【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断 A；.根据两直线垂直的结论可判断 B；由直线方 程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移 求出平移后的直线方程，即可判断 D. 【详解】对于 A， 显然直线 1l 的斜率存在，若 1 2l l∥ ，则  1 2 0m m   ，解得 1m  或 2m   ， 经检验 1m  时，这两条直线重合，所以 2m   ，故 1 2l l∥ 充要条件不是“ 1m  或 2m   ”．故 A 不正确； 对于 B，若 1 2l l ，则  2 1 0m m   ，解得 2 3 m   ．故 B 正确； 对于 C，若直线  1 : 1 3 2l y m x m     不经过第四象限，则  1 0 3 2 0 m m       ，解得 1m   ．故 C 正确； 对于 D，若 2m  ，则直线 2 :l y x  ，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转 π 2 ，得到直线 y x ，再向右平移 一个单位长度，所得直线方程为 1y x  ，故 D 正确.故选：BCD 10.(25-26 高二上·全国·期中)已知直线 1l ： 3 0ax y a   ，直线 2l ：  2 1 6 0x a y    ，则( ) A．当 3a  时， 1l 与 2l 的交点是  3,0 B．直线 1l 与 2l 都恒过  3,0 第 22 页 共 28 页 C．若 1 2l l ，则 1 3 a  D． Ra  ，使得 1 2l l// 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题、求直 线交点坐标 【分析】将 3a  代入，联立两直线方程即可求得交点，则 A 可解；由直线过定点问题可求 B；由直线垂直 的条件可判断 C；由直线平行的条件可判断 D. 【详解】对于 A，当 3a  时，直线 1 : 3 9 0l x y   ，直线 2 : 2 2 6 0l x y   ， 联立 3 9 0 2 2 6 0 x y x y        ，解得 3 0 x y    ，所以两直线的交点为  3,0 ，故 A 正确； 对于 B，将点  3,0 代入 1 2,l l 的方程，两方程对任意参数 a都成立，所以直线 1l 与 2l 都恒过  3,0 ，故 B 正确； 对于 C：若 1 2l l ，则  2 1 1 0a a     ，解得 1 3 a  ，故 C 正确； 对于 D，假设存在 aR，使 1 2l l// ，则  1 1 2 0a a     ，解得 2a  或 1a   ， 当 2a  ， 1 : 2 6 0l x y   ， 2 : 2 6 0l x y   ，两直线重合，舍去， 当 1a   时， 1 : 3 0l x y    ，即 3 0x y   ， 2 : 2 2 6 0l x y   ，即 3 0x y   ，两直线重合，舍去， 所以不存在aR，使 1 2l l// ，故 D 错误.故选：ABC. 11.(2025·河北秦皇岛·模拟预测)如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在A点平行于地面发出一条射线 ， 与 AB的夹角为，在 AB中点处有一个感应器 P (体积忽略不计)，已知 12AB  ，AD m ，则下列说法正确 的是( ) A．若 3m  ，射线 经过一次反射就被感应器捕捉到，则 π 3   B．若 8m  ，射线 第一个反射点在 BC边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论 AD长度如何变化，必定存在使得射线 反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线 依次经过 BC， AD，CD三个面的反射后能被感应器捕捉到 【答案】BC【难度】0.4【知识点】已知两点求斜率、求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】利用点线对称与光线镜面反射的虚像原理作出图像，数形结合，可一一得到答案. 【详解】由于该射线平行于地面，根据题意可视为射线 在平面四边形 ABCD内部发生反射， 对于 A，当 3m  时，发出射线 使其反射点在 AB靠近A端的四等分点，反射后再正好被感应器 P捕捉， 所以 3tan 1 3    ，则 π 4   ，故 A 错误； 第 23 页 共 28 页 对于 B，当 8m  时，第一次反射在 BC边上，所以不可能只反射一次就被感应器 P捕捉； 如图 1，假设反射两次后被感应器 P捕捉，则第二次反射一定在CD边上， 将平面依次向右、向上翻折一次， P到达 P， 观察线段 AP ，要求此线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 设直线 2 8 3 9 2 AP ADk AB    ，所以 APl  : 8 9 y x ，令 8y  得 9 12x CD   ， 所以线段不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 即不可能经过两次反射后被感应器 P捕捉； 如图 2，计算得： 8 8 8tan 12 12 6 15      时可以反射三次后被感应器 P捕捉(线段 AP 完全在平面与翻折平面构 成图形的内部)，故 B 正确； 对于 C，如图 3，依次将平面向上、向右翻折，连接 AP，观察线段 PP，其经过C点， 所以 AP 与直线CD的交点M 在线段CD上，故线段 AP 完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 意味着射线 将依次经过CD、 BC反射后被感应器 P捕捉，反射了两次，故 C 正确； 对于 D，如图 4，同C翻折，同理分析，观察线段 P P ，交点恰好在转折点处， 所以线段 AP 一定不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部，故 D 错误.故选：BC. 12.(2025 高三·全国·专题练习)已知直线 l的方程为3 4 12 0x y   ，则与 l垂直，且过点  1,3 的直线方程 是 ． 【答案】 4 3 13 0x y   【难度】0.85【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】根据直线系方程的性质，两直线垂直的条件求解. 【详解】过点  0 0,P x y 且与直线 0Ax By C   (其中 ,A B不全为零)垂直的直线方程可以写成    0 0 0B x x A y y    ． 由题意，过点  1,3 和 l垂直的直线可写作    4 1 3 3 0x y    ，即 4 3 13 0x y   . 故答案为： 4 3 13 0x y   13.(24-25 高二下·上海崇明·期末)已知点  0,1A 、  2,3B ，则线段 AB的垂直平分线方程为 ． 【答案】 3 0x y   【难度】0.85【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由线段 AB的斜率可计算出线段 AB的垂直平分线的斜率，又有 AB的中点是线段 AB的垂直平分线 经过的一个点，使用点斜式即可得到线段 AB的垂直平分线方程. 【详解】线段 AB的斜率为 3 1 1 2 0    ，故线段 AB的垂直平分线的斜率为 1 1 1    ， 第 24 页 共 28 页 线段 AB的中点为  0 2 1 3, , 1, 22 2 2 2 A B A Bx x y y             ，故线段 AB的垂直平分线经过  1, 2 ， 由点斜式知，线段 AB的垂直平分线方程为：  2 1 1y x    ，即 3 0x y   .故答案为： 3 0x y   . 14.(24-25 高二上·广东清远·期中)已知点 P在直线 1 0x y   上，点 (1, 2), (2,6)A B ，则 | | | |PA PB 的最小值 为 【答案】 3 5 【难度】0.85【知识点】求点关于直线的对称点 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设 (1, 2)A  关于直线 1 0x y   的对称点为 ( , )E m n ， 则 1 2 1 0 2 2 2 1 1 1 m n n m             ，解得 1 0 m n     ，则 ( 1,0)E  ，于是 | | | | | | | |PA PB PE PB   ， 结合图形知，当 , ,B E P三点共线时，此时 | | | |PE PB 取得最小值 | | 3 5BE   ， 即 | | | |PA PB 取得最小值为 3 5 ；故答案为： 3 5 15．(2025 高二·全国·专题练习)求过两条直线 2 0x y   和 2 4 0x y   的交点，且分别满足下列条件的直 线 l的方程： (1)与直线3 4 1 0x y   平行；(2)与直线5 3 6 0x y   垂直． 