22.1.2 二次函数y=ax2的图像和性质 暑期预习讲义 - 2025—2026学年人教版数学九年级上册

22.1.2 二次函数y=ax²的图像和性质 暑期预习讲义 思维导图 学习目标 1. 掌握二次函数y=ax²的基本形式及其图像特征 2. 理解系数a对抛物线开口方向和大小的影响规律 3. 能够准确画出y=ax²型函数的图像 4. 掌握抛物线的对称性、顶点等几何特征 5. 理解函数值随自变量变化的规律 知识点梳理 1. 基本形式 · 标准表达式：y=ax²（a≠0） · 自变量x的最高次数为2 · 系数a必须是非零实数 2. 图像特征 · 图像为抛物线 · 必过坐标原点(0,0) · 对称轴为y轴（直线x=0） · 顶点在坐标原点 3. 开口方向 · 当a>0时，开口向上 · 当a<0时，开口向下 4. 开口大小 · |a|越大，开口越窄 · |a|越小，开口越宽 5. 函数性质 · a>0时： · x<0时，y随x增大而减小 · x>0时，y随x增大而增大 · 顶点是最低点 · a<0时： · x<0时，y随x增大而增大 · x>0时，y随x增大而减小 · 顶点是最高点 6. 图像绘制方法 · 采用五点法作图 · 选取对称的x值（如-2,-1,0,1,2） · 计算对应的y值 · 用平滑曲线连接各点 易错点提醒 1. 忽略a≠0的条件限制 2. 混淆a的正负对开口方向的影响 3. 绘制图像时忘记体现对称性 4. 将抛物线画成折线或直线 5. 计算函数值时出现符号错误 6. 混淆不同a值的图像特征 7. 顶点坐标记忆错误 8. 忽略|a|对开口大小的影响 9. 函数变化规律描述错误 知识点小结 1. 核心要点 · 二次函数的最简形式y=ax² · 系数a决定开口方向和大小 · 图像具有对称性和特定顶点 2. 关键特征 · 抛物线形状 · y轴对称性 · 顶点在原点 3. 数学思想 · 数形结合思想 · 从特殊到一般的认识规律 4. 重点掌握 · 根据a的符号判断开口方向 · 根据|a|大小判断开口宽窄 · 理解函数的变化规律 5. 注意事项 · 严格把握a≠0的条件 · 图像绘制要体现平滑曲线特征 · 注意函数值的计算准确性 注：本节是二次函数图像的基础内容，重点掌握最简单的二次函数y=ax²的图像特征和性质，为后续学习更复杂的二次函数图像打下坚实基础。理解系数a的作用是本节的关键，需要通过具体函数实例加强理解。 巩固练习 一、选择题 1．下列关于二次函数 的说法正确的是（　　） A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是直线 C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时， 有最大值为0 2．若二次函数 的图象过点 ，则必在该图象上的点还有（　　） A． B． C． D． 3．已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)与边长x(cm)的函数图象可表示为（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大，则m的值为（　　） A． B． C． D．2 5．设A（ ， ），B（ ， ），C（3， ）是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 6．下列关于函数的性质叙述中，错误的是（　　）. A．对称轴是轴 B．顶点是原点 C．当时，随的增大而增大 D．有最大值 二、填空题 7． 请写出一个图象开口向上，且与y轴交于点（0，2）的二次函数的解析式 　 　． 8．如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15° ，则a的值是 　 　． 9．如图，正方形的边长为2，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=x2与y=-x2的图象，则阴影部分的面积是　 　 10．请写出一个图象的顶点为的二次函数的表达式：　 　． 11．若抛物线与、、、四条直线围成的正方形有公共点，则的取值范围是　 　. 12．已知 ， 为抛物线 （ ）上任意两点，其中 ．若对于 ，都有 ，则a的取值范围是　 　． 三、解答题 13．已知是二次函数，且函数图象有最高点． （1）求的值； （2）求顶点坐标和对称轴，并说明当为何值时，随的增大而减小． 14．已知函数 是关于x的二次函数.求： （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 15．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大. （1）求的值； （2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，那么n的取值范围为　 　. 16．已知是关于x的二次函数. (1)求满足条件的k的值； (2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？ (3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？ 参考答案 1．C 2．C 3．C 4．A 5．A 6．D 7．y＝3x2+2（答案不唯一）． 8． 9．2 10． 11． 12．a≥1或a≤-1 13．（1）解：是二次函数， 且，或． 函数图象有最高点，抛物线的开口向下， ，解得，． （2）解：由知，， 顶点坐标为，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小． 14．（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， ∴ ， ， 解得： . （2）解：∵ ， ∴ 或 ， 当 时，抛物线有最低点，该点坐标为 ； 当 时，y随x的增大而增大. （3）解：当 ， 函数有最大值，最大值是 ； 当 时，y随x的增大而减小. 15．（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得， 解得：； （2）-4≤n≤0 16．解：(1)由题意可得： 解得k=±2. (2) ∵抛物线有最低点 ∴k+1＞0，解得k＞-1 由(1)得：k=±2 ∴k=2 ∴该抛物线的解析式为 ∴最低点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大. (3) ∵二次函数有最大值 ∴k+1＜0，解得k＜-1 ∴k=-2. ∴该抛物线的解析式为 ∴当x=0时，函数有最大值为0. 当x＞0时，y随x的增大而减小. 学科网（北京）股份有限公司 $$