第1讲 集合与常用逻辑用语 讲义-2026届高三数学一轮复习

第1讲 集合与常用逻辑用语 知识讲解 1．常用数集： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N*& N＋ Z Q R C 2．集合间的基本关系 如果，则称是的子集 如果，且存在，则称是的真子集，记为 . 3. 集合的基本运算 （1）交集：即． （2）并集：即． （3）补集：即． 4．充分性和必要性 5．全称、存在量词命题及其否定 （1）全称量词：“所有的、任意一个”；全称量词命题：，它的否定： （2）存在量词：“存在一个”；存在量词命题：，它的否定： 6、 子集个数：若一个集合的元素有个，①子集个数有个；②真子集个数有个； ③非空子集个数有个；④非空真子集有个。 考点一、真题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·全国·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 8．（2024·全国·高考真题）已知向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 9．（2024·全国·高考真题）集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·全国·高考真题）集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 14．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 15．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 16．（2023·全国·高考）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 17．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 考点二、元素与集合的运算 1．（2025·黑龙江）已知，若，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高三·江西）已知，若，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国）已知集合，且，则实数为（     ） A．2 B．3 C．0或3 D． 4．（24-25高三上·辽宁）已知集合，若，则（     ） A．或3 B．0 C．3 D． 5．（2025高三·全国）设集合 , 若, 则的值为（      ） A．​ B．-3 C．​ D．​ 6．（2025高三上·重庆）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 7．（2025·辽宁·三模）若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东·二模）已知集合，则A的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．16 9．（2025·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 10．（2025·湖北·三模）已知，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·湖南·二模）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 12．（2025·广东·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·广东广州）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·河北）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·湖南常德·一模）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 16．（2025·湖南·三模）已知集合，，若，则 ． 17．（2025·全国）设集合，．若，则 ． 18．（2025安徽·三模）已知集合，则的子集的个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 19．（2025·广东·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025·湖南·二模）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 21．（2025·河南·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 22．（2025·河北·二模）已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·湖北·三模）已知集合，，其中是实数集，集合，则（    ） A． B． C． D． 考点三、常用逻辑用语【知识跨度大哦】 1．（2025·河北·二模）已知向量，，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2025·山东·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三·广东）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南）已知复数为虚数单位的共轭复数为，则“为纯虚数”的充分必要条件为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三·广东）命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分必要条件是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·河北）命题：，，命题：，，则（    ） A．真真 B．假假 C．假真 D．真假 8．（2023湖南真题）下列命题中的假命题是 A．， B．， C．， D．， 9．（2025·安徽蚌埠）下列四个命题中，是假命题的是（    ） A．，且 B．，使得 C．若x＞0，y＞0，则 D．若，则的最小值为1 10．（2025·广东·一模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山东·二模）已知命题：，，则为 ． 12．（2025·河北）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 13．（2025·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 14．（2025·辽宁）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 . 15．（2025·新疆·二模）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·河北·一模）已知，：“”，：“”，则是的（   ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2025·江西萍乡·三模）记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 集合与常用逻辑用语 知识讲解 1．常用数集： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N*& N＋ Z Q R C 2．集合间的基本关系 如果，则称是的子集 如果，且存在，则称是的真子集，记为 . 3. 集合的基本运算 （1）交集：即． （2）并集：即． （3）补集：即． 4．充分性和必要性 5．全称、存在量词命题及其否定 （1）全称量词：“所有的、任意一个”；全称量词命题：，它的否定： （2）存在量词：“存在一个”；存在量词命题：，它的否定： 6、 子集个数：若一个集合的元素有个，①子集个数有个；②真子集个数有个； ③非空子集个数有个；④非空真子集有个。 考点一、真题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【详解】，故，故选：D. 2．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【详解】因为，所以， 中的元素个数为，故选：C． 3．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，则，集合，故选：D. 4．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，故选：D. 5．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知，故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 6．（2024·全国·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误；故选：A. 7．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题.故选：B. 8．（2024·全国·高考真题）已知向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C. 9．（2024·全国·高考真题）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是.故选：A 10．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，且注意到，从而.选：A. 11．（2024·全国·高考真题）集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 12．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【详解】当时，例如但，即推不出；当时，， 即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B 13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 14．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B. 15．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，则.故选：A. 16．（2023·全国·高考）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【详解】因为整数集，，所以，．