2.4.2简单幂函数的图象和性质（教学课件）数学北师大版必修第一册

§4.2简单幂函数的图象和性质 第二章 函 数 北师大版2019必修第一册·高一 01 了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式；掌握基本的五个幂函数的图象和性质 02 重点 通过实例分析，归纳探究，掌握研究函数性质的基本方法体会数形结合思想,培养数学抽象素养。 能用幂函数的单调性比较指数幂的大小 难点 求幂函数解析式、掌握幂函数的图象和性质 学 习 目 标 01 复习回顾,引入新知 初中学习过的函数类型 正比例函数 反比例函数 二次函数 【问题】表达式有什么共同特点？ 以上都是形如“”的函数 幂函数 02 抽象概括,得出新知 幂函数的概念 一般地，形如（为常数）的函数，称为幂函数.其中为幂函数的底数，为幂函数的指数. 的系数是1 的底数是自变量 幂函数的特征 系数 底数 指数 的指数是常数 可写成 ， 举例说明 ∴是幂函数,指数是 . 03 应用新知,理解新知 (多选题)1.下列函数为幂函数的是( ) A. B. C. D. BD 分析 的系数是1,指数常数,底数是自变量 幂函数 变式训练 2.下列函数是幂函数且是奇函数的是( ) A.y= B. C. D. 2.分析：对于A,底数不是自变量,不是幂函数；对于B,易知其为偶函数,错误；对于C,由解析式可知为幂函数；,定义域为, 又,奇函数,正确；对于D,易知其为偶函数,错误； C 通过列表、描点、连线，将 y＝x；y＝；y＝x2；y＝；y＝x3这五个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，并填写下表． 函数 y＝x y＝　 y＝x2 y＝ y＝x3 定义域           值域           单调性           奇偶性 公共点 y＝x3 y＝x2 y＝x y＝ 1 2 -1 -1 1 2 x y O -2 -2 R R 增[0,+∞) 减(－∞,0] 在R上为增函数 奇函数 R [0,+∞) 偶函数 R R 奇函数 在R上为增函数 [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 在[0,+∞) 上为增函数 奇函数 (－∞,0)∪ (0,+∞) (－∞,0)∪ (0,+∞) 减(0,+∞) ，(－∞,0) 幂函数的图象和性质 探究 都经过点 幂函数的图象和性质 探究 单调性 奇偶性 指数 (1)当时,图象都过点 (0,0) 和点 (1,1) 在上是增函数. (2)当时,图象都过点(1,1)且在上是减函数. (3)当α>1时，向下凸；当0<α<1，向上凸 (1)当为奇数时，幂函数为奇函数. (2)当为偶数时，幂函数为偶函数. 的性质 (1)当0<x<1时,α值越大,图象越低 (2)当x>1时,α值越大,图象越高 即在的右侧,“指大图高” 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)幂函数的图象必过点和．(　 ) (2)当时,幂函数在上单调递增．(　　) (3)幂函数的图象可以出现在第四象限.(　 ) (4)幂函数不一定具有奇偶性.(　 ) 幂函数的图象和性质 辨一辨 2.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)幂函数的图象都不过第二、四象限.( ) (2)若幂函数的图象关于原点对称,则在定义域内随的增大而增大.( ) (3)当幂指数取时，幂函数是增函数.( ) (4)当幂指数时，幂函数在定义域上是减函数.( ) 求幂函数的解析式 应用1 1.已知幂函数的图象关于轴对称,的解析式. 分析 是偶函数是偶数,检验 幂函数的系数是1,求的值 方法点拨 求幂函数解析式 1.特征性质法： 幂函数系数是1,奇数是奇函数,是偶数是偶函数,增，减 解:由题意有，即, 解得或， 又的图象关于轴对称,所以，即. 求幂函数的解析式 应用1 当堂训练 2.已知幂函数满足，则下列结论正确的是（   ） A.在上单调递减 B.的图象关于轴对称 C.的图象过点 D. 分析 根据解析式研究性质 设幂函数,代点求 解:设幂函数,因为,所以,所以（）.根据幂函数的性质可知，在上单调递减，所以A错误； 因为该函数的定义域为，所以不关于轴对称，B错误；因为时函数无意义，所以不经过点，C错误；因为在上单调递减，，所以，D正确. 2.待定系数法： 设代点，求； 方法点拨 求幂函数解析式 幂函数的图象 应用2 3.