第八章 实数 复习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学下册

参考答案及解析 1． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 2． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 3． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 4． 【答案】10 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先去绝对值，进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 5． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 6． 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为2． 7． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 8． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，乘方和绝对值等计算，先计算二次根式乘法，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 详解】解； ． 9． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的化简、零指数幂、化简绝对值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．原式利用二次根式性质，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果． 【详解】解： ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数 考情分析 高频考点​ 无理数相关 无理数的概念：考查判断哪个数是无理数，对无理数概念的理解是高频考点。学生需要明确无理数是无限不循环小数这一本质特征来进行判断。 无理数的估算：多次出现估计无理数（如、的值所在范围的题目，要求学生掌握估算的方法，例如找到与该无理数相邻的两个完全平方数，从而确定其大致范围。 实数运算 实数运算出现的频率很高，包括绝对值、乘方、开方、零指数幂、负整数指数幂等多种运算的综合考查。学生需要熟练掌握各种运算规则，准确进行计算。 实数与数轴 结合数轴考查实数，如判断数轴上点P表示的数，涉及到实数与数轴上点的对应关系以及无理数在数轴上的位置估算。实数的大小比较有题目考查比较四个数的大小，要求学生掌握实数大小比较的方法，如正数大于负数、绝对值大的负数反而小，以及对于含有无理数的数如何通过估算来比较大小。 立方根的概念 通过化简这样的题目，考查学生对立方根概念的理解和简单计算能力。 命题趋势 注重基础与综合运算结合：既考查基本概念如无理数、立方根等，又将多种实数运算综合在一起，未来可能会继续保持这种命题风格，且运算的复杂度可能会有所增加，对学生的运算能力要求更高。 与数轴等知识融合加深：将实数与数轴紧密结合，通过数轴来考查实数的相关知识，未来可能会拓展到更复杂的数轴情境，如结合函数图像等进行考查。 强调实际应用与数学思维：可能会更多地将实数知识与实际生活中的测量、估算等问题相结合，同时注重考查学生的数学思维能力，如在无理数估算和大小比较中体现的逻辑推理能力。 分值分析​ 题型涵盖选择题、填空题和解答题。选择题每题 3 - 4 分，填空题每题 3 分，解答题分值在 5 - 8 分不等。 考生备考建议​ 强化概念理解：对于无理数、立方根等重要概念，要深入理解其定义和性质，可以通过对比有理数、平方根等相关概念来加深记忆，多做一些概念判断类的题目。 加强运算训练：针对实数的各种运算，进行大量的专项练习，提高运算的准确性和速度。整理常见的运算错误，分析原因，避免再次犯错。 掌握估算和比较大小技巧：熟练掌握无理数估算的方法，多进行练习，提高估算的精度。同时，总结实数大小比较的不同方法，根据具体题目选择合适的方法进行比较。 结合数轴学习：借助数轴来理解实数的概念和性质，多做一些与数轴相关的题目，提高将实数与数轴结合运用的能力。 重点知识点​ 平方根与算术平方根 1． 平方根：如果一个数x的平方等于a（即），那么这个数x就叫做a的平方根。正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。表示方法：正数a的平方根记为。 2． 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。表示方法：正数a的算术平方根记为。 3． 对于完全平方数，可以直接根据平方的逆运算得出平方根。例如求36的平方根，因为，所以36的平方根是。对于非完全平方数，可以通过估算的方法确定其大致范围，如求，因为，，所以在3和4之间。求算术平方根：先判断数的正负，若为正数，求其正的平方根即可；若为0，算术平方根就是0。在计算含有算术平方根的式子时，可先化简再计算，例如。 ※容易忽略负数没有平方根这一性质，在求解方程或判断时出错。比如误认为有意义。 ※混淆平方根和算术平方根的表示，把正数的平方根只写成正的那个，或者把算术平方根写成的形式。例如把4的平方根写成（正确应为，把9的算术平方根写成（正确应为）。 立方根 1． 如果一个数x的立方等于a（即），那么这个数x就叫做a的立方根。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。表示方法：a的立方根记为。 2． 对于一些常见数的立方要熟悉，如，， 等，这样能快速求出其立方根。例如求，因为，所以。对于负数的立方根，可先确定符号为负，再求其绝对值的立方根。如求，先确定是负数，再因为，所以 ※容易与平方根的性质混淆，认为负数没有立方根。实际上任何实数都有唯一的立方根。在计算时，符号容易出错，特别是负数的立方根计算，要注意正确处理负号。 实数的概念（有理数与无理数） 1． 有理数：整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。 2． 无理数：无限不循环小数叫做无理数。如，等。实数是有理数和无理数的统称。 3． 判断一个数是有理数还是无理数，先看是否为整数或分数形式。如果是小数形式，判断是否为有限小数或无限循环小数，若是则为有理数；若为无限不循环小数，则为无理数。例如是有理数，（每两个1之间依次多一个0）是无理数。记住常见的无理数类型，如含的数、开方开不尽的数等，有助于快速判断。 金典习题 1． 【四川省广安市2025】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 2． 【天津市2025】估计的值在（ ） A.1和2之间 B.2和3之间 C. 3和4之间 D.4和5之间 3． 【江苏省扬州市】 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 4． 【江苏省苏州市2025】计算：． 5． 【江西省2025】下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3.14 D. 6． 【江西省2025】化简：________ 7． 【浙江省2025】 ________． 8． 【湖北省2025】计算：． 9． 【福建省2025】计算： 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$