第12章 全等三角形 单元测试卷 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

第12章 全等三角形 单元培优测试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．如图，与相交于点E，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D．是等腰三角形 【答案】C 2．在和中，其中，则下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中能够判定这两个三角形全等的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 3．下列命题是真命题的是（　　） A．相等的两个角是对顶角 B．好好学习，天天向上 C．周长和面积相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短 【答案】D 【解析】【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题； B、好好学习，天天向上，不是命题； C、周长和面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题； D、两点之间线段最短，是真命题； 故答案为：D． 【分析】根据真命题的定义对每个选项一一判断即可。 4．如图所示，，，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 5．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 6．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为12，则的周长为（　　） A．17 B．22 C．29 D．30 【答案】B 7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（　　） A．50° B．70° C．110° D．120° 【答案】D 【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°， ∴∠CAB＝90°−∠ABC＝90°−40°＝50°， ∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′， ∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB， ∴∠BAA′＝∠BA′A＝ （180°−40°）＝70°， ∴∠CAA'＝∠CAB＋∠BAA′＝50°＋70°＝120°. 故答案为：D. 【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB＋∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数. 8．一个等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则这个等腰三角形的底边长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．4或8 【答案】A 【解析】【解答】当4为等腰三角形的底边长时，腰长= ，则这个等腰三角形的其余两边长分别为6，6； 当4为等腰三角形的腰长时，底边长=16-4-4=8，4、4、8不能构成三角形． 故答案为：A． 【分析】根据等腰三角形的两条边相等，可得出等腰三角形的底边长。 9．如图，在等腰中，，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则（　　） A．62° B．58° C．52° D．46° 【答案】C 10．某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（　　） A．每场比赛的第一名得分a为4 B．甲至少有一场比赛获得第二名 C．乙在四场比赛中没有获得过第二名 D．丙至少有一场比赛获得第三名 【答案】C 【解析】【解答】解：∵甲最后得分为16分， ∴a＞4， 接下来以乙为主要研究对象， ①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则a+3b＝8， 则3b＝8﹣a＜4，而b为正整数， 则b＝1，又c为正整数，a＞b＞c， 此时不合题意； ②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名， 则a+2b+c＝8， 则2b+c＝8﹣a＜4， 由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知， 此时没有符合该不等式的解， 不符合题意； ③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名， 则a+b+2c＝8，则b+2c＝8﹣a＜4， 由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知， 此时没有符合该不等式的解，不符合题意； ④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名， 则a+3c＝8，此时显然a＝5，c＝1， 则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共3×5+1＝16分， 乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5+3×1＝8分， 丙的得分情况为4场第二名，则4b＝8，即b＝2， 此时符合题意． 综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名． 故答案为：C． 【分析】根据 选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名， 对每个选项一一判断即可。 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交、于点D、E．若，，则的周长是　 　． 【答案】21 12．如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是　 　（只填序号）． 