下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. B 方法点拨 幂函数的图象 (1)当时, 在上是增函数. (2)当时, 在上是减函数. (3)当α>1时，向下凸；当0<α<1，向上凸 幂函数的图象 应用2 C 当堂训练 4.如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（  ） A. B. C. D. 分析 ①是最低的,且单调递增, 向上凸, 在的右侧,指大图高 确定的值 比较幂值的大小 应用3 5.比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与； 分析 (1)借助于函数y＝在(0,)上单调递增，即可比较大小 借助于函数y＝在(0,)上单调递减，即可判断 方法点拨 1.当幂的指数相同,利用单调性比较 比较幂值大小 解:(1)函数y＝在(0,＋)上单调递增,又，>. (2)函数y＝在(0,＋)上为减函数,又，∴<. 比较幂值的大小 应用3 6.比较，，的大小 分析 把同分母可得 利用幂函数的单调性来比较 方法点拨 2.指数不同,先化同指,再利用单调性比较 比较幂值大小 解:把同分母可得，. 因为幂函数在上单调递增，所以， 故. 当堂训练 比较幂值的大小 应用3 7.比较的大小： 分析 利用幂函数单调性求得 利用在上单调递增比较,且 方法点拨 3.借助中间值比较 比较幂值大小 解:由幂函数,即在上单调递减,，即， ∵在上单调递增,则,,又∵在上单调递增,则，可得，即， 所以. 变式训练 解不等式 应用4 分析 单调性与定义域解不等式 待定系数法求解析式 8.已知幂函数的图像经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若,求实数的取值范围. 解：(1)设，则有，解得， 故，其定义域为； (2)由，则在上单调递减， 故有，即，即. 利用单调性和定义域解不等式： 1.定:确定定义域上的单调性; 2.转:将不等式转化为或 3.去:利用单调性去掉“” 4.解:解不等式 方法点拨 解不等式 解不等式 应用4 分析 单调性与定义域解不等式 根据偶函数参数的值 9.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减,解关于的不等式 当堂训练 解：已知幂函数在上单调递减,则 解不等式得：,所以 此时幂函数为,其图像关于轴对称,满足条件,所以 将代入不等式,得： 因为幂函数在上单调递增,所以由 可得： 解不等式,得： 满足不等式的的取值范围是 04 当堂检测,掌握新知 1.已知幂函数的图象经过点,则函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 分析 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除 解:设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． B 04 当堂检测,掌握新知 2．已知幂函数,则是（    ） A．偶函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递减 C．奇函数且在上单调递增 D．奇函数且在上单调递减 3．已知,则（   ） A． B． C． D． 4．下列函数既是偶函数,又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． B A A 简单幂函数的图象和性质 幂函数的定义 幂函数的图象和性质 课堂小结 幂函数的应用 一般地,形如（为常数）的函数,称为幂函数.其中为幂函数的底数,为幂函数的指数. 求解析式:1.特征性质法：幂函数系数是1,奇数是奇函数,是偶数是偶函数,增，减；2.待定系数法：设代点，求； 幂函数的图象：(1)当时, 在上是增函数.(2)当时, 在上是减函数.(3)当α>1时，向下凸；当0<α<1，向上凸;(4)在的右侧,“指大图高” 比较幂值大小:1.当幂的指数相同,利用单调性比较; 2.指数不同,先化同指,再利用单调性比较; 3.借助中间值比较. 利用单调性和定义域解不等式：1.定:确定定义域上的单调性;2.转:将不等式转化为或3.去:利用单调性去掉“”4.解:解不等式 课后作业 1.已知幂函数的图象关于轴对称,且在上是减函数,求满足的的取值范围. 参考答案 解：因为幂函数在上单调递减, 所以,解得, 又,所以,当时,,当时,, 因为函数图像关于轴对称,所以是偶数,解得； 则为, 由幂函数性质得在上均为减函数, 故等价于或或, 解得或,得到的取值范围为或. 感谢聆听! $$