22.1 二次函数的图像和性质 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1 二次函数的图像和性质 暑期预习讲义 思维导图 学习目标 1. 理解二次函数的概念，掌握其一般形式 2. 会用描点法画出简单二次函数的图像 3. 掌握二次函数y=ax²的图像特征和性质 4. 理解系数a对抛物线开口方向和大小的影响 5. 能够根据函数解析式分析图像的对称性、顶点等特征 知识点梳理 1. 基本概念 · 定义：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数 · 图像特征：抛物线，对称图形 · 基本形式：y=ax²（最简单的二次函数） 2. 图像性质 (1) 开口方向： · a>0时，开口向上 · a<0时，开口向下 (2) 开口大小： · |a|越大，开口越窄 · |a|越小，开口越宽 (3) 对称性： · 对称轴：y轴（直线x=0） · 对称点：关于y轴对称 (4) 顶点： · 最低点（a>0）或最高点（a<0） · 坐标原点(0,0) 3. 函数变化规律 · a>0时： x<0时，y随x增大而减小 x>0时，y随x增大而增大 · a<0时： x<0时，y随x增大而增大 x>0时，y随x增大而减小 4. 图像绘制方法： (1) 列表取值（对称取值） (2) 描点连线 (3) 注意平滑曲线 易错点提醒 1. 忽略a≠0的条件 2. 混淆a的正负对开口方向的影响 3. 绘制图像时忽略对称性 4. 将抛物线画成折线或直线 5. 计算函数值时符号错误 6. 混淆不同a值的图像特征 7. 顶点坐标记忆错误 8. 忽略|a|对开口大小的影响 易错点提醒 1. 核心概念：二次函数的标准形式及图像特征 2. 关键参数：系数a决定开口方向和大小 3. 图像特征：抛物线、对称轴、顶点 4. 数学思想：数形结合思想 5. 重点掌握：根据解析式判断图像特征 6. 注意事项：a的取值限制和影响 7. 解题要点：先分析a的特征，再画图分析 注：本节重点掌握最基本的二次函数y=ax²的图像和性质，为后续学习更复杂的二次函数图像打下基础。理解系数a的作用是本节的关键，需要通过具体函数实例加强理解。绘制图像时要注意体现抛物线的对称性和平滑特征。 巩固练习 一、选择题 1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　） A． B． C． D． 2．下列函数中，是关于的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．已知二次函数y＝（2﹣a） ，在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（　　） A． B．± C．﹣ D．0 4．在同一坐标系中，抛物线y＝4x2，y＝ x2，y＝－ x2的共同特点是（　　） A．关于y轴对称，开口向上 B．关于y轴对称，y随x的增大而增大 C．关于y轴对称，y随x的增大而减小 D．关于y轴对称，顶点是原点 5．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+6 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+2 6．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 8．二次函数的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 9．若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．﹣2或2 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或2或 10．已知函数 ，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．对称轴是y轴且过点A(1，3)，B(-2，6)的抛物线的函数表达式为　 　 12．将二次函数 的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得函数的表达式是　 　． 13．若二次函数在x=时，有最小值，且函数的图象经过点(0，2)，则此函数的表达式为　 　 14．二次函数y=ax2，y=bx2，y=cx2的图象如图，则a，b，c的大小关系是　 　.(用“>”连接) 15． 2025年是农历乙巳蛇年，商场为准备新的一年的商品，购进一批单价为70元的“迎新蛇”公仔，并以每个125元售出，此时每天可售出75个．市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．如果设销售单价降低x元，每天所获销售利润y元，请列出y关于x的函数表达式　 　. 16．若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是　 　. 17．已知抛物线（）. （1）求抛物线的顶点坐标　 　（用含的代数式表示）； （2）点，在该抛物线上，若，求的取值范围　 　. 18．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为　 　． 19．已知函数y＝ ，且使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的取值范是　 　． 20．已知二次函数 ，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是　 　 . 三、解答题 21．已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1，-2)． （1）求这个二次函数的表达式，并画出图象． （2）请说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向． （3）若点B(，b)，D(c，-2)都在此抛物线上，写出b，c的值． 22．如图所示，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为与在同一条直线上.