故选：A． 17．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【详解】因为可得：当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.选：A. 考点二、元素与集合的运算 1．（2025·黑龙江）已知，若，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【详解】因为，所以，等价于，解得.故选：A 2．（24-25高三·江西）已知，若，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】由题意得且，解得．故选：A 3．（2025高三·全国）已知集合，且，则实数为（     ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【详解】因为且，所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性；②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意.综上所述，. 4．（24-25高三上·辽宁）已知集合，若，则（     ） A．或3 B．0 C．3 D． 【详解】，，解得或，当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去.当时，，此时，满足题意.综上，.故选：C. 5．（2025高三·全国）设集合 , 若, 则的值为（      ） A．​ B．-3 C．​ D．​ 【详解】由集合中元素的确定性知 或. 当 ​时,​或​; 当​时,. 当 ​时,​不满足集合中元素的互异性, 故舍去; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求.综上, ​或.选:D. 6．（2025高三上·重庆）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得.C. 7．（2025·辽宁·三模）若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】全集，，则，，所以. 故选：D 8．（2025·山东·二模）已知集合，则A的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．16 【详解】由题意可得：， 可知A有3个元素，所以A的子集个数为.故选：C. 9．（2025·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【详解】因为，所以可以是，共8个，故选：D 10．（2025·湖北·三模）已知，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为，且， 若，则故选：D. 11．（2025·湖南·二模）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【详解】由，得，则， 当时，，则，所以.故选：A 12．（2025·广东·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题得：，，， 或，或，所以，故A错误； 或，故B错误；或，故C错误； ，故D正确；故选：D. 13．（2025·广东广州）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以.故选：D 14．（2025·河北）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】集合或，所以.故选：. 15．（2025·湖南常德·一模）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【详解】由得，所以，故选：C 16．（2025·湖南·三模）已知集合，，若，则 ． 【详解】由，得.当时，，不满足元素的互异性，舍去； 当时，，满足，符合题意；当时，，不满足，舍去. 综上，.故答案为：2 17．（2025·全国）设集合，．若，则 ． 【详解】由于，而，故. 所以是整数，且，再由集合中元素的互异性知，. 从而是整数，且，，，得. 当时，，，故，满足条件.故答案为：. 18．（2025安徽·三模）已知集合，则的子集的个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【详解】由，可得，则的子集的个数为. 19．（2025·广东·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由解得，或，即， ，.故选：B． 20．（2025·湖南·二模）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，，所以.故选：D. 21．（2025·河南·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意可得，所以A、D均错误；因为，所以中含无理数元素，故C错误；集合中，当时，，所以,所以，所以B正确； 22．（2025·河北·二模）已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】，因为中只有2个元素，则，所以. 23．（2025·湖北·三模）已知集合，，其中是实数集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由可得或，则，又，故. 考点三、常用逻辑用语【知识跨度大哦】 1．（2025·河北·二模）已知向量，，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【详解】向量，，若与共线，则.解得或， 所以“”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A. 2．（2025·山东·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】因为函数在定义域上单调递增，所以由推得出，故充分性成立； 由推得出，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件.故选：C 3．（24-25高三·广东）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为一元二次方程有实根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A 4．（2025·湖南）已知复数为虚数单位的共轭复数为，则“为纯虚数”的充分必要条件为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，由为纯虚数，即且， 即且.故选：D. 5．（2025·山东·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则（   ） A． B． C． D． 【详解】命题，即，因为是的充分不必要条件，显然当时满足， 所以当时恒成立，则在上恒成立，又函数在上单调递增，且，所以.故选：A 6．（24-25高三·广东）命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分必要条件是（　　） A． B． C． D． 【详解】若命题为真命题，则方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，，解得，因此，使命题成立的充分必要条件是.故选：B． 7．（2025·河北）命题：，，命题：，，则（    ） A．真真 B．假假 C．假真 D．真假 【详解】对于命题：令，则开口向上，对称轴为，且，则，所以，，即命题为真命题； 对于命题：因为，所以方程无解，即命题为假命题；D. 8．（2023湖南真题）下列命题中的假命题是 A．， B．， C．， D．， 【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B． 9．（2025·安徽蚌埠）下列四个命题中，是假命题的是（    ） A．，且 B．，使得 C．若x＞0，y＞0，则 D．若，则的最小值为1 【详解】解析：选A.对于A，，且对x＜0时不成立； 对于B，当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2，成立，正确； 对于C，若x＞0，y＞0，则，化为，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故y的最小值为1，D正确.故选：A 10．（2025·广东·一模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“”的否定是“”.故选：C 11．（2025·山东·二模）已知命题：，，则为 ． 【详解】由特称命题的否定为全称命题可得为.故答案为： 12．（2025·河北）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，”的否定是，.故选：D. 13．（2025·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【详解】因为“，使”是假命题，所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为. 14．（2025·辽宁）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 . 【详解】命题p的否定为：任意，使得函数在区间内不单调， 由函数在上单调递减，在上单调递增，则，而， 得，故答案为： 15．（2025·新疆·二模）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 由，得，解得，则选项中的的范围组成的集合是的真子集， 由选项知，选项均不满足，选项B满足.故使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”.B. 16．（2025·河北·一模）已知，：“”，：“”，则是的（   ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由，即，解得或，所以：“或”， 故由推不出，即充分性不成立，由推得出，即必要性成立，所以是的必要但不充分条件.B 17．（2025·江西萍乡·三模）记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】令函数，求导得，故在上单调递增， 由，得，即，即充分性成立； 由，得，即，可得，故必要性不成立， 综上可知，甲是乙的充分不必要条件.故选：A. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$