第2讲 复数 讲义-2026届高三数学一轮复习

第2讲 复数 知识讲解 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． 2、复数的分类： 3、复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ 4、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量． 5、复数的四则运算，设， (a，b，c，d∈R)，则 （1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）． （5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i． 考点一、真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 4．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 5．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 6．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．（2024·全国·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B．1 C．-1 D．2 9．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 11．（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 12．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 14．（2022·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 15．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点二、复数的四则运算 1．（2025·河南·三模）已知为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江·三模）若，则的虚部为（   ） A． B．1 C．3 D． 3．（2025·重庆·三模）设复数z满足，则z的虚部为（ ） A． B． C．3 D． 4．（2025·陕西·二模）复数的实部为（    ） A．1 B．3 C． D． 5．（2025·江西·二模）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 6．（2025·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北·三模）若复数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北·二模）已知复数是实数，则（    ） A． B． C． D．2 9．（2025·河南·三模）已知复数为纯虚数，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 10．（2025·黑龙江）已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 11．（2025·河北·三模）已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·河南洛阳）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·安徽合肥·模拟）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·河北·二模）复数（    ） A． B． C． D． 15．（2025·山东青岛·三模）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·江西·一模）已知为虚数单位，虚数满足，则（    ） A． B． C． D． 考点三、复数的几何意义 1．（2025·山西·三模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ． 2．（2025·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·江西·模拟）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江西·模拟）若复数的共轭复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建·二模）若复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．（2025·贵州·三模）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 7．（2025·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（  ） A． B．1 C． D．3 8．（2025·四川成都）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 9．（2025·安徽·模拟）若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 10．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知复数满足，则的最小值为 . 考点四、复数多选题 11．（2025·浙江·二模多选）已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·江苏·三模多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（   ） A．若则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（2025·福建·三模）已知复数，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则或 D．若且，则 14．（2025·福建·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．（2025·江苏南通）已知，都是复数，下列正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．（2025·重庆）已知方程的两个复数根分别为，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 复数 知识讲解 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． 2、复数的分类： 3、复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ 4、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量． 5、复数的四则运算，设， (a，b，c，d∈R)，则 （1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）． （5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i． 考点一、真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【详解】因为，所以其虚部为1，故选：C. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【详解】因为，所以.故选：A. 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【详解】由可得，，所以，故选：B. 4．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 【详解】先由题得，所以. 5．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 【详解】设，由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动，设，则，由图象可知， 所以.故答案为： 6．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【详解】若，则.故选：C. 7．（2024·全国·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，所以．故选：D. 8．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B．1 C．-1 D．2 【详解】依题意得，，故. 9．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限. 10．（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 【详解】由题意可得，则. 11．