【答案】(1)3 4 8 0x y   (2)3 5 10 0x y   【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】法 1：(1)求出直线的交点，利用线线平行斜率相等即可求解；(2)利用线线垂直斜率关系即可求解； 法 2：(1)(2)设出两条直线 2 0x y   和 2 4 0x y   的交点的直线 l的方程为  2 2 4 0x y x y      ，利 用平行、垂直关系即可求解. 【详解】(1)解法 1：联立方程 2 0 2 4 0 x y x y        ，得两条直线的交点为  0,2 ，所以直线 l过点  0,2 ． 因为直线 l与直线3 4 1 0x y   平行，所以 3 4l k  ，即 3 2 4 y x  ，所以直线 l的方程为3 4 8 0x y   ． 解法 2：设过两条直线 2 0x y   和 2 4 0x y   的交点的直线 l的方程为  2 2 4 0x y x y      ， 即    1 1 2 4 2 0x y        ． 因为直线 l与直线3 4 1 0x y   平行，所以 1 1 2 4 2 3 4 1         ，解得 7 2   ， 第 25 页 共 28 页 所以直线 l的方程为 9 6 12 0 2 x y   ，即3 4 8 0x y   ． (2)解法 1：因为直线 l与直线5 3 6 0x y   垂直，所以 3 5l k  ，即 3 2 5 y x  ， 所以直线 l的方程为3 5 10 0x y   ． 解法 2：设过两条直线 2 0x y   和 2 4 0x y   的交点的直线 l的方程为  2 2 4 0x y x y      ， 即    1 1 2 4 2 0x y        ． 因为直线 l与直线5 3 6 0x y   垂直，所以    5 1 3 1 2 0     ，解得 8  ， 所以直线 l的方程为9 15 30 0x y   ，即3 5 10 0x y   ． 16.(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线 1 : 2 3 2 0l x y   ，  2 : 2 1 1 0l mx m y    ，其中m为实数． (1)当 1 2l l∥ 时，求m的值； (2)当 1m  时，求过直线 1 2,l l 的交点，且垂直于直线 2 4 0x y   的直线方程． 【答案】(1) 2m  ；(2) 2 6 0x y   【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】(1)根据两直线平行，列出关于 m的方程，即可求得答案； (2)解方程组求出直线 1 2,l l 的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案. 【详解】(1)由 1 2l l∥ 得  2 2 1 3m m  ，解得 2m  ，经检验， 2m  符合题意, 故 2m  ； (2)当 1m  时， 2 : 1 0l x y   ，联立 2 3 2 0 1 0 x y x y        ，解得 5 4 x y     ，即直线 1 2,l l 的交点为  5,4 ， 又直线 2 4 0x y   的斜率为 12 ， 故过直线 1 2,l l 的交点，且垂直于直线 2 4 0x y   的直线方程为  4 2 5y x    ，即 2 6 0x y   ． 17．(24-25 高二上·广东清远·期中)已知直线 1 2: 2 3 0, : 2 3 8 0l x y l x y      ． (1)求经过点 (1, 4)A 且与直线 2l 垂直的直线方程； (2)求经过直线 1l 与 2l 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1)3 2 5 0x y   ；(2) 2y x 或 3 0x y   【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】(1)利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； (2)利用截距为 0 和不为 0 分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【详解】(1)由直线 2 2 8: 2 3 8 0 3 3 l x y y x       可得斜率为 2 3  ， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为 3 + 2 y x b ， 则依题意有 34 1+ 2 b  ，解得 5 2 b  ， 第 26 页 共 28 页 所以所求直线方程为 3 5+ 2 2 y x ，整理得3 2 5 0x y   ； (2)联立 2 3 0 2 3 8 0 x y x y        ，解得 1 2 x y    ，即直线 1l 与 2l 的交点为 (1, 2)， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为 y kx ， 代入 (1, 2)得 2k  ，此时 2y x ； 当直线的截距都不为 0 时，假设直线方程为 1( , 0) x y a b a b    ， 依题意 1 2 1 a b a b      ，解得 3a b  ，此时直线方程为 1 3 3 x y   ，即 3 0x y   综上所述：所求直线方程为 2y x 或 3 0x y   ． 18．(24-25 高二上·上海·阶段练习)分别求经过点  0, 1P  ，且满足下列条件的直线 l方程： (1)点  2,1A 与点  0,1B 到直线 l的距离相等； (2)直线 l被两条平行直线 2 6 0x y   和 4 2 5 0x y   截得的线段长为 7 2 ． 【答案】(1) 2 1y x  或 1y   ；(2) 0x  或 3 1 4 y x   .【难度】0.65 【知识点】由直线的交点坐标求参数、求到两点距离相等的直线方程 【分析】(1)法 1：分直线 l过线段 AB的中点和直线 l与直线 AB平行两种情况分类讨论即可；法 2：分斜率 存在和斜率不存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式即可. (2)分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再求出交点，根据距离公式求出长度即可. 【详解】(1)法 1：直线 l过线段 AB的中点：中点  1,1C ，直线 l的斜率  1 1 2 1 0     ， 则直线 l的方程为 2 1y x  ； 直线 l与直线 AB平行：直线 AB的斜率 1 1 0 2 0    ，则直线 l的方程为 1y   ； 故直线 l的方程为 2 1y x  或 1y   . 法 2：当直线 l的斜率不存在时， : 0l x  ，点 ,A B到直线的距离分别是 2,0，不符合题意； 当直线 l的斜率存在时，设 : 1l y kx  ， 点  2,1A 与点  0,1B 到直线 l的距离相等，则 2 2 2 2 2 1 1 k k k      ，得 0k  或 2， 故直线 l的方程为 2 1y x  或 1y   . (2)当直线 l的斜率不存在时， : 0l x  ， 与两条平行直线的交点为   50,6 , 0, 2       ，故截得的线段长为 5 76 2 2   ，符合题意； 当直线 l的斜率存在时，设  : 1 2l y kx k    ， 第 27 页 共 28 页 由 2 6 0 1 x y y kx       得交点 7 6 2, 2 2 kA k k       ；由 4 2 5 0 1 x y y kx       得交点 7 5 4, 2 4 2 4 kB k k       ； 则   2 2 2 2 7 7 6 2 5 4 7 1 7 2 2 4 2 2 4 2 22 k k kAB k k k k k                      ， 得 3 4 k   ，则 1 3: 4 l y x   ， 综上，直线 l的方程为 0x  或 3 1 4 y x   . 19．(24-25 高一上·四川·期中)已知∆ABC三个顶点分别为  1,1A ，  1, 3B   ，  3, 1C  . (1)求 AB边上的高线长；(2)过∆ABC内一点  1,0P 有一条直线 l与边 AB，AC分别交于点M ，N，且点 P平 分线段MN，求直线 l的方程. 【答案】(1) 6 5 5 ；(2) 2 1 0x y   【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离 【分析】(1)求出直线 AB的方程，利用点到直线距离公式求出点 C到直线 AB的距离可得答案； (2)求出直线 AC的方程，设  0 0,M x y ，则  0 02 ,N x y  ，根据点 M，N分别在直线 AB，AC上，可得 0 0x y、 ， 再利用点斜式方程可得答案. 