【答案】② 13．已知等腰中，，的垂直平分线分别交底边于点和点，若，那么　 　度． 【答案】50或40 14．已知，如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，E 是高 AD 上任一点，F 是腰 AB 上任一点，腰 AC＝10，BD＝6，AD＝8，那么线段 BE＋EF 的最小值是　 　 ． 【答案】9.6 15．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标(8，4)，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B'的坐标为　 　 【答案】（-4，8） 【解析】【解答】解：分别过点B作BM⊥x轴，B'N⊥x轴，由题意可得： 在Rt△OMB和Rt△B'NO中 ∴Rt△OMB≌Rt△B'NO（AAS） ∴B'N=OM=8，ON=BM=4 ∴点B'的坐标为（-4，8） 故答案为：（-4，8） 【分析】分别过点B作BM⊥x轴，B'N⊥x轴，根据全等三角形的判断定理可得Rt△OMB≌Rt△B'NO，再根据其性质即可求出答案. 16．已知等腰三角形的其中两边长为6cm和8cm，则这个三角形的周长为　 　cm. 【答案】20或22 【解析】【解答】①腰长为6cm，满足三角形三边关系 这个三角形的周长 ②腰长为8cm，满足三角形三边关系 这个三角形的周长 故答案为：20或22. 【分析】分两种情况讨论：①腰长为6cm，②腰长为8cm，利用等腰三角形的性质及三角形三边关系解答即可. 三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，已知 ， ，AC与BD交于O， . 求证： （1） ； （2） . 【答案】（1）证明：∵AD⊥AB，BC⊥AB， ∴∠DAB＝∠ABC＝90°， ∵AD＝BC，AB＝BA， ∴△ABC≌△BAD（SAS） （2）证明：∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB＝∠DBA， ∴OA＝OB. 【解析】【分析】（1）根据垂直得：∠DAB＝∠ABC＝90°，根据SAS证明△ABC≌△BAD； （2）由（1）中的全等得：∠CAB＝∠DBA，根据等角对等边可得结论. 18．如图，在中，平分交于点，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明：平分， ， ， ， ， ． （2）解：如图，作交于， 平分， ， ， 【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BCD=∠DCE，由平行线的性质可得∠BCD=∠CDE，则∠DCE=∠CDE，据此证明； （2）作DF⊥BC交BC于F，由角平分线的性质可得AD=DF=4，然后根据三角形的面积公式进行计算. 19．如图，在 中， ， 为边 上的点，且 ， 为线段 的中点，过点 作 ，过点 作 ，且 、 相交于点 . （1） 求证： （2） 求证： 【答案】（1）证明： ∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BA （2）证明： ∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B=∠FAE在△ABC和△EAF中∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝E 【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，易证AD⊥BC，再利用同角的余角相等可证得结论。 （2）利用平行线的性质，可知∠FAE＝∠AEB，再利用等腰三角形的性质，可证得∠B＝∠AEB，就可推出∠B=∠FAE，然后利用ASA证明△ABC≌△EAF，利用全等三角形的性质，可证得结论。 20．如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D. （1）求∠DBC的度数. （2）若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长. 【答案】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°， ∵MN是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠A＝∠ABD＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70﹣40°＝30°； （2）解：∵MN是AB的垂直平分线， ∴BD＝AD， ∵△DBC的周长为14cm， ∴BD+BC+CD＝14cm， ∵BC＝5cm， ∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝9cm， ∵AB＝AC， ∴AB＝9cm. 【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质计算即可；(2)根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案. 21．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 【答案】（1）解：①∵t=1s， ∴BP=CQ=3×1=3cm， ∵AB=10cm，点D为AB的中点， ∴BD=5cm． 又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm， ∴PC=8﹣3=5cm， ∴PC=BD． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BPD和△CQP中， ∴△BPD≌△CQP（SAS）． ②∵vP≠vQ， ∴BP≠CQ， 若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C， 则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm， ∴点P，点Q运动的时间 s， ∴ cm/s （2）解：设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得 x=3x+2×10， 解得 ． ∴点P共运动了 ×3=80cm． △ABC周长为：10+10+8=28cm， 若是运动了三圈即为：28×3=84cm， ∵84﹣80=4cm＜AB的长度， ∴点P、点Q在AB边上相遇， ∴经过 s点P与点Q第一次在边AB上相遇 【解析】【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长． 