（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【详解】 12．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，则.故选：B. 13．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 【详解】因为， 所以，解得：．故选：C. 14．（2022·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】故选 ：C 15．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A. 考点二、复数的四则运算 1．（2025·河南·三模）已知为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 【详解】.故选：D 2．（2025·黑龙江·三模）若，则的虚部为（   ） A． B．1 C．3 D． 【详解】因为，所以，所以，所以，则的虚部为.故选：A 3．（2025·重庆·三模）设复数z满足，则z的虚部为（ ） A． B． C．3 D． 【详解】设复数，因为复数z满足，可得， 即，则，，解得，所以复数的虚部为. 4．（2025·陕西·二模）复数的实部为（    ） A．1 B．3 C． D． 【详解】由，可得复数的实部为3，故选：. 5．（2025·江西·二模）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 【详解】由，则，的虚部为2. 6．（2025·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，因为，所以， 即，所以，解得，所以．故选：D． 7．（2025·河北·三模）若复数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，所以，由，得，则，所以，解得.故选：B. 8．（2025·河北·二模）已知复数是实数，则（    ） A． B． C． D．2 【详解】，因为是实数，所以，即.D. 9．（2025·河南·三模）已知复数为纯虚数，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【详解】，由题意得，所以，故选：C． 10．（2025·黑龙江）已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【详解】依题意，是纯虚数，于是，解得， 所以实数a的值为.故选：D 11．（2025·河北·三模）已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【详解】由，可得，所以，所以，所以，所以的共轭复数的虚部是.故选：D. 12．（2025·河南洛阳）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，所以.故选：B． 13．（2025·安徽合肥·模拟）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题知，，所以.故选：A. 14．（2025·河北·二模）复数（    ） A． B． C． D． 【详解】.故选：D. 15．（2025·山东青岛·三模）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（   ） A． B． C． D． 【详解】已知是实系数方程的一个复数根，根据实系数方程的复数根成对出现的性质，可知方程的另一个根为. 对于方程，由韦达定理可得两根之和，其中，，则，即，解得. 由韦达定理可知两根之积，则.可得：，即. 的值为，的值为.故选：A. 16．（2025·江西·一模）已知为虚数单位，虚数满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由得，，所以或(舍) 选项A，因为，所以，A 正确；选项B, ，B错误； 选项C, ，所以C正确；选项D，，所以D错误.故选：AC 考点三、复数的几何意义 1．（2025·山西·三模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ． 【详解】由于，故点位于第四象限，因此，解得，即的取值范围是.故答案为：. 2．（2025·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】由题意知：，所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D. 3．（2025·江西·模拟）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以， 所以，所以．故选：A． 4．（2025·江西·模拟）若复数的共轭复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，可得，则， 则在复平面内对应的点的坐标为．故选：D. 5．（2025·福建·二模）若复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【详解】由题意可知，复数满足，则可转化为， 所以.故选：A. 6．（2025·贵州·三模）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【详解】因为，则， 即，故. 7．（2025·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（  ） A． B．1 C． D．3 【分析】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可. 【详解】的几何意义是复数z对应的点Z到点的距离为1， 即点Z在以点为圆心，1为半径的圆上，的几何意义是点Z到点的距离． 如图所示，故．故选：B． 8．（2025·四川成都）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【详解】在复平面上对应的点位于虚轴上， ∴，即.故选：D 9．（2025·安徽·模拟）若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【详解】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆， 所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值， 如图所示，最大值为.故选：D. 10．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知复数满足，则的最小值为 . 【详解】设，由得，所以， 即点是圆心为，半径为1的圆上的动点，，表示的是点与点的距离， 所以其最小值为点到圆心的距离减去半径，即的最小值为. 考点四、复数多选题 11．（2025·浙江·二模多选）已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【详解】设，则，A选项，，所以A选项正确. B选项，，所以B选项正确. C选项，，，所以C选项正确. D选项，设，则， 则，所以D选项错误.故选：ABC 12．（2025·江苏·三模多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（   ） A．若则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】，如，，此时与无大小关系，A错． ，，，，，B对． ，，， 即， 则，，C对． 设，，此时但，D错，故选：BC． 13．（2025·福建·三模）已知复数，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则或 D．若且，则 对于A，设，则，所以，而，所以，故A不正确； 对于B，设， 则，故B正确； 对于C，若，所以，所以， 所以 或，所以至少有一个为0，故C正确. 对于D，设，则， 所以，而，所以，故D正确.故选：BCD. 14．（2025·福建·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且），则，所以，则C正确. 对于D，由，得.设（，且），则， ，从而，则D正确.故选：BCD 15．（2025·江苏南通）已知，都是复数，下列正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】设， 对于A， 若，则，故，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，若，则，所以， ， 同理，所以，所以，故D正确.故选：AD. 16．（2025·重庆）已知方程的两个复数根分别为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】方程可转化为，解得或， 不妨设，，对于A，显然，故A正确； 对于B，，故B 错误；对于C，由，则，故C正确； 对于D，，故D正确.故选：ACD. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$