【详解】(1)  1,1A ，  1, 3B   ，  3, 1C  ， 直线 AB的斜率 1 3 2 1 1AB k    ， 直线 AB的方程为  1 2 1 ,y x   化为2 1 0x y   ， 点 C到直线 AB的距离 6 6 5 55 d   ， 即 AB边上的高线长为 6 5 5 ； (2)由题知，直线 AC的斜率 1 1 1 1 3AC k     ， 直线 AC的方程为  1 1 1y x     ，即 2 0x y   ， 设  0 0,M x y ，因为点  1,0P 平分线段MN，则  0 02 ,N x y  ， ∵点 M，N分别在直线 AB， AC上， 第 28 页 共 28 页 0 0 0 0 2 1 0 2 2 0 x y x y         ，解得 0 0 1 3 1 3 x y        ， 直线 l的斜率 10 13 1 21 3 lk     ， 直线 l的方程为  10 1 2 y x   ，即 2 1 0x y   ． 专题2.3 两直线的位置关系 教学目标 1、理解并掌握两直线平行、垂直的判断及应用； 2、理解并掌握两直线交点坐标的求法； 3、掌握点关于点的对称点、点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线、直线关于直线的对称直线的求法； 教学重难点 1、重点：两直线的平行、垂直的判断及应用； 2、难点：点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线. 知识点01 两直线平行 1.平行条件 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：，， 2.重合的条件 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：，， 3.平行直线系 与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； 【即学即练1-1】(2025·宁夏中卫·三模)若直线：与直线：平行，则(    ) A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【即学即练1-2】(2025·上海·模拟预测)“”是“直线与直线相互平行”的(    ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【即学即练1-3】(24-25高二下·云南玉溪·期中)若点，到直线的距离相等，则(   ) A．4 B． C．4或 D．或 知识点02 两直线垂直 1.两直线垂直的条件 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：则 提醒　当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略. 2.垂直直线系 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0； 【即学即练2-1】(24-25高二下·河南南阳·期末)已知直线与直线垂直，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则(　　) A． B．2 C．3 D．6 【即学即练2-3】(24-25高二下·河南濮阳·期中)经过点且与直线垂直的直线方程为(   ) A． B． C． D． 知识点03 两直线的交点 1.两条直线的交点坐标：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交， 则交点P的坐标是方程组的解． 2.两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3.交点直线系 过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 【即学即练3-1】(2025高二·全国·专题练习)直线和的交点坐标为(    ) A． B． C． D． 【即学即练3-2】(23-24高二上·广东·阶段练习)已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 知识点04 对称点问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. 【即学即练4】(24-25高二下·上海·阶段练习)点关于直线的对称点为(    ) A． B． C． D． 知识点05 对称直线问题 若直线上的A、B关于直线的对称点分别为，则关于直线的对称直线必然经过点； 【即学即练5】(24-25高二上·天津红桥·阶段练习)直线关于直线对称的直线方程是(   ) A． B． C． D． 题型01 两直线平行及应用 【典例1-1】(24-25高二上·四川乐山·期末)已知直线，直线平行，则实数(   ) A． B． C．或 D．不存在 【典例1-2】(24-25高一下·重庆·期末)已知直线，，则的充要条件的是(    ) A． B． C．或 D． 【典例1-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为(    ) A． B． C．或 D．或 【典例1-4】(24-25高二上·江西上饶·期末)“直线与直线平行”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】(24-25高二下·上海青浦·期中)若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的(   ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式1-2】(2025·上海·三模)设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的(    )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【变式1-3】(24-25高二下·广西南宁·期末)若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是(    ) A． B． C． D． 【变式1-4】(2025·天津红桥·模拟预测)若直线：与直线：互相平行，则m的值为(    ) A． B．1 C． D．2 【变式1-5】(24-25高一下·上海·期末)“”是“直线与直线平行”的(    )． A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式1-6】(24-25高二上·吉林通化·阶段练习)“”是“直线和直线不重合而平行”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 两直线垂直及应用 【典例2-1】(24-25高二下·安徽·阶段练习)若直线经过点且与直线垂直，则的方程为(    ) A． B． C． D． 【典例2-2】(25-26高二上·全国·单元测试)将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是(    ) A． B． C． D． 【典例2-3】(25-26高二上·全国·单元测试)设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是(    ) A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【变式2-1】(24-25高二下·山西·期中)若直线与直线垂直，则(   ) A． B． C．1 D．2 【变式2-2】(24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习)经过点且与直线垂直的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【变式2-3】(2025·山西·三模)已知直线与，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-4】(24-25高二下·北京·期中)以为端点的线段的垂直平分线的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式2-5】(24-25高二下·河南·阶段练习)已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为(    ) A． B． C． D． 题型03 两直线的交点问题 【典例3-1】(23-24高二上·贵州遵义·阶段练习)直线：与：的交点坐标是(    ) A． B． C． D． 【典例3-2】(24-25高二上·云南曲靖·期中)已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是(   ) A． B． C． D． 【典例3-3】(23-24高二上·重庆·阶段练习)过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【典例3-4】(25-26高二上·全国·单元测试)已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是(    ) A． B． C． D． 