22．如图，在 中， 是边 上一点， 是边 的中点，作 交 的延长线于点 ． （1）证明： ； （2）若 ， ， ，求 的长． 【答案】（1）证明：∵E是边AC的中点 ∴AE=CE 又∵CF∥AB ∴ 在 与 中 ∴ ； （2）解：∵ ，CF=7 ∴CF=AD=7 ∵E是边AC的中点，CE=5 ∴AC=2CE=10 ∵AB=AC ∴AB=10 ∴ . 【解析】【分析】（1）根据AAS或ASA证明 即可；（2）利用全等三角形的性质求出AD，AB即可解决问题. 23．已知：如图，点E、F在线段BD上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE． 求证： （1）AE=CF； （2）AF∥CE． 【答案】（1）证明：∵BF=DE，∴BE=DF． 在△ABE和△CDF中，∵ ，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF （2）证明：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD．在△AEF和△CFE中，∵EF=FE，∠AEB=∠CFD，AE=CF，∴△AEF≌△CFE，∴∠AFE=∠CEF，∴AF∥CE 【解析】【分析】（1）先根据BF=DE求出BE=DF，再利用SAS判断△ABE≌△CDF ，由全等三角形的对应边相等即可证明AE=CF .（2）利用全等三角形的对应角相等可得∠AEB=∠CFD ，根据SAS判断△AEF≌△CFE ，由全等三角形的对应角相等可得∠AFE=∠CEF ，再利用内错角相等即可求出AF∥CE . 24．在△ABC中，AB≠AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于O点，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC． （1）如图1，直接写出图中所有的等腰三角形；猜想：MN与BM，CN之间有怎样的数量关系，并说明理由． （2）如图2，△ABC中，∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OM∥BC交AB于点M，交AC于点N．图中有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．写出MN与BM，CN之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：图中的等腰三角形有△BMO与△CNO，理由如下： ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO=∠CBO， ∵MN∥BC， ∴∠MOB=∠OBC， ∴∠MOB=∠MBO， ∴BM=MO， 同理CN=ON， ∴△BMO是等腰三角形，△CNO也是等腰三角形； MN与BM，CN之间有怎样的数量关系是MN=BM+CN，理由如下： ∵△BMO与△CNO是等腰三角形， ∴BM=MO，CN=ON， ∴MN=MO+NO=BM+CN； （2）解：图中的等腰三角形有△BOM与△CON，理由如下：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO=∠CBO， ∵MN∥BC， ∴∠MOB=∠OBC， ∴∠MOB=∠MBO， ∴BM=MO， 同理CN=ON， ∴△BMO是等腰三角形，△CNO也是等腰三角形； MN与BM，CN之间有怎样的数量关系是MN=BM-CN，理由如下： ∵△BMO与△CNO是等腰三角形， ∴BM=MO，CN=ON， ∴MN=MO-NO=BM-CN. 【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得∠MOB=∠MBO，由等角对等边得BM=MO，同理CN=ON，故△BMO与△CNO也是等腰三角形；MN与BM，CN之间有怎样的数量关系是MN=BM+CN，理由如下：由前面知BM=MO，CN=ON，进而根据线段的和差即可得出结论； （2）根据角平分线的定义及平行线的性质得∠MOB=∠MBO，由等角对等边得BM=MO，同理CN=ON，故△BMO与△CNO也是等腰三角形；MN与BM，CN之间有怎样的数量关系是MN=BM-CN，理由如下：由前面知BM=MO，CN=ON，进而根据线段的和差即可得出结论. 25．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一动点． （1）如图1，连接DC并延长使CE＝CD，过点E作 交AC的延长线于点F，试说明：AD＝FE； （2）如图2，当点D运动到AB中点时，点E是DC延长线上的一点，连接AE、BE，BE与AC的延长线交于点Q． ①试说明：∠CAE＝∠CBE； ②点P是AC延长线上的点，连接PE，且PE＝BE，连接BP，若AE＝8，求△BEP的面积． 【答案】（1）解：∵ ， ∴∠A＝∠F， 在△ACD和△FCE中， ∵∠A＝∠F，∠ACD＝∠FCE，CD＝CE， ∴△ACD≌△FCE（AAS）， ∴AD＝FE． （2）解：①∵ CA＝CB，AD＝DB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵ ∠ACD+∠ACE＝∠BCD+∠BCE＝180°， ∴∠ACE＝∠BCE． 在△ACE和△BCE中， ∵ CA＝CB，∠ACE＝∠BCE，CE＝CE， ∴△ACE≌△BCE（SAS）， ∴∠CAE＝∠CBE． ②∵ △ACE≌△BCE， ∴EA＝EB， 又因为EB＝EP，EA＝8， ∴EP＝EB＝EA＝8， ∴∠EAP＝∠EPA， ∵ ∠CAE＝∠CBE， ∴∠CBE＝∠EPA， 又∵ ∠BQC＝∠PQE， ∴∠PEB＝∠PCB＝90°， ∴ 【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，可知∠A＝∠F，然后根据”两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等“可判断△ACD≌△FCE，再由全等三角形对应边相等即可说明； （2）①根据等腰三角形的三线合一定理得CD是∠ACB的角平分线，由邻补角得∠ACE＝∠BCE，根据边角边方法可判定△ACE≌△BCE，即可给出说明； ②根据全等三角形对应的边、角相等，并且等腰三角形的底角相等，可得AE=BE=PE=8，∠CAE＝∠CBE=∠APE，又∠BQC=∠PQE，故得∠BEP=∠BCQ=90°，然后根据直角三角形的面积计算方法即可得到答案. