19.2二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象 课件2024-2025学年北京版数学九年级上册

19.2二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象 一、知识回顾 x y o x y o x y o 上加下减变常数项 左减右加变自变量 对称轴y轴 顶点（0，c） 对称轴:直线x=h 顶点（h，0） (h,k) 顶点式 对称轴 直线 x=h 顶点（h，k） (0,c) (h,0) 从特殊到一般，从简单到复杂. ？ y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h ,k) (h ,k) 对称轴 x=h x=h 增 减 性 当x<h时，y随着x的增大而减小；当x>h时， y随着x的增大而增大. 当x<h时，y随着x的增大而增大；当x>h时， y随着x的增大而减小. 极值 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 新课导入 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 (0，0) y轴 0 y=-2x2-5 (0，-5) y轴 -5 y=-2(x+2)2 (-2，0) 直线x=-2 0 y=-2(x+2)2-4 (-2，-4) 直线x=-2 -4 y=(x-4)2+3 (4，3) 直线x=4 3 y=-x2+2x 直线x=1 1 y=3x2+x-6 直线 探究新知 把 ax2+bx+c 转化 a(x-h)2+k 的形式 配方法 配方法：将式子配凑为完全平方式再进行因式分解的方法 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 尝试对 y=-x2+2x 进行配方 y=-x2+2x =-(x2-2x) =-(x2-2x+12-12) =-(x-1)2-(-12) 对y=x2-4x-5 进行配方 y=x2-4x-5 =(x2-4x+22-22)-5 =(x2-4x+22)-22-5 =(x-2)2-9 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式，并指出其对称轴、顶点坐标． （1）y=x2-2x+1； （2）y=2x2-4x+6． 解：y=(x2-2x)+1 y=(x2-2x+12)+1-1×12 y=(x-1)2 对称轴：直线 x=1 顶点坐标为(1，0) 解：y=2(x2-2x)+6 y=2(x2-2x+12)+6-2×12 y=2(x-1)2-4 对称轴：直线 x=1 顶点坐标为(1，4) 例题讲解 y=ax²+bx+c 如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？ (1)“提” (2)“配” (3)“化” 探究新知 指出此函数的对称轴、顶点坐标 探究新知 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 y=ax2+bx+c a＞0 a＜0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 探究新课 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论的图象和性质？ 问题1 怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？ 配方可得： 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是(6，3). 答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 问题2 你能说出的对称轴及顶点坐标吗？ 问题3 二次函数可以看作是由怎样平移得到的？ 问题4 如何用描点法画二次函数的图象？ 解：先用图形的对称性列表 5 10 x y 5 10 O 描点，连线.如右图 问题5 结合二次函数的图象，说出其性质。 x=6 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大. 试一试 你能用上面的方法讨论二次函数 y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？ O 5 10 x y 5 10 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？ 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 因此，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 总结归纳 如果a<0, 当x < 时，y随x的增大而增大； 当x > 时，y随x的增大而减小. 如果a>0, 当x < 时，y随x的增大而增小； 当x > 时，y随x的增大而减大. y x y x 探究新知 例1 填表： 例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 典例解析 二次函数 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x (1,1) 直线x=1 最大值1 y=-2x2-1 (0,-1) y轴 最大值-1 y=9x2+6x-5 直线 最小值-6 D 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： A.y轴 B.直线 C. 直线x=2 D.直线 则该二次函数图象的对称轴为( ) 随堂演练 x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 D 2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： (1)a、b同号； (2)当x=–1和x=3时，函数值相等； (3)4a+b=0； (4)当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 . 直线 3.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 二次函数 对称轴 顶点坐标 直线x=3 直线x=8 直线x=1.25 直线x= 0.5 顶点： 对称轴： 课堂小结 y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式)y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) (顶点式) 配方法 公式法 $$