【变式3-1】(23-24高二上·江西南昌·阶段练习)直线与直线的交点坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】(24-25高二上·江苏宿迁·期末)已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为(   ) A． B． C． D． 【变式3-3】(24-25高二上·江苏连云港·期中)若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为(   ) A． B． C． D． 【变式3-4】(22-23高二上·广东深圳·期中)已知直线：与：相交于点，则(    ) A． B．1 C．2 D．－2 【变式3-4】(24-25高二上·黑龙江·阶段练习)若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 题型04 对称点问题 【典例4-1】(24-25高二下·湖北·期中)已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【典例4-2】(22-23高二上·四川遂宁·期末)已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为(    ) A． B． C． D． 【典例4-3】(24-25高二上·上海·期末)在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于(    ) A． B． C． D． 【变式4-1】(22-23高二下·河南安阳·开学考试)已知直线，点关于直线的对称点为，直线经过点，且，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】(23-24高二上·河南洛阳·期中)已知直线分别与轴交于两点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式4-3】(24-25高二下·上海宝山·阶段练习)在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于(    ) A． B． C． D． 题型05 对称直线问题 【典例5-1】(23-24高二上·河北石家庄·阶段练习)直线关于直线对称的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【典例5-2】(23-24高三上·广东·期末)直线关于直线对称的直线方程是(    ) A． B． C． D． 【典例5-3】(24-25高二上·江苏苏州·期末)直线关于直线：对称的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【变式5-1】(24-25高二上·内蒙古包头·期末)直线关于轴对称的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【变式5-2】(2025高三·全国·专题练习)与直线关于坐标原点对称的直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式5-3】(24-25高二上·广东深圳·期末)已知直线与直线关于直线对称，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-4】(24-25高二上·天津·开学考试)已知点和，在轴上求一点，使最小，那么点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式5-5】(24-25高二上·广东清远·期中)已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是(    ) A． B． C． D． 一、单选题 1.(24-25高二下·河南新乡·期中)若直线与互相垂直，则(   ) A．0 B． C． D． 2.(24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习)经过点且与直线垂直的直线方程为(   ) A． B． C． D． 3.(2025·四川成都·模拟预测)“”是“直线与直线互相平行”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.(2004·全国·高考真题)已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为(    ) A． B． C． D． 5.(2025高三·全国·专题练习)已知直线与，则下列说法不正确的是( ) A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 6.(24-25高二上·北京丰台·期末)与直线关于x轴对称的直线方程为(    ) A． B． C． D． 7.(24-25高二上·江苏南通·开学考试)点P在直线上运动，，则的最大值是(    ) A． B． C．3 D．4 8.(23-24高二上·上海·阶段练习)若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线，，则下列说法正确的是(    ) A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 10.(25-26高二上·全国·期中)已知直线：，直线：，则(    ) A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得 11.(2025·河北秦皇岛·模拟预测)如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器(体积忽略不计)，已知，，则下列说法正确的是(    ) A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 三、填空题 12.(2025高三·全国·专题练习)已知直线的方程为，则与垂直，且过点的直线方程是 ． 13.(24-25高二下·上海崇明·期末)已知点、，则线段的垂直平分线方程为 ． 14.(24-25高二上·广东清远·期中)已知点P在直线上，点，则的最小值为 四、解答题 15．(2025高二·全国·专题练习)求过两条直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程： (1)与直线平行；(2)与直线垂直． 16.(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线，，其中为实数． (1)当时，求的值； (2)当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 17．(24-25高二上·广东清远·期中)已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 18．(24-25高二上·上海·阶段练习)分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 19．(24-25高一上·四川·期中)已知三个顶点分别为，，. (1)求边上的高线长；(2)过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 两直线的位置关系 教学目标 1、理解并掌握两直线平行、垂直的判断及应用； 2、理解并掌握两直线交点坐标的求法； 3、掌握点关于点的对称点、点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线、直线关于直线的对称直线的求法； 教学重难点 1、重点：两直线的平行、垂直的判断及应用； 2、难点：点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线. 知识点01 两直线平行 1.平行条件 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：，， 2.重合的条件 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：，， 3.平行直线系 与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； 【即学即练1-1】(2025·宁夏中卫·三模)若直线：与直线：平行，则(    ) A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【答案】D【难度】0.85【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可. 【详解】依题意得，，得，解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或．