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 全等三角形 单元培优测试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．如图，与相交于点E，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D．是等腰三角形 2．在和中，其中，则下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中能够判定这两个三角形全等的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列命题是真命题的是（　　） A．相等的两个角是对顶角 B．好好学习，天天向上 C．周长和面积相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短 4．如图所示，，，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为12，则的周长为（　　） A．17 B．22 C．29 D．30 7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（　　） A．50° B．70° C．110° D．120° 8．一个等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则这个等腰三角形的底边长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．4或8 9．如图，在等腰中，，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则（　　） A．62° B．58° C．52° D．46° 10．某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（　　） A．每场比赛的第一名得分a为4 B．甲至少有一场比赛获得第二名 C．乙在四场比赛中没有获得过第二名 D．丙至少有一场比赛获得第三名 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交、于点D、E．若，，则的周长是　 　． 12．如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是　 　（只填序号）． 13．已知等腰中，，的垂直平分线分别交底边于点和点，若，那么　 　度． 14．已知，如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，E 是高 AD 上任一点，F 是腰 AB 上任一点，腰 AC＝10，BD＝6，AD＝8，那么线段 BE＋EF 的最小值是　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标(8，4)，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B'的坐标为　 　 16．已知等腰三角形的其中两边长为6cm和8cm，则这个三角形的周长为　 　cm. 三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，已知 ， ，AC与BD交于O， . 求证： （1） ； （2） . 18．如图，在中，平分交于点，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 19．如图，在 中， ， 为边 上的点，且 ， 为线段 的中点，过点 作 ，过点 作 ，且 、 相交于点 . （1） 求证： （2） 求证： 20．如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D. （1）求∠DBC的度数. （2）若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长. 21．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 22．如图，在 中， 是边 上一点， 是边 的中点，作 交 的延长线于点 ． （1）证明： ； （2）若 ， ， ，求 的长． 23．已知：如图，点E、F在线段BD上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE． 求证： （1）AE=CF； （2）AF∥CE． 24．在△ABC中，AB≠AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于O点，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC． （1）如图1，直接写出图中所有的等腰三角形；猜想：MN与BM，CN之间有怎样的数量关系，并说明理由． （2）如图2，△ABC中，∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OM∥BC交AB于点M，交AC于点N．图中有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．写出MN与BM，CN之间的数量关系，并说明理由． 25．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一动点． （1）如图1，连接DC并延长使CE＝CD，过点E作 交AC的延长线于点F，试说明：AD＝FE； （2）如图2，当点D运动到AB中点时，点E是DC延长线上的一点，连接AE、BE，BE与AC的延长线交于点Q． ①试说明：∠CAE＝∠CBE； ②点P是AC延长线上的点，连接PE，且PE＝BE，连接BP，若AE＝8，求△BEP的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$