开始时点与点重合，正方形不动，以的速度向左运动，最终点与点重合. （1）求重叠部分的面积关于时间的函数表达式和自变量的取值范围. （2）分别求当t=1，2时，重叠部分的面积.. 23．已知抛物线L1：y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1，0)． （1）求抛物线L1的函数表达式． （2）将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． （3）把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L2，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1>y2，求n的取值范围． 24．如图，已知抛物线的方程y=－ (x+2)(x－m) (m>0)与x轴交于B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧，抛物线还经过点P(2，2) （1）求该抛物线的解析式 （2）在(1)的条件下，求△BCE的面积 （3）在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使EH+BH的值最小。求出点H的坐标。 25．已知二次函数的解析式为：（m是常数）． （1）当时，求函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）若点，在函数图象上，求证：； （3）已知函数图象经过点，，，若对于任意的都满足，求m的取值范围． 26．在平面直角坐标系中，点 ，点 .已知抛物线 （ 是常数），顶点为 . （Ⅰ）当抛物线经过点 时，求顶点 的坐标； （Ⅱ）若点 在 轴下方，当 时，求抛物线的解析式； （Ⅲ） 无论 取何值，该抛物线都经过定点 .当 时，求抛物线的解析式. 参考答案 1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．B 7．D 8．B 9．B 10．D 11．y=x2+2 12． 13．y=(x-)2- 14． 15． 16．-2 17．（1） （2） 或 18． 19．k＝1或k＜-8 20．y=1−2x2 21．（1）解：∵ 二次函数y=ax2的图象经过点A(-1，-2)， ∴a=-2， ∴此函数解析式为y=-2x2， 列表如下 x -2 -1 0 1 2 y=-2x2 -8 -2 0 -2 -8 图象如下 （2）解：图象的顶点坐标为，对称轴为轴，开口向下； （3）解：. 22．（1）解：∵△ABC以每秒2cm的速度向左运动， ∴t秒后AN=2t，AM=20-2t， ∵∠AMH=90°，∠BAC=45°， ∴AM=HM=20-2t， ∴重叠部分的面积为y=S△AMH=，自变量的取值范围是； （2）解：当t=1时，重叠部分的面积； 当t=2时，重叠部分的面积 23．（1）解：把A(1，0)代入y=a(x+1)2-4，可得：a(1+1)2-4=0， 解得：a=1， ∴y=(x+1)2-4=x2+2x-3． ∴抛物线L1的函数表达式为：y=x2+2x-3 （2）解：抛物线L1：y=(x+1)2-4的顶点坐标为(-1，-4)， 将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点坐标为(-1，-4+m)， ∵点(-1，-4+m)关于原点的对称点为(1，4-m)， ∴把(1，4-m)代入y=x2+2x-3， 可得：12+2×1-3=4-m， 解得：m=4 （3）解：把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L3，拋物线L3的函数表达式为y=(x-n+1)2-4， ∵点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上， ∴y1=(1-n+1)2-4=(2-n)2-4，y2=(3-n+1)2-4=(4-n)2-4． ∵y1>y2， ∴(2-n)2-4>(4-n)2-4， 解得：n>3， ∴n的取值范围是n>3 24．（1）解：将P点代入函数式得： 解得： m=4， ∴ 该抛物线的解析式为： . （2）解： 由（1）得-(x+2)(x-4)=0， 解得x=-2或x=4， ∴B（-2，0），C（4，0）， ∴BC=4-（-2）=6， 当x=0， y=2， ∴OE=2. （3）解： 如图，作E关于抛物线对称轴的对称点F，连接BF交y轴于点H， ∵， 则F（2，2）， EH+BH=FH+HB=FB， 设直线FB的解析式为：y=kx+b， ∴ 解得：， 故y= ， 当x=1， y=×1+1=， ∴H（1，）. 25．（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 （2）证明：∵函数图象经过点，， ∴，． ∴， ∵， ∴ （3）解：由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧， ∵对于任意的都满足， ∴点A，B，C存在如下情况： 情况1，如图1，当时，， ∴，且，解得； 情况2，如图2， 当时，． ∴， ∴，且 解得， 综上所述，或 26．解：（Ⅰ）∵抛物线 经过点 ，∴ ，解得 .∴抛物线的解析式为 .∵ ，∴顶点 的坐标为 .（Ⅱ）抛物线 的顶点 的坐标为 .由点 在 轴正半轴上，点 在 轴下方， ，知点 在第四象限.过点 作 轴于点 ，则 .可知 ，即 ，解得 ， .当 时，点 不在第四象限，舍去.∴ .∴抛物线解析式为 .（Ⅲ）由 可知，当 时，无论 取何值， 都等于4.得点 的坐标为 .过点 作 ，交射线 于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，则 .∵ ， ，∴ .∴ .∵ ，∴ .∴ .∴ ， .可得点 的坐标为 或 .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .∵点 在直线 上，∴ .解得 ， .当 时，点 与点 重合，不符合题意，∴ .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .∵点 在直线 上，∴ .解得 （舍）， .∴ .综上， 或 .故抛物线解析式为 或 学科网（北京）股份有限公司 $$