故选：D 【即学即练1-2】(2025·上海·模拟预测)“”是“直线与直线相互平行”的(    ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C【难度】0.85【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【详解】若直线与直线相互平行， 则，即，解得或， 当时，直线与直线相互平行，符合题意； 当时，直线即， 直线，两直线重合，不符合题意； 所以“”是“直线与直线相互平行”的充要条件.故选：C 【即学即练1-3】(24-25高二下·云南玉溪·期中)若点，到直线的距离相等，则(   ) A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C【难度】0.85【知识点】已知直线平行求参数、已知点到直线距离求参数 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得．故选：C 知识点02 两直线垂直 1.两直线垂直的条件 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：则 提醒　当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略. 2.垂直直线系 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0； 【即学即练2-1】(24-25高二下·河南南阳·期末)已知直线与直线垂直，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据直线垂直的充要条件可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得.故选：B. 【即学即练2-2】(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则(　　) A． B．2 C．3 D．6 【答案】D【难度】0.94【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率、已知直线平行求参数 【分析】根据A，B两点坐标得出的斜率，根据直线的倾斜角为得出的斜率， 由与平行得出，可解出. 【详解】直线的斜率，直线的斜率． 与平行，，即，解得．故选：D. 【即学即练2-3】(24-25高二下·河南濮阳·期中)经过点且与直线垂直的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】利用两直线垂直得出所求直线的斜率，再利用点斜式方程可得结果. 【详解】由题意可知的斜率为，所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为，故选：D 知识点03 两直线的交点 1.两条直线的交点坐标：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交， 则交点P的坐标是方程组的解． 2.两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3.交点直线系 过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 【即学即练3-1】(2025高二·全国·专题练习)直线和的交点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立方程求解即可. 【详解】由方程组，得，即交点为．故选：C． 【即学即练3-2】(23-24高二上·广东·阶段练习)已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】联立两直线求出交点坐标，根据的方向向量求出直线的斜率即可求出的方程. 【详解】联立，解得，即直线：，：的交点为， 又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 故直线的方程为，即，故选：B． 知识点04 对称点问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. 【即学即练4】(24-25高二下·上海·阶段练习)点关于直线的对称点为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即.故选：C. 知识点05 对称直线问题 若直线上的A、B关于直线的对称点分别为，则关于直线的对称直线必然经过点； 【即学即练5】(24-25高二上·天津红桥·阶段练习)直线关于直线对称的直线方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 题型01 两直线平行及应用 【典例1-1】(24-25高二上·四川乐山·期末)已知直线，直线平行，则实数(   ) A． B． C．或 D．不存在 【答案】A【难度】0.94【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线的位置关系，直接求解参数即可. 【详解】由题可得，解得.故选：A 【典例1-2】(24-25高一下·重庆·期末)已知直线，，则的充要条件的是(    ) A． B． C．或 D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后检验判断即可. 【详解】因为，所以且，解得， 当时，直线，，显然， 所以的充要条件的是.故选：A 【典例1-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知两点求斜率、求到两点距离相等的直线方程 【分析】两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意.故选：C 【典例1-4】(24-25高二上·江西上饶·期末)“直线与直线平行”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知直线平行求参数 【分析】先根据直线与直线平行可得或，进而可判断. 【详解】因为直线与直线平行， 直线的斜率为，则直线的斜率存在且为，故， 所以，即，解得或， 当时，两直线分别为，，不重合满足题意， 当时，两直线分别为，，不重合满足题意， 故由直线与直线平行可得或， 故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件，故选：B 【变式1-1】(24-25高二下·上海青浦·期中)若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的(   ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知直线平行求参数 【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线与直线平行，则且， 因为“”“且”，但“”“且”， 因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件.故选：B. 【变式1-2】(2025·上海·三模)设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的(    )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【详解】若，则直线，直线，此时平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件，故选：A. 【变式1-3】(24-25高二下·广西南宁·期末)若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】由题可得的充要条件，据此可得答案. 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是.故选：A 【变式1-4】(2025·天津红桥·模拟预测)若直线：与直线：互相平行，则m的值为(    ) A． B．1 C． D．2 【答案】C【难度】0.85【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据平行线的性质进行求解即可. 【详解】由题意，，解得， 此时，，满足题意.故选：C. 【变式1-5】(24-25高一下·上海·期末)“”是“直线与直线平行”的(    )． A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，两直线方程为，，所以两直线平行. 当直线与直线平行时，，解得或， 当时，两直线方程为，，两直线平行， 当时，两直线方程为，，两直线平行， 所以由直线与直线平行，得或. 综上，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：B. 【变式1-6】(24-25高二上·吉林通化·阶段练习)“”是“直线和直线不重合而平行”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.94【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数 【分析】利用平行的位置关系可列出系数满足的关系式，从而求解进行判断即可. 【详解】当时，直线和直线是不重合而平行关系，即满足充分性， 当直线和直线不重合而平行时， 有，解得，故满足必要性，故选：C. 题型02 两直线垂直及应用 【典例2-1】(24-25高二下·安徽·阶段练习)若直线经过点且与直线垂直，则的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2， 所以的方程为，即．故选：A. 【典例2-2】(25-26高二上·全国·单元测试)将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】由题意知，，所以的斜率之积为，可得到的斜率，再由过点，即可得到答案． 【详解】设直线的斜率分别为，由可知，， 由题意可知，，所以，所以． 因为过点，所以由直线的点斜式方程可知的方程为， 即．故选：C. 【典例2-3】(25-26高二上·全国·单元测试)设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是(    ) A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【答案】C【难度】0.85【知识点】正弦定理及辨析、直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】由正弦定理结合两直线方程系数之间的关系进行判断. 【详解】由正弦定理，得， 又两条直线的方程分别为，， 因为两直线的系数满足，所以两直线垂直．故选：C. 【变式2-1】(24-25高二下·山西·期中)若直线与直线垂直，则(   ) A． B． C．1 D．2 【答案】C【难度】0.94【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】利用两条直线互相垂直列式求解. 【详解】由直线与直线垂直，得，所以.故选：C 【变式2-2】(24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习)经过点且与直线垂直的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】由两直线垂直确定斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】直线的斜率为，两直线垂直， 故所求直线方程为，则.故选：B. 【变式2-3】(2025·山西·三模)已知直线与，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数 【分析】由，得到，求解即可判断. 【详解】由，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 【变式2-4】(24-25高二下·北京·期中)以为端点的线段的垂直平分线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程. 【详解】因为则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即.故选：C． 【变式2-5】(24-25高二下·河南·阶段练习)已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】由，求出边所在的直线方程，再联立直线，组成的方程组，方程组的解即为顶点的坐标. 【详解】因为，边所在直线的方程为， 设所在直线方程为，因为过， 所以，所以所在直线方程为， 由解得，即顶点的坐标为.故选：A. 题型03 两直线的交点问题 【典例3-1】(23-24高二上·贵州遵义·阶段练习)直线：与：的交点坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立两直线方程，求出交点坐标. 【详解】联立方程组解得， 故与的交点坐标为.故选：A 【典例3-2】(24-25高二上·云南曲靖·期中)已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求直线交点坐标 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为.故选：B. 【典例3-3】(23-24高二上·重庆·阶段练习)过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】求直线交点坐标、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线的方程即可求解. 【详解】联立，得交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即.故选：A. 【典例3-4】(25-26高二上·全国·单元测试)已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】在中，边上的高必过点B，联立、得出交点B，设边上的高所在直线的斜率为，根据互相垂直直线斜率乘积为解出斜率，求出直线所在方程. 【详解】设边上的高所在直线的斜率为，则有， 联立、方程，得交点， 中边上的高过点，斜率为，所在直线的方程为， 即．故选：A. 【变式3-1】(23-24高二上·江西南昌·阶段练习)直线与直线的交点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】求直线交点坐标 【分析】通过联立方程组求得正确答案. 【详解】由解得，所以交点为.故选：B 【变式3-2】(24-25高二上·江苏宿迁·期末)已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】由两条直线平行求方程、求直线交点坐标 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为.故选：A. 【变式3-3】(24-25高二上·江苏连云港·期中)若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】已知两点求斜率、求直线交点坐标 【分析】设，结合在上，在上及中点坐标公式求解. 【详解】设，由题意得，， 又的中点是，则，故， 又在上，则，故， 又，故，于是， 根据斜率公式，.故选：A 【变式3-4】(22-23高二上·广东深圳·期中)已知直线：与：相交于点，则(    ) A． B．1 C．2 D．－2 【答案】A【难度】0.94【知识点】求直线交点坐标 【分析】把点代入两直线方程求得，进而求得． 【详解】∵ 点在直线和上， ∴ ，解得，．故选：A． 【变式3-4】(24-25高二上·黑龙江·阶段练习)若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】分式不等式、求直线交点坐标 【分析】求出两条直线的交点后可求的取值范围. 【详解】由可得， 因为两条直线的交点在第一象限，故且，故， 故，解得或.故选：A. 题型04 对称点问题 【典例4-1】(24-25高二下·湖北·期中)已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】求两点的对称轴 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且，所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得.故选：C. 【典例4-2】(22-23高二上·四川遂宁·期末)已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直. 【详解】设，因点A与点B关于直线对称， 则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直， 则，即点A坐标为.故选：C 【典例4-3】(24-25高二上·上海·期末)在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过，所以，解得或(舍去)， 所以，，,所以， 所以的周长为.故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标. 【变式4-1】(22-23高二下·河南安阳·开学考试)已知直线，点关于直线的对称点为，直线经过点，且，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】由两条直线平行求方程、求点关于直线的对称点 【分析】利用两点关于直线对称可求得点的坐标，设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程. 【详解】设点，则，解得，即点， 因为，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得， 所以，直线的方程为.故选：A. 【变式4-2】(23-24高二上·河南洛阳·期中)已知直线分别与轴交于两点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点 【分析】作点关于直线对称的点，连接交直线于点，求出坐标即可. 【详解】由题直线分别与轴交于两点，则， 设点关于直线对称的点为， 则，所以，则直线， 联立，所以.故选：A 【变式4-3】(24-25高二下·上海宝山·阶段练习)在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过的重心，代入得， 化简得或(舍去)，故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积，故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 题型05 对称直线问题 【典例5-1】(23-24高二上·河北石家庄·阶段练习)直线关于直线对称的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为.故选：D 【典例5-2】(23-24高三上·广东·期末)直线关于直线对称的直线方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】作出图象，找出一个对称点和直线与直线的交点，即可求出对称直线的方程. 【详解】由题意，在直线中，作出图象如下图所示， 由图可知，点关于直线对称的点为, 直线与直线的交点为, ∴关于直线对称的直线方程为：，即， ∴关于直线对称的直线方程是：.故选：B. 【典例5-3】(24-25高二上·江苏苏州·期末)直线关于直线：对称的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】直线点斜式方程及辨析、点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得.故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即.故选：B 【变式5-1】(24-25高二上·内蒙古包头·期末)直线关于轴对称的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线关于直线对称问题 【分析】求出直线的斜率及与x轴的交点，从而得到所求直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】直线斜率为，且过点， 则直线关于x轴对称的直线的斜率为，且过点， 所以所求直线方程为，即.故选：B 【变式5-2】(2025高三·全国·专题练习)与直线关于坐标原点对称的直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为．故选：D． 【变式5-3】(24-25高二上·广东深圳·期末)已知直线与直线关于直线对称，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.65【知识点】求平行线间的距离、直线关于直线对称问题 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线，∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得.故选：C. 【变式5-4】(24-25高二上·天津·开学考试)已知点和，在轴上求一点，使最小，那么点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】先找到点关于轴的对称点，根据两点之间线段最短，连接与轴的交点即为所求的点. 【详解】对于点关于轴的对称点为.已知，那么关于轴的对称点. 设直线的方程为. 根据两点求斜率公式，可得. 把和代入得，解得. 所以直线的方程为. 因为点在轴上，令，代入得，解得. 所以点的坐标为.故选：D. 【变式5-5】(24-25高二上·广东清远·期中)已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】求平行线间的距离、直线关于直线对称问题 【分析】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【详解】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或(舍去). 所以直线的方程为.故选：D. 一、单选题 1.(24-25高二下·河南新乡·期中)若直线与互相垂直，则(   ) A．0 B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】分类讨论直线的斜率，再利用即可. 【详解】由题意可知直线的斜率， 当时，直线的斜率不存在，不满足； 当时，直线的斜率， 由，得，即，解得．故选：B 2.(24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习)经过点且与直线垂直的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】由两直线垂直确定斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】直线的斜率为，两直线垂直， 故所求直线方程为，则.故选：B. 3.(2025·四川成都·模拟预测)“”是“直线与直线互相平行”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.85【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【详解】若直线与互相平行， 则，解得或， 当时，符合题意；当时，两直线重合，不符合题意；故选：C. 4.(2004·全国·高考真题)已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程. 【详解】由题设，，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又中点为， 所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：.故选：B 5.(2025高三·全国·专题练习)已知直线与，则下列说法不正确的是( ) A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 【答案】B【难度】0.85【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线平行和垂直的充要条件，结合选项逐项计算判断即可. 【详解】对于A，当时，，即，则，故A正确； 对于B，当时，，即，则与不重合，故B错误； 对于C，当时，， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，即， 由，得，所以与交于点，故D正确.故选：B. 6.(24-25高二上·北京丰台·期末)与直线关于x轴对称的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】设对称直线上的点为，求它关于轴的对称点并代入已知直线的方程，所得方程即为所求的直线方程. 【详解】设对称直线上的点为，则其关于轴的对称点在直线上， 所以，即.故选：B. 7.(24-25高二上·江苏南通·开学考试)点P在直线上运动，，则的最大值是(    ) A． B． C．3 D．4 【答案】A【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即; 故,, 当且仅当，三点共线时，等号成立.故选：A 8.(23-24高二上·上海·阶段练习)若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】由两条直线垂直求方程、由直线的交点坐标求参数 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减可得，， 把点代入可得， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程是，即，故选：C 二、多选题 9.(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线，，则下列说法正确的是(    ) A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确； 对于B，若，则，解得．故B正确； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确； 对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确.故选：BCD 10.(25-26高二上·全国·期中)已知直线：，直线：，则(    ) A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题、求直线交点坐标 【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由直线垂直的条件可判断C；由直线平行的条件可判断D. 【详解】对于A，当时，直线，直线， 联立，解得，所以两直线的交点为，故A正确； 对于B，将点代入的方程，两方程对任意参数都成立，所以直线与都恒过，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D，假设存在，使，则，解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即， ，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，故D错误.故选：ABC. 11.(2025·河北秦皇岛·模拟预测)如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器(体积忽略不计)，已知，，则下列说法正确的是(    ) A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 【答案】BC【难度】0.4【知识点】已知两点求斜率、求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】利用点线对称与光线镜面反射的虚像原理作出图像，数形结合，可一一得到答案. 【详解】由于该射线平行于地面，根据题意可视为射线在平面四边形内部发生反射， 对于A，当时，发出射线使其反射点在靠近端的四等分点，反射后再正好被感应器捕捉， 所以，则，故A错误； 对于B，当时，第一次反射在边上，所以不可能只反射一次就被感应器捕捉； 如图1，假设反射两次后被感应器捕捉，则第二次反射一定在边上， 将平面依次向右、向上翻折一次，到达， 观察线段，要求此线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 设直线，所以:，令得， 所以线段不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 即不可能经过两次反射后被感应器捕捉； 如图2，计算得：时可以反射三次后被感应器捕捉(线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部)，故B正确； 对于C，如图3，依次将平面向上、向右翻折，连接，观察线段，其经过点， 所以与直线的交点在线段上，故线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 意味着射线将依次经过、反射后被感应器捕捉，反射了两次，故C正确； 对于D，如图4，同翻折，同理分析，观察线段，交点恰好在转折点处， 所以线段一定不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部，故D错误.故选：BC. 三、填空题 12.(2025高三·全国·专题练习)已知直线的方程为，则与垂直，且过点的直线方程是 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】根据直线系方程的性质，两直线垂直的条件求解. 【详解】过点且与直线(其中不全为零)垂直的直线方程可以写成． 由题意，过点和垂直的直线可写作，即. 故答案为： 13.(24-25高二下·上海崇明·期末)已知点、，则线段的垂直平分线方程为 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由线段的斜率可计算出线段的垂直平分线的斜率，又有的中点是线段的垂直平分线经过的一个点，使用点斜式即可得到线段的垂直平分线方程. 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即.故答案为：. 14.(24-25高二上·广东清远·期中)已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】【难度】0.85【知识点】求点关于直线的对称点 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为， 则，解得，则，于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为；故答案为： 四、解答题 15．(2025高二·全国·专题练习)求过两条直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程： (1)与直线平行；(2)与直线垂直． 【答案】(1)(2)【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】法1：(1)求出直线的交点，利用线线平行斜率相等即可求解；(2)利用线线垂直斜率关系即可求解； 法2：(1)(2)设出两条直线和的交点的直线的方程为，利用平行、垂直关系即可求解. 【详解】(1)解法1：联立方程，得两条直线的交点为，所以直线过点． 因为直线与直线平行，所以，即，所以直线的方程为． 解法2：设过两条直线和的交点的直线的方程为， 即． 因为直线与直线平行，所以，解得， 所以直线的方程为，即． (2)解法1：因为直线与直线垂直，所以，即， 所以直线的方程为． 解法2：设过两条直线和的交点的直线的方程为， 即． 因为直线与直线垂直，所以，解得， 所以直线的方程为，即． 16.(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线，，其中为实数． (1)当时，求的值； (2)当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 【答案】(1)；(2)【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】(1)根据两直线平行，列出关于m的方程，即可求得答案； (2)解方程组求出直线的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案. 【详解】(1)由得，解得，经检验，符合题意, 故； (2)当时，，联立，解得，即直线的交点为， 又直线的斜率为， 故过直线的交点，且垂直于直线的直线方程为，即． 17．(24-25高二上·广东清远·期中)已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1)；(2)或【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】(1)利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； (2)利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【详解】(1)由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； (2)联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 18．(24-25高二上·上海·阶段练习)分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 【答案】(1)或；(2)或.【难度】0.65 【知识点】由直线的交点坐标求参数、求到两点距离相等的直线方程 【分析】(1)法1：分直线过线段的中点和直线与直线平行两种情况分类讨论即可；法2：分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式即可. (2)分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再求出交点，根据距离公式求出长度即可. 【详解】(1)法1：直线过线段的中点：中点，直线的斜率， 则直线的方程为； 直线与直线平行：直线的斜率，则直线的方程为； 故直线的方程为或. 法2：当直线的斜率不存在时，，点到直线的距离分别是，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 点与点到直线l的距离相等，则，得或， 故直线的方程为或. (2)当直线的斜率不存在时，， 与两条平行直线的交点为，故截得的线段长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 由得交点；由得交点； 则， 得，则， 综上，直线的方程为或. 19．(24-25高一上·四川·期中)已知三个顶点分别为，，. (1)求边上的高线长；(2)过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离 【分析】(1)求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离可得答案； (2)求出直线AC的方程，设，则，根据点M，N分别在直线AB，AC上，可得，再利用点斜式方程可得答案. 【详解】(1)，，， 直线的斜率， 直线的方程为化为， 点C到直线的距离， 即边上的高线长为； (2)由题知，直线的斜率， 直线的方程为，即， 设，因为点平分线段，则， ∵点M，N分别在直线，上， ，解得， 直线l的斜率， 直线l的方程为，即． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$